Teorema de De Bruijn

Sobre empacar ladrillos rectangulares congruentes (de cualquier dimensión) en cajas rectangulares más grandes

Un color de los cubos unitarios en una caja que puede usarse para demostrar la imposibilidad de empaquetarla con ladrillos, ya que cada ladrillo cubre 4 cubos blancos y 4 negros pero la caja contiene 8 cubos blancos más que negros. ${\displaystyle 6\cdot 6\cdot 6}$ ${\displaystyle 1\cdot 2\cdot 4}$

En un artículo de 1969, el matemático holandés Nicolaas Govert de Bruijn demostró varios resultados sobre cómo empaquetar ladrillos rectangulares congruentes (de cualquier dimensión) en cajas rectangulares más grandes, de tal manera que no quede espacio. Uno de estos resultados se conoce ahora como teorema de De Bruijn . Según este teorema, un "ladrillo armónico" (uno en el que la longitud de cada lado es múltiplo del siguiente lado más pequeño) sólo se puede empaquetar en una caja cuyas dimensiones sean múltiplos de las dimensiones del ladrillo. ^[1]

Ejemplo

De Bruijn se vio obligado a demostrar este resultado después de que su hijo, que entonces tenía siete años, FW de Bruijn, no pudiera empaquetar ladrillos de dimensiones en un cubo. ^{[2] [3]} El cubo tiene un volumen igual al de los ladrillos, pero sólo se pueden empaquetar ladrillos en él. Una forma de ver esto es dividir el cubo en cubos más pequeños de tamaño coloreados alternativamente en blanco y negro. Esta coloración tiene más celdas unitarias de un color que del otro, pero con esta coloración cualquier ubicación del ladrillo debe tener el mismo número de celdas de cada color. Por tanto, cualquier alicatado mediante ladrillos tendría también el mismo número de celdas de cada color, algo imposible. ^[4] El teorema de De Bruijn demuestra que un embalaje perfecto con estas dimensiones es imposible, de una manera más general que se aplica a muchas otras dimensiones de ladrillos y cajas. ${\displaystyle 1\cdot 2\cdot 4}$ ${\displaystyle 6\cdot 6\cdot 6}$ ${\displaystyle 27}$ ${\displaystyle 26}$ ${\displaystyle 27}$ ${\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2}$ ${\displaystyle 1\cdot 2\cdot 4}$

Cajas que son múltiplos del ladrillo.

Supongamos que una caja rectangular de dimensiones (matemáticamente un cuboide ) tiene longitudes de lados enteras y un ladrillo tiene longitudes . Si los lados del ladrillo se pueden multiplicar por otro conjunto de números enteros de modo que sean una permutación de , la caja se llama múltiplo del ladrillo. Luego, la caja se puede llenar con dichos ladrillos de forma trivial, con todos los ladrillos orientados de la misma manera. ^[1] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dotso \cdot A_{d}}$ ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}\cdot \dotso \cdot a_{d}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots a_{d}b_{d}}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{d}}$

Una generalización

No todos los embalajes incluyen cajas que contienen varios ladrillos. Por ejemplo, como observa De Bruijn, una caja rectangular se puede llenar con copias de un ladrillo rectangular, aunque no con todos los ladrillos orientados de la misma manera. Sin embargo, de Bruijn (1969) demuestra que si los ladrillos pueden llenar la caja, entonces para cada uno al menos uno de ellos es un múltiplo. En el ejemplo anterior, el lado de la longitud es múltiplo de ambos y . ^[1] ${\displaystyle 5\cdot 6}$ ${\displaystyle 2\cdot 3}$ ${\displaystyle a_{i},}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$

Ladrillos armónicos

El segundo de los resultados de De Bruijn, el llamado teorema de De Bruijn, se refiere al caso en el que cada lado del ladrillo es un múltiplo entero del siguiente lado más pequeño. De Bruijn llama armónico a un ladrillo con esta propiedad . Por ejemplo, los ladrillos más utilizados en los EE. UU. tienen dimensiones (en pulgadas), lo cual no es armónico, pero un tipo de ladrillo vendido como "ladrillo romano" tiene dimensiones armónicas . ^[5] ${\displaystyle 2{\tfrac {1}{4}}\cdot 4\cdot 8}$ ${\displaystyle 2\cdot 4\cdot 12}$

El teorema de De Bruijn establece que, si un ladrillo armónico se empaqueta en una caja, entonces la caja debe ser un múltiplo del ladrillo. Por ejemplo, el ladrillo armónico tridimensional con longitudes de lados 1, 2 y 6 solo se puede empaquetar en cajas en las que uno de los tres lados sea múltiplo de seis y uno de los dos lados restantes sea par. ^{[1] [6]} Los embalajes de un ladrillo armónico en una caja pueden implicar copias del ladrillo que giran entre sí. Sin embargo, el teorema establece que las únicas cajas que se pueden empaquetar de esta manera son las cajas que también se pueden empaquetar mediante traslaciones del ladrillo.

Boisen (1995) proporcionó una prueba alternativa del caso tridimensional del teorema de De Bruijn, basada en el álgebra de polinomios . ^[7]

Ladrillos no armónicos

El tercero de los resultados de De Bruijn es que, si un ladrillo no es armónico, entonces hay una caja que puede llenar y que no es un múltiplo del ladrillo. El embalaje del ladrillo en la caja es un ejemplo de este fenómeno. ^[1] ${\displaystyle 2\cdot 3}$ ${\displaystyle 5\cdot 6}$

Una caja, recubierta de ladrillos, para el caso y ${\displaystyle (a_{1}+a_{2})\cdot (a_{1}a_{2})}$ ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}=2}$ ${\displaystyle a_{2}=5}$

En el caso bidimensional, el tercio de los resultados de De Bruijn es fácil de visualizar. Una caja con dimensiones y fácil de empacar con copias de un ladrillo con dimensiones , colocados uno al lado del otro. Por la misma razón, una caja con dimensiones y además es fácil de empacar con copias del mismo ladrillo. Girar una de estas dos cajas para que sus lados largos queden paralelos y colocarlas una al lado de la otra da como resultado el empaque de una caja más grande con y . Esta caja más grande es un múltiplo del ladrillo si y sólo si el ladrillo es armónico. ${\displaystyle A_{1}=a_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}=a_{1}\cdot a_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}=a_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}=a_{1}+a_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}}$

Referencias

1. de Bruijn, NG (1969), "Llenar cajas con ladrillos", The American Mathematical Monthly , 76 (1): 37–40, doi :10.2307/2316785, JSTOR  2316785, MR  0234841.
2. Honsberger, Ross (1976), Gemas Matemáticas II , Washington, DC: Asociación Matemática de América, p. 69, ISBN 9780883853009.
3. Nienhuys, JW (11 de septiembre de 2011), Kloks, Ton; Hung, Ling-Ju (eds.), Combinatoria de De Bruijn: notas de clase, p. 156.
4. Watkins, John J. (2012), En todos los ámbitos: las matemáticas de los problemas del tablero de ajedrez, Princeton University Press, p. 226, ISBN 9781400840922.
5. Kreh, RT (2003), Habilidades de albañilería (5ª ed.), Cengage Learning, p. 18, ISBN 9780766859364.
6. Stein, Sherman K .; Szabó, Sándor (1994), Álgebra y mosaico: homomorfismos al servicio de la geometría , Carus Mathematical Monographs, vol. 25, Washington, DC: Asociación Matemática de América, pág. 52, ISBN 0-88385-028-1, SEÑOR  1311249.
7. Boisen, Paul (1995), "Polinomios y empaquetamientos: una nueva prueba del teorema de de Bruijn", Matemáticas discretas , 146 (1–3): 285–287, doi :10.1016/0012-365X(94)00070-1, Señor  1360122.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Teorema de De Bruijn", MathWorld