Valoración de bonos

Precio justo de un bono

La valoración de bonos es el proceso mediante el cual un inversor llega a una estimación del valor razonable teórico, o valor intrínseco, de un bono . Como sucede con cualquier título o inversión de capital, el valor razonable teórico de un bono es el valor actual del flujo de efectivo que se espera que genere. Por lo tanto, el valor de un bono se obtiene descontando los flujos de efectivo esperados del bono al presente utilizando una tasa de descuento adecuada . ^{[1] [2]}

En la práctica, esta tasa de descuento se determina a menudo en relación con instrumentos similares, siempre que dichos instrumentos existan. A continuación, se calculan diversas medidas de rendimiento relacionadas para el precio dado. Cuando el precio de mercado de un bono es inferior a su valor nominal , el bono se vende con descuento . Por el contrario, si el precio de mercado de un bono es superior a su valor nominal, el bono se vende con una prima . Para conocer esta y otras relaciones entre precio y rendimiento, véase a continuación.

Si el bono incluye opciones incorporadas , la valoración es más difícil y combina el precio de las opciones con el descuento. Dependiendo del tipo de opción, el precio de la opción calculado se suma o se resta del precio de la parte "directa". ^[3] Véase más información en Opción sobre bonos . Este total es entonces el valor del bono.

Valoración de bonos

El precio justo de un "bono simple" (un bono sin opciones incorporadas ; véase Bonos (finanzas) § Características ) se determina habitualmente descontando sus flujos de caja esperados a la tasa de descuento adecuada. Aunque esta relación de valor presente refleja el enfoque teórico para determinar el valor de un bono, en la práctica su precio se determina (normalmente) con referencia a otros instrumentos más líquidos . A continuación se analizan los dos enfoques principales, la fijación de precios relativa y la fijación de precios sin arbitraje. Por último, cuando es importante reconocer que las tasas de interés futuras son inciertas y que la tasa de descuento no está adecuadamente representada por un único número fijo (por ejemplo, cuando se emite una opción sobre el bono en cuestión) , se puede emplear el cálculo estocástico. ^[4]

Enfoque del valor presente

El método básico para calcular el valor razonable teórico de un bono, o valor intrínseco, utiliza la fórmula del valor actual (VP) que se muestra a continuación, utilizando una única tasa de interés de mercado para descontar los flujos de efectivo en todos los períodos. Un enfoque más complejo utilizaría diferentes tasas de interés para los flujos de efectivo en diferentes períodos. ^{[2] : 294} La fórmula que se muestra a continuación supone que se acaba de realizar un pago de cupón (consulte a continuación los ajustes en otras fechas).

${\displaystyle {\begin{aligned}TFV&={\begin{matrix}\left({\frac {C}{1+i}}+{\frac {C}{(1+i)^{2}}}+...+{\frac {C}{(1+i)^{N}}}\right)+{\frac {M}{(1+i)^{N}}}\end{matrix}}\\&={\begin{matrix}\left(\sum _{n=1}^{N}{\frac {C}{(1+i)^{n}}}\right)+{\frac {M}{(1+i)^{N}}}\end{matrix}}\\&={\begin{matrix}C\left({\frac {1-(1+i)^{-N}}{i}}\right)+M(1+i)^{-N}\end{matrix}}\end{aligned}}}$

dónde:

${\displaystyle F=}$valor nominal

${\displaystyle i_{F}=}$tasa de interés contractual

${\displaystyle C=F*i_{F}=}$pago de cupón (pago periódico de intereses)

${\displaystyle N=}$Número de pagos

${\displaystyle i=}$tasa de interés del mercado, o rendimiento requerido, o rendimiento observado/apropiado hasta el vencimiento (ver a continuación)

${\displaystyle M=}$Valor al vencimiento, generalmente igual al valor nominal

${\displaystyle TFV=}$valor razonable teórico

Enfoque de precios relativos

Según este enfoque (una extensión o aplicación del anterior), el bono se fijará en función de un índice de referencia, normalmente un título gubernamental ; véase Valuación relativa . En este caso, el rendimiento al vencimiento del bono se determina en función de la calificación crediticia del bono en relación con un título gubernamental con un vencimiento o duración similar ; véase Spread crediticio (bono) . Cuanto mejor sea la calidad del bono, menor será el diferencial entre su rendimiento requerido y el YTM del índice de referencia. Este rendimiento requerido se utiliza luego para descontar los flujos de efectivo del bono, reemplazando en la fórmula anterior, para obtener el precio. ^[5] ${\displaystyle i}$

Enfoque de fijación de precios sin arbitraje

A diferencia de los dos enfoques relacionados anteriores, un bono puede considerarse como un "paquete de flujos de efectivo" (cupón o nominal), en el que cada flujo de efectivo se considera un instrumento cupón cero que vence en la fecha en que se recibirá. Por lo tanto, en lugar de utilizar una única tasa de descuento, se deben utilizar múltiples tasas de descuento, descontando cada flujo de efectivo a su propia tasa. ^[4] Aquí, cada flujo de efectivo se descuenta por separado a la misma tasa que un bono cupón cero correspondiente a la fecha del cupón y de solvencia crediticia equivalente (si es posible, del mismo emisor que el bono que se está valorando o, si no, con el diferencial de crédito adecuado ).

Según este enfoque, el precio del bono debería reflejar su precio " libre de arbitraje ", ya que cualquier desviación de este precio será explotada y el bono se revalorizará rápidamente hasta su nivel correcto. Aquí, aplicamos la lógica de fijación de precios racional relacionada con los "Activos con flujos de efectivo idénticos" . En detalle: (1) las fechas de cupón del bono y los montos de los cupones se conocen con certeza. Por lo tanto, (2) se pueden especificar algunos múltiplos (o fracciones) de bonos cupón cero, cada uno correspondiente a las fechas de cupón del bono, de modo de producir flujos de efectivo idénticos al bono. Por lo tanto, (3) el precio del bono hoy debe ser igual a la suma de cada uno de sus flujos de efectivo descontados a la tasa de descuento implícita en el valor del ZCB correspondiente.

Enfoque del cálculo estocástico

Al modelar una opción de bonos u otro derivado de tasa de interés (IRD), es importante reconocer que las tasas de interés futuras son inciertas y, por lo tanto, la tasa o tasas de descuento mencionadas anteriormente, en los tres casos (es decir, ya sea para todos los cupones o para cada cupón individual) no están adecuadamente representadas por un número fijo ( determinista ). En tales casos, se emplea el cálculo estocástico .

La siguiente es una ecuación diferencial parcial (EDP) en cálculo estocástico, que, por argumentos de arbitraje , ^[6] se satisface para cualquier bono cupón cero , durante un tiempo (instantáneo) , para cambios correspondientes en la tasa a corto plazo . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}$

La solución de la EDP (es decir, la fórmula correspondiente para el valor del enlace), dada en Cox et al. ^[7] , es:

${\displaystyle P[t,T,r(t)]=E_{t}^{\ast }[e^{-R(t,T)}]}$

donde es la expectativa con respecto a las probabilidades neutrales al riesgo , y es una variable aleatoria que representa la tasa de descuento; véase también fijación de precios Martingala . ${\displaystyle E_{t}^{\ast }}$ ${\displaystyle R(t,T)}$

Para determinar el precio del bono, el analista debe elegir el modelo de tasa de interés a corto plazo específico que se va a utilizar. Los enfoques que se utilizan habitualmente son:

• El modelo CIR
• El modelo Black-Derman-Toy
• El modelo Hull-White
• El marco HJM
• El modelo Chen .

Tenga en cuenta que, según el modelo seleccionado, es posible que no esté disponible una solución de forma cerrada ( “similar a Black” ) y, en ese caso, se emplee una implementación basada en simulación o en red del modelo en cuestión. Véase también Opción de bonos § Valoración .

Precio limpio y sucio

Cuando el bono no se valora con precisión en una fecha de cupón, el precio calculado, utilizando los métodos anteriores, incorporará el interés acumulado : es decir, cualquier interés debido al propietario del bono durante el " período de talón " desde la fecha del cupón anterior (consulte la convención de recuento de días ). El precio de un bono que incluye este interés acumulado se conoce como el " precio sucio " (o "precio completo" o "precio total" o "precio en efectivo"). El " precio limpio " es el precio que excluye cualquier interés que se haya acumulado. Los precios limpios generalmente son más estables en el tiempo que los precios sucios. Esto se debe a que el precio sucio caerá repentinamente cuando el bono pase a estar "ex interés" y el comprador ya no tenga derecho a recibir el próximo pago de cupón. En muchos mercados, es una práctica de mercado cotizar bonos sobre una base de precio limpio. Cuando se liquida una compra, el interés acumulado se agrega al precio limpio cotizado para llegar al monto real a pagar.

Relaciones entre rendimiento y precio

Una vez calculado el precio o valor, se pueden determinar distintos rendimientos que relacionen el precio del bono con sus cupones.

Rendimiento al vencimiento

El rendimiento al vencimiento (YTM) es la tasa de descuento que devuelve el precio de mercado de un bono sin opcionalidad incorporada; es idéntico a (rendimiento requerido) en la ecuación anterior. Por lo tanto, el YTM es la tasa interna de retorno de una inversión en el bono realizada al precio observado. Dado que el YTM se puede utilizar para determinar el precio de un bono, los precios de los bonos a menudo se expresan en términos de YTM. ${\displaystyle i}$

Para lograr una rentabilidad igual a YTM, es decir, donde sea la rentabilidad requerida del bono, el propietario del bono debe:

• comprar el bono al precio , ${\displaystyle P_{0}}$
• mantener el bono hasta su vencimiento, y
• canjear el bono a la par.

Tasa de cupón

La tasa de cupón es el pago del cupón como porcentaje del valor nominal . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\text{Coupon rate}}={\frac {C}{F}}}$

El rendimiento del cupón también se denomina rendimiento nominal .

Rendimiento actual

El rendimiento actual es el pago del cupón como porcentaje del precio del bono ( actual ) . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\text{Current yield}}={\frac {C}{P_{0}}}.}$

Relación

El concepto de rendimiento actual está estrechamente relacionado con otros conceptos de bonos, incluidos el rendimiento al vencimiento y el rendimiento del cupón. La relación entre el rendimiento al vencimiento y la tasa del cupón es la siguiente:

Sensibilidad al precio

La sensibilidad del precio de mercado de un bono a los movimientos de las tasas de interés (es decir, el rendimiento) se mide por su duración y, además, por su convexidad .

La duración es una medida lineal de cómo cambia el precio de un bono en respuesta a cambios en la tasa de interés. Es aproximadamente igual al cambio porcentual en el precio para un cambio dado en el rendimiento, y puede considerarse como la elasticidad del precio del bono con respecto a las tasas de descuento. Por ejemplo, para pequeños cambios en la tasa de interés, la duración es el porcentaje aproximado en el que el valor del bono caerá ante un aumento del 1% anual en la tasa de interés de mercado. Por lo tanto, el precio de mercado de un bono a 17 años con una duración de 7 caería aproximadamente un 7% si la tasa de interés de mercado (o más precisamente la fuerza de interés correspondiente ) aumentara un 1% anual.

La convexidad es una medida de la " curvatura " de los cambios de precio. Es necesaria porque el precio no es una función lineal de la tasa de descuento, sino más bien una función convexa de la tasa de descuento. En concreto, la duración se puede formular como la primera derivada del precio con respecto a la tasa de interés, y la convexidad como la segunda derivada (véase: Fórmula de forma cerrada de duración de bonos ; Fórmula de forma cerrada de convexidad de bonos ; Serie de Taylor ). Siguiendo con el ejemplo anterior, para una estimación más precisa de la sensibilidad, la puntuación de convexidad se multiplicaría por el cuadrado del cambio en la tasa de interés, y el resultado se sumaría al valor derivado por la fórmula lineal anterior.

Para opciones integradas, consulte duración efectiva y convexidad efectiva ; de manera más general, consulte Bonos corporativos § Análisis de riesgo .

Tratamiento contable

En la contabilización de pasivos , cualquier descuento o prima de bonos debe amortizarse a lo largo de la vida del bono. Se pueden utilizar varios métodos para esto, según las reglas contables aplicables. Una posibilidad es que el monto de amortización en cada período se calcule a partir de la siguiente fórmula: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle n\in \{0,1,...,N-1\}}$

${\displaystyle a_{n+1}}$= importe de amortización en el período número "n+1"

${\displaystyle a_{n+1}=|iP-C|{(1+i)}^{n}}$

Descuento de bonos o prima de bonos = = ${\displaystyle |F-P|}$ ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+...+a_{N}}$

Descuento de bonos o prima de bonos = ${\displaystyle F|i-i_{F}|({\frac {1-(1+i)^{-N}}{i}})}$

Véase también

• Lista de temas de valoración de bonos
• Spread de swap de activos
• Convexidad de los bonos
• Duración del bono
• Opción de bonos
• Precio limpio
• Rendimiento del cupón
• Rendimiento actual
• Precio sucio
• Yo me propagué
• Spread ajustado por opciones
• Rendimiento al vencimiento
• Propagación en Z

Referencias

1. Malkiel, Burton G. (1962). "Expectativas, precios de bonos y la estructura temporal de las tasas de interés". The Quarterly Journal of Economics . 76 (2): 197–218. doi :10.2307/1880816. ISSN  0033-5533. JSTOR  1880816.
2. Bodi, Zvi; Kane, Alex.; Marcus, Alan J. (2010). Fundamentos de inversiones (octava edición). Nueva York: McGraw-Hill/Irwin. ISBN 978-0-07-338240-1.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Kalotay, Andrew J.; Williams, George O.; Fabozzi, Frank J. (1993). "Un modelo para la valoración de bonos y opciones incorporadas". Financial Analysts Journal . 49 (3): 35–46. doi :10.2469/faj.v49.n3.35. ISSN  0015-198X – vía Taylor & Francis.
4. Fabozzi, 1998
5. Jones, E. Philip; Mason, Scott P.; Rosenfeld, Eric (1984). "Análisis de reclamaciones contingentes de estructuras de capital corporativas: una investigación empírica". Revista de finanzas . 39 (3): 611–625. doi :10.2307/2327919. ISSN  0022-1082. JSTOR  2327919.
6. Para una derivación análoga a la de Black-Scholes , véase: David Mandel (2015). "Understanding Market Price of Risk", Florida State University
7. John C. Cox , Jonathan E. Ingersoll y Stephen A. Ross (1985). Una teoría de la estructura temporal de las tasas de interés Archivado el 3 de octubre de 2011 en Wayback Machine , Econometrica 53:2

Bibliografía seleccionada

• Guillermo L. Dumrauf (2012). "Capítulo 1: Precios y rentabilidad". Bonos, un análisis paso a paso con Excel . Edición Kindle.
• Frank Fabozzi (1998). Valuación de títulos de renta fija y derivados (3.ª ed.). John Wiley . ISBN 978-1-883249-25-0.
• Frank J. Fabozzi (2005). Matemáticas de renta fija: técnicas analíticas y estadísticas (4.ª ed.). John Wiley. ISBN 978-0071460736.
• R. Stafford Johnson (2010). Evaluación, selección y gestión de bonos (2.ª ed.). John Wiley. ISBN 978-0470478356.
• Mayle, Jan (1993), Métodos estándar de cálculo de valores: Fórmulas de valores de renta fija para determinar precio, rendimiento e interés acumulado , vol. 1 (3.ª ed.), Securities Industry and Financial Markets Association , ISBN 1-882936-01-9
• Donald J. Smith (2011). Matemáticas de bonos: la teoría detrás de las fórmulas . John Wiley. ISBN 978-1576603062.
• Bruce Tuckman (2011). Valores de renta fija: herramientas para los mercados actuales (3.ª ed.). John Wiley. ISBN 978-0470891698.
• Pietro Veronesi (2010). Valores de renta fija: valoración, riesgo y gestión del riesgo . John Wiley. ISBN 978-0470109106.
• Burton Malkiel (1962). "Expectativas, precios de bonos y la estructura temporal de los tipos de interés" . The Quarterly Journal of Economics.
• Mark Mobius (2012). Bonos: Introducción a los conceptos básicos . John Wiley. ISBN 978-0470821473.

Enlaces externos

• Valoración de bonos, Prof. Campbell R. Harvey, Universidad de Duke
• Introducción al valor temporal del dinero, Prof. Aswath Damodaran , Stern School of Business
• Volatilidad del precio de los bonos Sociedad de analistas de inversiones de Sudáfrica
• Duración y convexidad Sociedad de Analistas de Inversiones de Sudáfrica