Transformada de Laplace de dos lados

Operación matemática

En matemáticas , la transformada de Laplace bilateral o transformada de Laplace bilateral es una transformada integral equivalente a la función generadora de momentos de probabilidad . Las transformadas de Laplace bilaterales están estrechamente relacionadas con la transformada de Fourier , la transformada de Mellin , la transformada Z y la transformada de Laplace ordinaria o unilateral . Si f ( t ) es una función real o compleja de la variable real t definida para todos los números reales, entonces la transformada de Laplace bilateral se define por la integral

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}(s)=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

La integral se entiende más comúnmente como una integral impropia , que converge si y sólo si ambas integrales

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt}$

existe. No parece haber una notación generalmente aceptada para la transformada bilateral; la utilizada aquí recuerda a "bilateral". La transformada bilateral utilizada por algunos autores es ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}\{f\}(s)=s{\mathcal {B}}\{f\}(s)=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

En matemáticas puras, el argumento t puede ser cualquier variable y las transformadas de Laplace se utilizan para estudiar cómo los operadores diferenciales transforman la función.

En aplicaciones científicas y de ingeniería , el argumento t a menudo representa el tiempo (en segundos), y la función f ( t ) a menudo representa una señal o forma de onda que varía con el tiempo. En estos casos, las señales se transforman mediante filtros , que funcionan como un operador matemático, pero con una restricción. Tienen que ser causales, lo que significa que la salida en un tiempo dado t no puede depender de una salida que sea un valor mayor de t . En ecología de poblaciones, el argumento t a menudo representa el desplazamiento espacial en un núcleo de dispersión.

Cuando se trabaja con funciones de tiempo, f ( t ) se denomina representación en el dominio temporal de la señal, mientras que F ( s ) se denomina representación en el dominio s (o dominio de Laplace ). La transformación inversa representa entonces una síntesis de la señal como la suma de sus componentes de frecuencia tomados sobre todas las frecuencias, mientras que la transformación directa representa el análisis de la señal en sus componentes de frecuencia.

Relación con la transformada de Fourier

La transformada de Fourier se puede definir en términos de la transformada de Laplace de dos caras:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )=F(\omega ).}$

Tenga en cuenta que las definiciones de la transformada de Fourier difieren y, en particular,

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)}$

En términos de la transformada de Fourier, también podemos obtener la transformada de Laplace bilateral, como

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)={\mathcal {F}}\{f(t)\}(-is).}$

La transformada de Fourier normalmente se define de modo que exista para valores reales; la definición anterior define la imagen en una tira que puede no incluir el eje real donde se supone que converge la transformada de Fourier. ${\displaystyle a<\Im (s)<b}$

Por eso las transformadas de Laplace conservan su valor en la teoría de control y el procesamiento de señales: la convergencia de una integral de transformada de Fourier dentro de su dominio sólo significa que un sistema lineal e invariante al desplazamiento descrito por ella es estable o crítico. La de Laplace, por otra parte, convergerá en algún punto para cada respuesta al impulso que crezca exponencialmente como máximo, porque implica un término adicional que puede tomarse como regulador exponencial. Puesto que no existen redes de retroalimentación lineales con crecimiento superexponencial, el análisis y la solución basados ​​en la transformada de Laplace de sistemas lineales e invariantes al desplazamiento adopta su forma más general en el contexto de las transformadas de Laplace, no de las de Fourier.

Al mismo tiempo, hoy en día la teoría de la transformada de Laplace cae dentro del ámbito de las transformadas integrales más generales , o incluso del análisis armónico general . En ese marco y nomenclatura, las transformadas de Laplace son simplemente otra forma de análisis de Fourier, aunque más general en retrospectiva.

Relación con otras transformadas integrales

Si u es la función escalonada de Heaviside , igual a cero cuando su argumento es menor que cero, a la mitad cuando su argumento es igual a cero y a uno cuando su argumento es mayor que cero, entonces la transformada de Laplace puede definirse en términos de la transformada de Laplace de dos lados por ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={\mathcal {B}}\{fu\}.}$

Por otro lado, también tenemos

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}={\mathcal {L}}\{f\}+{\mathcal {L}}\{f\circ m\}\circ m,}$

donde es la función que multiplica por menos uno ( ), por lo que cualquier versión de la transformada de Laplace se puede definir en términos de la otra. ${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m(x)=-x}$

La transformada de Mellin se puede definir en términos de la transformada de Laplace de dos lados mediante

${\displaystyle {\mathcal {M}}\{f\}={\mathcal {B}}\{f\circ {\exp }\circ m\},}$

con lo anterior, y a la inversa podemos obtener la transformación de dos lados a partir de la transformación de Mellin mediante ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}={\mathcal {M}}\{f\circ m\circ \log \}.}$

La función generadora de momentos de una función de densidad de probabilidad continua ƒ ( x ) se puede expresar como . ${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}(-s)}$

Propiedades

Las siguientes propiedades se pueden encontrar en Bracewell (2000) y Oppenheim & Willsky (1997)

La mayoría de las propiedades de la transformada de Laplace bilateral son muy similares a las propiedades de la transformada de Laplace unilateral, pero existen algunas diferencias importantes:

Teorema de Parseval y teorema de Plancherel

Sean y funciones con transformadas de Laplace bilaterales y en las franjas de convergencia . Sea con . Entonces se cumple el teorema de Parseval : ^[1] ${\displaystyle f_{1}(t)}$ ${\displaystyle f_{2}(t)}$ ${\displaystyle F_{1}(s)}$ ${\displaystyle F_{2}(s)}$ ${\displaystyle \alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \max(-\beta _{1},\alpha _{2})<c<\min(-\alpha _{1},\beta _{2})}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f_{1}(t)}}\,f_{2}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\overline {F_{1}(-{\overline {s}})}}\,F_{2}(s)\,ds}$

Este teorema se demuestra aplicando la transformada de Laplace inversa al teorema de convolución en forma de correlación cruzada.

Sea una función con transformada de Laplace bilateral en la franja de convergencia . Sea con . Entonces se cumple el teorema de Plancherel : ^[2] ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \alpha <\Re s<\beta }$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha <c<\beta }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2c\,t}\,|f(t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|F(c+ir)|^{2}\,dr}$

Unicidad

Para cualesquiera dos funciones para las cuales existen las transformadas de Laplace bilaterales , si , es decir para cada valor de entonces casi en todas partes . ${\textstyle f,g}$ ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\},{\mathcal {T}}\{g\}}$ ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}={\mathcal {T}}\{g\},}$ ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}(s)={\mathcal {T}}\{g\}(s)}$ ${\textstyle s\in \mathbb {R} ,}$ ${\textstyle f=g}$

Región de convergencia

Los requisitos de transformación bilateral para la convergencia son más difíciles que para las transformaciones unilaterales. La región de convergencia normalmente será más pequeña.

Si f es una función localmente integrable (o más generalmente una medida de Borel localmente de variación acotada), entonces la transformada de Laplace F ( s ) de f converge siempre que el límite

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}$

existe. La transformada de Laplace converge absolutamente si la integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}$

existe (como una integral de Lebesgue propia ). La transformada de Laplace suele entenderse como condicionalmente convergente, lo que significa que converge en el primer sentido en lugar del segundo.

El conjunto de valores para los cuales F ( s ) converge absolutamente es de la forma Re( s ) > a o bien Re( s ) ≥ a , donde a es una constante real extendida , −∞ ≤ a ≤ ∞. (Esto se deduce del teorema de convergencia dominada ). La constante a se conoce como la abscisa de convergencia absoluta, y depende del comportamiento de crecimiento de f ( t ). ^[3] Análogamente, la transformada de dos caras converge absolutamente en una franja de la forma a < Re( s ) < b , y posiblemente incluyendo las líneas Re( s ) = a o Re( s ) = b . ^[4] El subconjunto de valores de s para los cuales la transformada de Laplace converge absolutamente se llama la región de convergencia absoluta o el dominio de convergencia absoluta. En el caso de dos caras, a veces se le llama la franja de convergencia absoluta. La transformada de Laplace es analítica en la región de convergencia absoluta.

De manera similar, el conjunto de valores para los cuales F ( s ) converge (condicional o absolutamente) se conoce como la región de convergencia condicional, o simplemente la región de convergencia (ROC). Si la transformada de Laplace converge (condicionalmente) en s = s ₀ , entonces converge automáticamente para todo s con Re( s ) > Re( s ₀ ). Por lo tanto, la región de convergencia es un semiplano de la forma Re( s ) > a , posiblemente incluyendo algunos puntos de la línea límite Re( s ) = a . En la región de convergencia Re( s ) > Re( s ₀ ), la transformada de Laplace de f se puede expresar integrando por partes como la integral

${\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}$

Es decir, en la región de convergencia, F ( s ) puede expresarse efectivamente como la transformada de Laplace absolutamente convergente de alguna otra función. En particular, es analítica.

Hay varios teoremas de Paley-Wiener relativos a la relación entre las propiedades de desintegración de f y las propiedades de la transformada de Laplace dentro de la región de convergencia.

En aplicaciones de ingeniería, una función correspondiente a un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) es estable si cada entrada acotada produce una salida acotada.

Causalidad

Las transformaciones bilaterales no respetan la causalidad . Tienen sentido cuando se aplican sobre funciones genéricas, pero cuando se trabaja con funciones de tiempo (señales), se prefieren las transformaciones unilaterales.

Tabla de transformadas de Laplace bilaterales seleccionadas

La siguiente lista de ejemplos interesantes de la transformada de Laplace bilateral se puede deducir de las transformadas de Fourier o de Laplace unilaterales correspondientes (véase también Bracewell (2000)):

Véase también

• Filtro causal
• Sistema acausal
• Sistema causal
• Filtro sinc : el filtro sinc ideal (también conocido como filtro rectangular) es acausal y tiene un retraso infinito.

Referencias

1. LePage 1980, Capítulo 11-3, pág. 340
2. Widder 1941, Capítulo VI, §8, p.246
3. Widder 1941, Capítulo II, §1
4. Widder 1941, Capítulo VI, §2

• LePage, Wilbur R. (1980). Variables complejas y la transformada de Laplace para ingenieros . Publicaciones de Dover.
• Van der Pol, Balthasar y Bremmer, H., Cálculo operacional basado en la integral de Laplace de dos lados , Chelsea Pub. Co., 3.ª ed., 1987.
• Widder, David Vernon (1941), La transformada de Laplace , Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press , MR  0005923.
• Bracewell, Ronald N. (2000). La transformada de Fourier y sus aplicaciones (3.ª ed.).
• Oppenheim, Alan V.; Willsky, Alan S. (1997). Señales y sistemas (2.ª ed.).