Transformación de Schrieffer-Wolff

In physics, an operator version of second-order perturbation theory

En mecánica cuántica , la transformación de Schrieffer-Wolff es una transformación unitaria utilizada para determinar un hamiltoniano efectivo (a menudo de baja energía) mediante el desacoplamiento de subespacios que interactúan débilmente. ^{[1] [2]} Utilizando un enfoque perturbativo , la transformación se puede construir de modo que la interacción entre los dos subespacios se desvanezca hasta el orden deseado en la perturbación. La transformación también diagonaliza perturbativamente el hamiltoniano del sistema a primer orden en la interacción. En esto, la transformación de Schrieffer-Wolff es una versión del operador de la teoría de perturbación de segundo orden . La transformación de Schrieffer-Wolff se utiliza a menudo para proyectar las excitaciones de alta energía de un hamiltoniano cuántico de muchos cuerpos dado con el fin de obtener un modelo efectivo de baja energía . ^[1] La transformación de Schrieffer-Wolff proporciona así una forma perturbativa controlada de estudiar el régimen de acoplamiento fuerte de los hamiltonianos cuánticos de muchos cuerpos.

Aunque comúnmente se atribuye al artículo en el que se obtuvo el modelo Kondo a partir del modelo de impurezas de Anderson por JR Schrieffer y PA Wolff., ^[3] Joaquin Mazdak Luttinger y Walter Kohn utilizaron este método en un trabajo anterior sobre la teoría de perturbación k·p no periódica . ^[4] Usando la transformación de Schrieffer-Wolff, las excitaciones de carga de alta energía presentes en el modelo de impurezas de Anderson se proyectan y se obtiene un hamiltoniano efectivo de baja energía que solo tiene fluctuaciones de carga virtuales. Para el caso del modelo de impurezas de Anderson, la transformación de Schrieffer-Wolff mostró que el modelo Kondo se encuentra en el régimen de acoplamiento fuerte del modelo de impurezas de Anderson.

Derivación

Consideremos un sistema cuántico que evoluciona bajo el operador hamiltoniano independiente del tiempo de la forma: donde es un hamiltoniano con estados propios conocidos y valores propios correspondientes , y donde es una pequeña perturbación. Además, se supone sin pérdida de generalidad que está puramente fuera de la diagonal en la base propia de , es decir, para todo . De hecho, esta situación siempre se puede arreglar absorbiendo los elementos diagonales de en , modificando así sus valores propios a . ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle H=H_{0}+V}$$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle |m\rangle }$ ${\displaystyle E_{m}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle \langle m|V|m\rangle =0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle E'_{m}=E_{m}+\langle m|V|m\rangle }$

La transformación de Schrieffer–Wolff es una transformación unitaria que expresa el hamiltoniano en una base (la base "vestida") ^[5] donde es diagonal a primer orden en la perturbación . Esta transformación unitaria se escribe convencionalmente como: Cuando es pequeño, el generador de la transformación también será pequeño. La transformación se puede expandir en utilizando la fórmula de Baker-Campbell-Haussdorf Aquí, es el conmutador entre los operadores y . En términos de y , la transformación se convierte en El hamiltoniano se puede hacer diagonal a primer orden en eligiendo el generador tal que Esta ecuación siempre tiene una solución definida bajo el supuesto de que está fuera de la diagonal en la base propia de . Sustituir esta elección en la transformación anterior produce: Esta expresión es la forma estándar de la transformación de Schrieffer–Wolff. Nótese que todos los operadores en el lado derecho ahora se expresan en una nueva base "vestida" por la interacción a primer orden. ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle H'=e^{S}He^{-S}}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle H'=H+[S,H]+{\frac {1}{2}}[S,[S,H]]+\dots }$$ ${\displaystyle [A,B]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle H'=H_{0}+V+[S,H_{0}]+[S,V]+{\frac {1}{2}}[S,[S,H_{0}]]+{\frac {1}{2}}[S,[S,V]]+\dots }$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle V+[S,H_{0}]=0}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}}$ $${\displaystyle H'=H_{0}+{\frac {1}{2}}[S,V]+O(V^{3})}$$ ${\displaystyle V}$

En el caso general, el paso difícil de la transformación es encontrar una expresión explícita para el generador . Una vez hecho esto, es sencillo calcular el hamiltoniano de Schrieffer-Wolff calculando el conmutador . El hamiltoniano puede entonces proyectarse sobre cualquier subespacio de interés para obtener un hamiltoniano proyectado efectivo para ese subespacio. Para que la transformación sea precisa, los subespacios eliminados deben estar energéticamente bien separados del subespacio de interés, lo que significa que la fuerza de la interacción debe ser mucho menor que la diferencia de energía entre los subespacios. Este es el mismo régimen de validez que en la teoría de perturbaciones de segundo orden estándar . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [S,V]}$ ${\displaystyle V}$

Caso particular

Esta sección ilustrará cómo calcular prácticamente la transformación Schrieffer-Wolff (SW) en el caso particular de un hamiltoniano no perturbado que es diagonal en bloque.

Pero primero, para calcular cualquier cosa correctamente, es importante entender lo que está sucediendo realmente durante todo el procedimiento. La transformación SW es ​​unitaria, por lo que no cambia la cantidad de información ni la complejidad del hamiltoniano. La mezcla resultante de los elementos de la matriz crea, sin embargo, una jerarquía en la información (por ejemplo, valores propios), que puede usarse posteriormente para una proyección en el sector relevante. Además, cuando los elementos fuera de la diagonal que acoplan los bloques son mucho más pequeños que las escalas de energía no perturbadas típicas, se permite una expansión perturbativa para simplificar el problema. ${\displaystyle W=e^{S}}$

Consideremos ahora, para ser más concretos, el hamiltoniano completo con una parte no perturbada formada por bloques independientes . En física, y en la motivación original de la transformación SW, se desea que cada bloque corresponda a una escala de energía distinta. En particular, todos los niveles de energía degenerados deberían pertenecer al mismo bloque. Este hamiltoniano bien dividido es nuestro punto de partida . Un acoplamiento perturbativo adquiere ahora un significado específico: el elemento matricial típico que acopla diferentes sectores debe ser mucho menor que las diferencias de valores propios entre esos sectores. La transformación SW modificará cada bloque en un hamiltoniano efectivo incorporando ("integrando") los efectos de los otros bloques a través de la perturbación . Al final, es suficiente observar el sector de interés (llamado proyección) y trabajar con el hamiltoniano efectivo elegido para calcular, por ejemplo, valores propios y vectores propios. En física, esto generaría hamiltonianos efectivos de baja (o alta) energía. ${\displaystyle H=H_{0}+V}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle H_{0}^{i}}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}^{i}}$ ${\displaystyle H_{eff}^{i}}$ ${\displaystyle V}$

Como se mencionó en la sección anterior, el paso difícil es el cálculo del generador de la transformación SW. Para obtener resultados comparables a la teoría de perturbaciones de segundo orden, es suficiente resolver la ecuación (ver Derivación). Un truco simple en dos pasos está disponible cuando es diagonal de bloques. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [H_{0},S]=V}$ ${\displaystyle H_{0}}$

El primer paso consiste en encontrar la transformación unitaria que diagonaliza . Como cada bloque puede diagonalizarse con una transformación unitaria (esta es la matriz de vectores propios derechos de ), basta con construir , compuesta por las rotaciones más pequeñas en su diagonal, para transformarla en una matriz diagonal pura . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle H_{0}^{i}}$ ${\displaystyle U^{i}}$ ${\displaystyle H_{0}^{i}}$ ${\displaystyle U=\operatorname {diag} (U^{i})}$ ${\displaystyle U^{i}}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle D_{0}=\operatorname {diag} (d_{i})}$

La aplicación de a toda la matriz produce entonces una perturbación transformada , que permanece fuera de la diagonal. En esta nueva forma, el segundo paso para calcular se vuelve muy simple, ya que obtenemos una expresión explícita, en componentes: donde denota el elemento n-ésimo en la diagonal de . La razón para esto proviene de la observación de que, para cualquier matriz , y matriz diagonal , tenemos la relación . Dado que el generador para está definido por , la fórmula anterior se deduce inmediatamente. Como se esperaba, el operador asociado es unitario (satisface ) porque el denominador de cambia de signo cuando se transpone, y es hermítico. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle H_{D}=U^{-1}HU=D_{0}+V'}$$ ${\displaystyle V'=U^{-1}VU}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S_{ij}={\frac {V'_{ij}}{d_{i}-d_{j}}}}$$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle D_{0}}$ ${\displaystyle A=(A_{ij})}$ ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (d_{i})}$ ${\displaystyle [D,A]_{ij}=(d_{i}-d_{j})A_{ij}}$ ${\displaystyle H_{D}}$ ${\displaystyle [D_{0},S]=V'}$ ${\displaystyle W=e^{S}}$ ${\displaystyle W^{\dagger }=W^{-1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$

Utilizando la última fórmula en la derivación, el hamiltoniano de segundo orden transformado por Schrieffer-Wolff tiene ahora una forma explícita en función de sus términos elementales y : ${\displaystyle H'=e^{S}H_{D}e^{-S}}$ ${\displaystyle D_{0}}$ ${\displaystyle V'}$ $${\displaystyle H'_{ij}=d_{i}\delta _{ij}+{\frac {1}{2}}\sum _{k}V'_{ik}V'_{kj}\left({\frac {1}{d_{i}-d_{k}}}+{\frac {1}{d_{j}-d_{k}}}\right)+O(V'^{3})}$$

Los estados "vestidos" tienen una energía que sigue la receta de la teoría de perturbación de primer orden (no degenerada). Esto es aplicable ya que la transformación SW se basa en la aproximación Nótese que la rotación unitaria no afecta los valores propios, lo que significa que también es una aproximación significativa para el hamiltoniano original . $${\displaystyle E'_{n}=d_{n}+\sum _{k}{\frac {V'_{nk}V'_{kn}}{d_{n}-d_{k}}}}$$ ${\displaystyle |V_{ij}|\ll |d_{i}-d_{j}|}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E'_{n}}$ ${\displaystyle H}$

Los estados "vestidos" en sí mismos pueden derivarse, también en la teoría de perturbaciones de primer orden, como Observe el índice del estado propio no perturbado de para recordar la base rotada actual de . Para expresar los estados propios en la base natural de sí mismo, es necesario realizar la transformación unitaria . $${\displaystyle \psi '_{n}=\psi _{R,n}+{\frac {1}{2}}\sum _{k\neq n}\sum _{j}\psi _{R,k}V'_{kj}V'_{jn}{\frac {2d_{j}-d_{k}-d_{n}}{(d_{j}-d_{n})(d_{j}-d_{k})(d_{n}-d_{k})}}}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \psi _{R}}$ ${\displaystyle D_{0}}$ ${\displaystyle H_{D}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \psi _{R}\to U^{-1}\psi }$

Referencias

1. Bravyi, S.; DiVincenzo, D.; Loss, D. (2011). "Transformación de Schrieffer-Wolff para sistemas cuánticos de muchos cuerpos". Anales de Física . 326 (10): 2793–2826. arXiv : 1105.0675 . Código Bibliográfico :2011AnPhy.326.2793B. doi :10.1016/j.aop.2011.06.004. S2CID  119272104.
2. Winkler, Roland (2003). Efectos de acoplamiento de espín-órbita en sistemas de electrones y huecos bidimensionales: con 26 tablas . Berlín Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-01187-3.
3. Schrieffer, JR; Wolff, PA (septiembre de 1966). "Relación entre los hamiltonianos de Anderson y Kondo". Physical Review . 149 (2): 491–492. Bibcode :1966PhRv..149..491S. doi :10.1103/PhysRev.149.491.
4. Luttinger, JR; Kohn, W. (febrero de 1955). "Movimiento de electrones y huecos en campos periódicos perturbados". Physical Review . 97 (4): 869–883. Bibcode :1955PhRv...97..869L. doi :10.1103/PhysRev.97.869.
5. BARNETT, STEPHEN M.; RADMORE, PAUL M. (14 de noviembre de 2002), "Estados vestidos", Métodos en óptica cuántica teórica , Oxford University Press, Oxford, págs. 182-221, doi :10.1093/acprof:oso/9780198563617.003.0006, ISBN 0-19-856361-2, consultado el 20 de enero de 2024

Lectura adicional

• Phillips, Philip (2012). Física avanzada del estado sólido (segunda edición). Nueva York: Cambridge University Press. pp. 109–114. ISBN 978-1-107-49346-9.sobredosis