Teoría de la ruina

Teoría en la ciencia actuarial y probabilidad aplicada

En la ciencia actuarial y la probabilidad aplicada , la teoría de la ruina (a veces teoría del riesgo ^[1] o teoría del riesgo colectivo ) utiliza modelos matemáticos para describir la vulnerabilidad de una aseguradora a la insolvencia o la ruina. En dichos modelos, las magnitudes clave de interés son la probabilidad de ruina, la distribución del superávit inmediatamente antes de la ruina y el déficit en el momento de la ruina.

Modelo clásico

Ejemplo de ruta de proceso de riesgo de Poisson compuesto

La base teórica de la teoría de la ruina, conocida como modelo de Cramér-Lundberg (o modelo de riesgo compuesto-Poisson clásico, proceso de riesgo clásico ^[2] o proceso de riesgo de Poisson) fue introducida en 1903 por el actuario sueco Filip Lundberg . ^[3] El trabajo de Lundberg fue republicado en la década de 1930 por Harald Cramér . ^[4]

El modelo describe una compañía de seguros que experimenta dos flujos de efectivo opuestos: primas entrantes en efectivo y reclamaciones salientes. Las primas llegan a un ritmo constante de los clientes y las reclamaciones llegan de acuerdo con un proceso de Poisson con intensidad y son variables aleatorias no negativas independientes e idénticamente distribuidas con distribución y media (forman un proceso de Poisson compuesto ). Por lo tanto, para una aseguradora que comienza con un superávit inicial , los activos agregados están dados por: ^[5] ${\textstyle c>0}$ ${\displaystyle N_{t}}$ ${\textstyle \lambda }$ ${\displaystyle \xi _{i}}$ ${\textstyle F}$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle x}$ ${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for t}}\geq 0.}$

El objetivo central del modelo es investigar la probabilidad de que el nivel de excedente de la aseguradora caiga eventualmente por debajo de cero (provocando la quiebra de la empresa). Esta cantidad, llamada probabilidad de ruina final, se define como

${\displaystyle \psi (x)=\mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}}$,

donde el tiempo de ruina es con la convención de que . Esto se puede calcular exactamente usando la fórmula de Pollaczek–Khinchine como ^[6] (la función de ruina aquí es equivalente a la función de cola de la distribución estacionaria del tiempo de espera en una cola M/G/1 ^[7] ) ${\displaystyle \tau =\inf\{t>0\,:\,X(t)<0\}}$ ${\displaystyle \inf \varnothing =\infty }$

${\displaystyle \psi (x)=\left(1-{\frac {\lambda \mu }{c}}\right)\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\lambda \mu }{c}}\right)^{n}(1-F_{l}^{\ast n}(x))}$

¿Dónde está la transformada de la distribución de cola de , ${\displaystyle F_{l}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F_{l}(x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{x}\left(1-F(u)\right){\text{d}}u}$

y denota la convolución de pliegues . En el caso en que los tamaños de las reclamaciones se distribuyen exponencialmente, esto se simplifica a ^[7] ${\displaystyle \cdot ^{\ast n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \psi (x)={\frac {\lambda \mu }{c}}e^{-\left({\frac {1}{\mu }}-{\frac {\lambda }{c}}\right)x}.}$

Modelo de Sparre Andersen

E. Sparre Andersen amplió el modelo clásico en 1957 ^[8] al permitir que los tiempos entre llegadas de reclamaciones tuvieran funciones de distribución arbitrarias. ^[9]

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for }}t\geq 0,}$

donde el proceso de número de reclamación es un proceso de renovación y son variables aleatorias independientes y distribuidas de forma idéntica. El modelo supone además que casi con seguridad y que y son independientes. El modelo también se conoce como modelo de riesgo de renovación. ${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \xi _{i}>0}$ ${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$

Función de penalización descontada esperada

Michael R. Powers ^[10] y Gerber y Shiu ^[11] analizaron el comportamiento del excedente de la aseguradora a través de la función de penalización descontada esperada , que comúnmente se conoce como función Gerber-Shiu en la literatura sobre ruina y que lleva el nombre de los científicos actuariales Elias SW Shiu y Hans-Ulrich Gerber. Es discutible si la función debería haberse llamado función Powers-Gerber-Shiu debido a la contribución de Powers. ^[10]

En notación de potencias , esto se define como

${\displaystyle m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }K_{\tau }]}$,

donde es la fuerza de descuento del interés, es una función de penalización general que refleja los costos económicos para la aseguradora en el momento de la ruina, y la expectativa corresponde a la medida de probabilidad . La función se denomina costo esperado descontado de la insolvencia por Powers. ^[10] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle K_{\tau }}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$

En la notación de Gerber y Shiu, se da como

${\displaystyle m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }w(X_{\tau -},X_{\tau })\mathbb {I} (\tau <\infty )]}$,

donde es la fuerza de descuento del interés y es una función de penalización que captura los costos económicos para la aseguradora en el momento de la ruina (que se supone que dependen del superávit antes de la ruina y del déficit en la ruina ), y la expectativa corresponde a la medida de probabilidad . Aquí la función indicadora enfatiza que la penalización se ejerce solo cuando ocurre la ruina. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle w(X_{\tau -},X_{\tau })}$ ${\displaystyle X_{\tau -}}$ ${\displaystyle X_{\tau }}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {I} (\tau <\infty )}$

Es bastante intuitivo interpretar la función de penalización descontada esperada. Dado que la función mide el valor actual actuarial de la penalización que ocurre en , la función de penalización se multiplica por el factor de descuento y luego se promedia sobre la distribución de probabilidad del tiempo de espera hasta . Mientras que Gerber y Shiu ^[11] aplicaron esta función al modelo compuesto-Poisson clásico, Powers ^[10] argumentó que el excedente de una aseguradora se modela mejor mediante una familia de procesos de difusión. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle e^{-\delta \tau }}$ ${\displaystyle \tau }$

Existe una gran variedad de cantidades relacionadas con la ruina que entran en la categoría de la función de penalización descontada esperada.

Otras cantidades relacionadas con las finanzas que pertenecen a la clase de la función de penalización descontada esperada incluyen la opción de venta americana perpetua, ^[12] el reclamo contingente en el momento de ejercicio óptimo y más.

Acontecimientos recientes

• Modelo de riesgo compuesto de Poisson con interés constante
• Modelo de riesgo compuesto de Poisson con interés estocástico
• Modelo de riesgo de movimiento browniano
• Modelo general del proceso de difusión
• Modelo de riesgo modulado por Markov
• Calculadora del factor de probabilidad de accidente (FPA) – modelo de análisis de riesgos (@SBH)

Véase también

• Riesgo financiero
• Ecuación integral de Volterra § Aplicación: Teoría de la ruina
• Selección de carteras sujeta a restricciones de azar

Referencias

1. Embrechts, P.; Klüppelberg, C .; Mikosch, T. (1997). "1 Teoría del riesgo". Modelado de eventos extremos . Modelado estocástico y probabilidad aplicada. Vol. 33. p. 21. doi :10.1007/978-3-642-33483-2_2. ISBN 978-3-540-60931-5.
2. Delbaen, F.; Haezendonck, J. (1987). "Teoría clásica del riesgo en un entorno económico". Seguros: Matemáticas y Economía . 6 (2): 85. doi :10.1016/0167-6687(87)90019-9.
3. Lundberg, F. (1903) Aproximerad Framställning av Sannolikehetsfunktionen, Återförsäkering av Kollektivrisker, Almqvist & Wiksell, Uppsala.
4. Blom, G. (1987). "Harald Cramer 1893-1985". Anales de Estadística . 15 (4): 1335–1350. doi : 10.1214/aos/1176350596 . JSTOR  2241677.
5. Kyprianou, AE (2006). "Procesos y aplicaciones de Lévy". Lecciones introductorias sobre fluctuaciones de procesos de Lévy con aplicaciones . Springer Berlin Heidelberg. págs. 1–32. doi :10.1007/978-3-540-31343-4_1. ISBN 978-3-540-31342-7.
6. Huzak, Miljenko; Perman, Mihael; Šikić, Hrvoje; Vondraček, Zoran (2004). "Arruinar las probabilidades de procesos de reclamaciones en competencia". Revista de probabilidad aplicada . 41 (3). Fideicomiso de probabilidad aplicada : 679–690. doi : 10.1239/jap/1091543418. JSTOR  4141346. S2CID  14499808.
7. Rolski, Tomasz; Schmidli, Hanspeter; Schmidt, Volker; Teugels, Jozef (2008). "Procesos de riesgo". Procesos estocásticos para seguros y finanzas . Serie Wiley en probabilidad y estadística. págs. 147–204. doi :10.1002/9780470317044.ch5. ISBN 9780470317044.
8. Andersen, E. Sparre. "Sobre la teoría colectiva del riesgo en caso de contagio entre siniestros". Actas del XV Congreso Internacional de Actuarios . Vol. 2. Núm. 6. 1957.
9. Thorin, Olof. "Algunos comentarios sobre el modelo de Sparre Andersen en la teoría del riesgo" Boletín ASTIN: revista internacional de estudios actuariales en seguros distintos del seguro de vida y teoría del riesgo (1974): 104.
10. Powers, MR (1995). "Una teoría del riesgo, la rentabilidad y la solvencia". Seguros: Matemáticas y Economía . 17 (2): 101–118. doi :10.1016/0167-6687(95)00006-E.
11. Gerber, HU; Shiu, ESW (1998). "Sobre el valor temporal de la ruina". Revista Actuarial de América del Norte . 2 : 48–72. doi :10.1080/10920277.1998.10595671. S2CID  59054002.
12. Gerber, HU; Shiu, ESW (1997). "De la teoría de la ruina a la fijación de precios de opciones" (PDF) . Coloquio AFIR, Cairns, Australia 1997 .

Lectura adicional

• Gerber, HU (1979). Introducción a la teoría matemática del riesgo . Filadelfia: SS Heubner Foundation Monograph Series 8.
• Asmussen S., Albrecher H. (2010). Probabilidades de ruina, 2.ª edición . Singapur: World Scientific Publishing Co.