Teoría de la oscilación

En matemáticas , en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias , una solución no trivial a una ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle F(x,y,y',\ \dots ,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}\quad x\in [0,+\infty )}$

se llama oscilante si tiene un número infinito de raíces ; de lo contrario se llama no oscilante . La ecuación diferencial se llama oscilante si tiene una solución oscilante. El número de raíces también contiene información sobre el espectro de problemas de valores límite asociados .

Ejemplos

La ecuación diferencial

${\displaystyle y''+y=0}$

oscila ya que sin( x ) es una solución.

Conexión con la teoría espectral.

La teoría de la oscilación fue iniciada por Jacques Charles François Sturm en sus investigaciones de los problemas de Sturm-Liouville de 1836. Allí demostró que la enésima función propia de un problema de Sturm-Liouville tiene precisamente n-1 raíces. Para la ecuación unidimensional de Schrödinger , la pregunta sobre oscilación/no oscilación responde a la pregunta de si los valores propios se acumulan en la parte inferior del espectro continuo.

Teoría de la oscilación relativa

En 1996, Gesztesy – Simon – Teschl demostró que el número de raíces del determinante de Wronski de dos funciones propias de un problema de Sturm-Liouville da el número de valores propios entre los valores propios correspondientes. Más tarde, Krüger-Teschl lo generalizó al caso de dos funciones propias de dos problemas diferentes de Sturm-Liouville. La investigación del número de raíces del determinante de Wronski de dos soluciones se conoce como teoría de la oscilación relativa.

Ver también

Los resultados clásicos en la teoría de la oscilación son:

• Teorema de Kneser (ecuaciones diferenciales)
• Teorema de comparación de Sturm-Picone
• Teorema de separación de Sturm

Referencias

• Atkinson, FV (1964). Problemas de límites discretos y continuos . Prensa académica. ISBN 978-0-08-095516-2.
• Gesztesy, F.; Simón, B.; Teschl, G. (1996). «Ceros de la teoría wronskiana y de la oscilación renormalizada» (PDF) . Soy. J. Matemáticas . 118 (3): 571–594. doi :10.1353/ajm.1996.0024. S2CID  14430688.
• Kreith, K. (1973). Teoría de la Oscilación . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 324. Saltador. doi :10.1007/BFb0067537. ISBN 978-3-540-40005-9.
• Krüger, H.; Teschl, G. (2009). "Teoría de la oscilación relativa, ceros ponderados del Wronskiano y la función de desplazamiento espectral". Comunitario. Matemáticas. Física . 287 (2): 613–640. arXiv : matemáticas/0703574 . Código Bib : 2009CMaPh.287..613K. doi :10.1007/s00220-008-0600-8. S2CID  881636.
• Sturm, JCF (1836). "Mémoire Sur les Equations différentielles linéaires du second ordre". J. Matemáticas. Pures Appl . 1 : 106–186.Reimpreso en Pont, Jean-Claude, ed. (2009). Obras completas de Charles François Sturm . Saltador. págs. 392–472. doi :10.1007/978-3-7643-7990-2_30.
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• Teschl, G. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Weidmann, J. (1987). Teoría espectral de operadores diferenciales ordinarios . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1258. Saltador. doi :10.1007/BFb0077960. ISBN 978-3-540-47912-3.