Ecuación de ionización de Saha

Relación entre el estado de ionización de un gas y la temperatura y la presión

En física, la ecuación de ionización de Saha es una expresión que relaciona el estado de ionización de un gas en equilibrio térmico con la temperatura y la presión. ^{[1] [2]} La ecuación es el resultado de combinar ideas de la mecánica cuántica y la mecánica estadística y se utiliza para explicar la clasificación espectral de las estrellas. La expresión fue desarrollada por el físico Meghnad Saha en 1920. ^{[3] [4]} Se analiza en muchos libros de texto sobre física estadística y física del plasma. ^[5]

Descripción

En el caso de un gas a una temperatura suficientemente alta (aquí se mide en unidades de energía, es decir, keV o J) y/o densidad , las colisiones térmicas de los átomos ionizarán algunos de ellos, lo que dará lugar a un gas ionizado. Cuando se liberan varios o más de los electrones que normalmente están unidos al átomo en órbitas alrededor del núcleo atómico, forman una nube de gas de electrones independiente que coexiste con el gas circundante de iones atómicos y átomos neutros. Con una ionización suficiente, el gas puede alcanzar el estado de la materia denominado plasma .

La ecuación de Saha describe el grado de ionización de cualquier gas en equilibrio térmico en función de la temperatura, la densidad y las energías de ionización de los átomos. La ecuación de Saha sólo es válida para plasmas débilmente ionizados para los que la longitud de Debye es pequeña. Esto significa que el apantallamiento de la interacción de Coulomb de iones y electrones por otros iones y electrones es insignificante. La consiguiente reducción de los potenciales de ionización y el "corte" de la función de partición también son, por tanto, insignificantes.

Para un gas compuesto de una sola especie atómica, la ecuación de Saha se escribe: donde: $${\displaystyle {\frac {n_{i+1}n_{\text{e}}}{n_{i}}}={\frac {2}{\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{i+1}}{g_{i}}}\exp \left[-{\frac {(\varepsilon _{i+1}-\varepsilon _{i})}{k_{\text{B}}T}}\right]}$$

• ${\displaystyle n_{i}}$es la densidad de átomos en el i -ésimo estado de ionización, es decir con i electrones eliminados.
• ${\displaystyle g_{i}}$es la degeneración de estados para los i -iones
• ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$es la energía necesaria para eliminar i electrones de un átomo neutro, creando un ion de nivel i .
• ${\displaystyle n_{\text{e}}}$es la densidad de electrones
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$¿es la constante de Boltzmann?
• ${\displaystyle \lambda _{\text{th}}}$es la longitud de onda térmica de De Broglie de un electrón $${\displaystyle \lambda _{\text{th}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {h}{\sqrt {2\pi m_{\text{e}}k_{\text{B}}T}}}}$$
• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$es la masa de un electrón
• ${\displaystyle T}$es la temperatura del gas
• ${\displaystyle h}$¿es la constante de Planck?

La expresión es la energía necesaria para eliminar el electrón n. En el caso en que solo sea importante un nivel de ionización, tenemos y definiendo la densidad total n como , la ecuación de Saha se simplifica a: donde es la energía de ionización. Podemos definir el grado de ionización y encontrar ${\displaystyle (\varepsilon _{i+1}-\varepsilon _{i})}$ ${\displaystyle (i+1)}$ ${\displaystyle n_{1}=n_{\text{e}}}$ ${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {n_{\text{e}}^{2}}{n-n_{\text{e}}}}={\frac {2}{\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right]}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x=n_{1}/n}$ $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{1-x}}=A={\frac {2}{n\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right]}$$

Esto da una ecuación cuadrática que se puede resolver en forma cerrada: $${\displaystyle x^{2}+Ax-A=0}$$

Para pequeños , , de modo que la ionización disminuye con la densidad. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\approx A^{1/2}\propto n^{-1/2}}$

Como ejemplo simple, imaginemos un gas de átomos de hidrógeno monoatómico, establezcamos y sea = ${\displaystyle g_{0}=g_{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$13,6  eV =158 000  K , la energía de ionización del hidrógeno desde su estado fundamental. Sea = ${\displaystyle n}$2,69 × 10 ²⁵  m ⁻³ , que es la constante de Loschmidt o densidad de partículas de la atmósfera terrestre a presión y temperatura estándar. En = ${\displaystyle T}$300 K , la ionización es esencialmente nula: = ${\displaystyle x}$5 × 10 ⁻¹¹⁵ y casi con certeza no habría átomos ionizados en el volumen de la atmósfera de la Tierra. aumenta rápidamente con, alcanzando 0,35 para = ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$20 000  K. Hay una ionización sustancial aunque estaes mucho menor que la energía de ionización (aunque esto depende un poco de la densidad). Esto es algo que ocurre con frecuencia. Físicamente, se debe al hecho de que a una temperatura dada, las partículas tienen una distribución de energías, incluidas algunas con varias veces. Estas partículas de alta energía son mucho más efectivas para ionizar átomos. En la atmósfera de la Tierra, la ionización en realidad no está gobernada por la ecuación de Saha sino por rayos cósmicos muy energéticos, principalmente muones. Estas partículas no están en equilibrio térmico con la atmósfera, por lo que no están a su temperatura y la lógica de Saha no se aplica. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Ionización del hidrógeno a partir de la ecuación de Saha en función de la temperatura para tres densidades de números iónicos totales (en relación con la constante de Loschmidt ).

Densidades de partículas

La ecuación de Saha es útil para determinar la relación de densidades de partículas para dos niveles de ionización diferentes. La forma más útil de la ecuación de Saha para este propósito es donde Z denota la función de partición . La ecuación de Saha puede verse como una reformulación de la condición de equilibrio para los potenciales químicos : $${\displaystyle {\frac {Z_{i}}{N_{i}}}={\frac {Z_{i+1}Z_{e}}{N_{i+1}N_{e}}},}$$ $${\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i+1}+\mu _{e}\,}$$

Esta ecuación simplemente establece que el potencial para que un átomo en estado de ionización i se ionice es el mismo que el potencial para un electrón y un átomo en estado de ionización i + 1 ; los potenciales son iguales, por lo tanto, el sistema está en equilibrio y no se producirá ningún cambio neto de ionización.

Atmósferas estelares

A principios de los años veinte, Ralph H. Fowler (en colaboración con Charles Galton Darwin ) desarrolló un nuevo método en mecánica estadística que permitía un cálculo sistemático de las propiedades de equilibrio de la materia. Lo utilizó para proporcionar una derivación rigurosa de la fórmula de ionización que Saha había obtenido, extendiendo a la ionización de los átomos el teorema de Jacobus Henricus van 't Hoff , utilizado en química física para su aplicación a la disociación molecular. Además, una mejora significativa en la ecuación de Saha introducida por Fowler fue la inclusión del efecto de los estados excitados de átomos e iones. Otro paso importante se produjo en 1923, cuando Edward Arthur Milne y R.H. Fowler publicaron un artículo en Monthly Notices of the Royal Astronomical Society , demostrando que el criterio de la intensidad máxima de las líneas de absorción (pertenecientes a series subordinadas de un átomo neutro) era mucho más fructífero para proporcionar información sobre los parámetros físicos de las atmósferas estelares que el criterio empleado por Saha, que consistía en la aparición o desaparición marginal de las líneas de absorción. El último criterio requiere cierto conocimiento de las presiones relevantes en las atmósferas estelares, y Saha, siguiendo la opinión generalmente aceptada en ese momento, asumió un valor del orden de 1 a 0,1 atmósferas. Milne escribió:

Saha se había concentrado en las apariciones y desapariciones marginales de las líneas de absorción en la secuencia estelar, suponiendo un orden de magnitud para la presión en una atmósfera estelar y calculando la temperatura donde el aumento de la ionización, por ejemplo, inhibía una mayor absorción de la línea en cuestión debido a la pérdida del electrón en serie. Mientras Fowler y yo estábamos un día dando vueltas por mis habitaciones en Trinity y discutiendo esto, de repente se me ocurrió que la intensidad máxima de las líneas de Balmer del hidrógeno , por ejemplo, se explicaba fácilmente considerando que a las temperaturas más bajas había muy pocos átomos excitados para dar una absorción apreciable, mientras que a las temperaturas más altas quedan muy pocos átomos neutros para dar alguna absorción. ... Esa tarde hice un cálculo apresurado del orden de magnitud del efecto y encontré que para coincidir con una temperatura de 10000° [K] para las estrellas de tipo A0, donde las líneas de Balmer tienen su máximo, se requería una presión del orden de 10 ⁻⁴ atmósferas. Esto fue muy emocionante, porque se suponía que las determinaciones estándar de presiones en atmósferas estelares a partir de desplazamientos y anchos de línea indicaban una presión del orden de una atmósfera o más, y yo había comenzado a no creerlo por otros motivos. ^[6]

La opinión generalmente aceptada en ese momento suponía que la composición de las estrellas era similar a la de la Tierra. Sin embargo, en 1925 Cecilia Payne utilizó la teoría de ionización de Saha para calcular que la composición de las atmósferas estelares es como las conocemos ahora: principalmente hidrógeno y helio, ampliando el conocimiento de las estrellas. ^[7]

Coronas estelares

El equilibrio de Saha prevalece cuando el plasma se encuentra en equilibrio termodinámico local , lo que no sucede en la corona ópticamente delgada . En este caso, los estados de ionización de equilibrio deben estimarse mediante un cálculo estadístico detallado de las tasas de colisión y recombinación.

Universo primitivo

La ionización en equilibrio, descrita por la ecuación de Saha, explica la evolución en el universo primitivo. Después del Big Bang , todos los átomos se ionizaron, quedando principalmente protones y electrones. Según el enfoque de Saha, cuando el universo se había expandido y enfriado de tal manera que la temperatura alcanzó aproximadamenteA 3000 K , los electrones se recombinaron con los protones y formaron átomos de hidrógeno . En ese momento, el universo se volvió transparente a la mayor parte de la radiación electromagnética.La superficie de 3000 K , desplazada al rojo por un factor de aproximadamente 1000, genera la radiación de fondo de microondas cósmica de 3 K , que impregna el universo actual.

Referencias

1. Alexander A. Fridman (2008). Química del plasma . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . pp. 94. ISBN. 978-0-521-84735-3.
2. Chen, Francis F. (2016). Introducción a la física del plasma y la fusión controlada. p. 2. Bibcode :2016ippc.book.....C. doi :10.1007/978-3-319-22309-4. ISBN 978-3-319-22309-4.
3. Saha, Megh Nad (1920). "LIII. Ionización en la cromosfera solar". Revista filosófica . Serie 6. 40 (238): 472–488. doi :10.1080/14786441008636148.
4. Saha, MN (1921). "Sobre una teoría física de los espectros estelares". Actas de la Royal Society A: Ciencias matemáticas, físicas e ingeniería . 99 (697): 135–153. Bibcode :1921RSPSA..99..135S. doi : 10.1098/rspa.1921.0029 .
5. Drake, R. Paul (2018), Drake, R Paul (ed.), "Propiedades de los plasmas de alta densidad energética", Física de alta densidad energética: fundamentos de la fusión inercial y la astrofísica experimental , Cham: Springer International Publishing, págs. 51-114, doi :10.1007/978-3-319-67711-8_3, ISBN 978-3-319-67711-8, consultado el 24 de junio de 2024
6. "Memorias biográficas: Meghnad Saha".
7. Steven Soter y Neil deGrasse Tyson (2000). "Cecilia Payne y la composición de las estrellas". Museo Americano de Historia Natural .

Enlaces externos

• Derivación y discusión por Hale Bradt
• Una derivación detallada del Departamento de Física de la Universidad de Utah
• Notas de clase del Departamento de Astronomía de la Universidad de Maryland