La teoría de la credibilidad es una rama de las matemáticas actuariales que se ocupa de determinar las primas de riesgo . [1] Para lograrlo, utiliza modelos matemáticos en un esfuerzo por pronosticar el número ( esperado ) de reclamaciones de seguros basándose en observaciones pasadas. Técnicamente hablando, el problema es encontrar la mejor aproximación lineal a la media de la densidad predictiva bayesiana , por lo que la teoría de la credibilidad tiene muchos resultados en común con el filtrado lineal , así como con las estadísticas bayesianas en general. [2] [3]
Por ejemplo, en el caso de los seguros de salud colectivos, una aseguradora está interesada en calcular la prima de riesgo, , (es decir, el importe teórico previsto de reclamaciones) para un empleador en particular en el año siguiente. La aseguradora probablemente tendrá una estimación de la experiencia histórica general de reclamaciones, , así como una estimación más específica para el empleador en cuestión, . Asignar un factor de credibilidad, , a la experiencia general de reclamaciones (y el recíproco a la experiencia del empleador) permite a la aseguradora obtener una estimación más precisa de la prima de riesgo de la siguiente manera:
El factor de credibilidad se obtiene calculando la estimación de máxima verosimilitud que minimizaría el error de estimación. Suponiendo que la varianza de y son cantidades conocidas que toman los valores y respectivamente, se puede demostrar que debe ser igual a:
Por lo tanto, cuanto mayor sea la incertidumbre de la estimación, menor será su credibilidad.
En la credibilidad bayesiana, separamos cada clase (B) y les asignamos una probabilidad (Probabilidad de B). Luego, encontramos la probabilidad de nuestra experiencia (A) dentro de cada clase (Probabilidad de A dada B). A continuación, encontramos la probabilidad de nuestra experiencia en todas las clases (Probabilidad de A). Por último, podemos encontrar la probabilidad de nuestra clase dada nuestra experiencia. Así que, volviendo a cada clase, ponderamos cada estadística con la probabilidad de la clase particular dada la experiencia.
La credibilidad de Bühlmann funciona observando la varianza en la población. Más específicamente, busca ver qué parte de la varianza total se atribuye a la varianza de los valores esperados de cada clase (varianza de la media hipotética) y qué parte se atribuye a la varianza esperada en todas las clases (valor esperado de la varianza del proceso). Digamos que tenemos un equipo de baloncesto con una gran cantidad de puntos por partido. A veces obtienen 128 y otras veces obtienen 130, pero siempre uno de los dos. En comparación con todos los equipos de baloncesto, esta es una varianza relativamente baja, lo que significa que contribuirán muy poco al valor esperado de la varianza del proceso. Además, sus totales de puntos inusualmente altos aumentan en gran medida la varianza de la población, lo que significa que si la liga los expulsara, tendrían un total de puntos mucho más predecible para cada equipo (menor varianza). Por lo tanto, este equipo es definitivamente único (contribuye en gran medida a la varianza de la media hipotética). Por lo tanto, podemos calificar la experiencia de este equipo con una credibilidad bastante alta. A menudo/siempre obtienen una puntuación alta (valor esperado de la varianza del proceso bajo) y no muchos equipos obtienen una puntuación tan alta como ellos (varianza de la media hipotética alta).
Supongamos que hay dos monedas en una caja. Una tiene caras en ambos lados y la otra es una moneda normal con una probabilidad de 50:50 de que salga cara o cruz. Debes realizar una apuesta sobre el resultado después de que se extraiga una al azar y se lance al aire.
La probabilidad de que salga cara es 0,5 * 1 + 0,5 * 0,5 = 0,75. Esto se debe a que hay una probabilidad de 0,5 de seleccionar la moneda que solo sale cara con un 100 % de probabilidad de que salga cara y una probabilidad de 0,5 de seleccionar la moneda normal con un 50 % de probabilidad.
Ahora se reutiliza la misma moneda y se le pide que apueste nuevamente al resultado.
Si el primer lanzamiento fue cruz, hay un 100% de posibilidades de que se trate de una moneda justa, por lo que el siguiente lanzamiento tiene un 50% de posibilidades de que salga cara y un 50% de posibilidades de que salga cruz.
Si el primer lanzamiento fue cara, debemos calcular la probabilidad condicional de que la moneda elegida haya salido solo cara, así como la probabilidad condicional de que la moneda fuera justa, después de lo cual podemos calcular la probabilidad condicional de que salga cara en el siguiente lanzamiento. La probabilidad de que haya salido solo cara dado que el primer lanzamiento fue cara es la probabilidad de seleccionar una moneda solo cara multiplicada por la probabilidad de que esa moneda salga cara dividida por la probabilidad inicial de que salga cara en el primer lanzamiento, o 0,5 * 1 / 0,75 = 2/3. La probabilidad de que haya salido de una moneda justa dado que el primer lanzamiento fue cara es la probabilidad de seleccionar una moneda justa multiplicada por la probabilidad de que esa moneda salga cara dividida por la probabilidad inicial de que salga cara en el primer lanzamiento, o 0,5 * 0,5 / 0,75 = 1/3. Finalmente, la probabilidad condicional de que salga cara en el siguiente lanzamiento, dado que el primer lanzamiento fue cara, es la probabilidad condicional de una moneda con solo cara multiplicada por la probabilidad de cara de una moneda con solo cara más la probabilidad condicional de una moneda justa multiplicada por la probabilidad de cara de una moneda justa, o 2/3 * 1 + 1/3 * .5 = 5/6 ≈ .8333.
La credibilidad actuarial describe un enfoque utilizado por los actuarios para mejorar las estimaciones estadísticas . Aunque el enfoque puede formularse en un contexto estadístico frecuentista o bayesiano , a menudo se prefiere este último debido a la facilidad de reconocer más de una fuente de aleatoriedad mediante información "de muestreo" y "previa". En una aplicación típica, el actuario tiene una estimación X basada en un pequeño conjunto de datos y una estimación M basada en un conjunto de datos más grande pero menos relevante. La estimación de credibilidad es ZX + (1-Z)M, [4] donde Z es un número entre 0 y 1 (llamado "peso de credibilidad" o "factor de credibilidad") calculado para equilibrar el error de muestreo de X frente a la posible falta de relevancia (y, por lo tanto, el error de modelado) de M.
Cuando una compañía de seguros calcula la prima que cobrará, divide a los asegurados en grupos. Por ejemplo, podría dividir a los automovilistas por edad, sexo y tipo de coche; un hombre joven que conduce un coche rápido se considera de alto riesgo, y una mujer mayor que conduce un coche pequeño se considera de bajo riesgo. La división se realiza sopesando los dos requisitos de que los riesgos en cada grupo sean suficientemente similares y el grupo lo suficientemente grande como para que se pueda realizar un análisis estadístico significativo de la experiencia de reclamaciones para calcular la prima. Este compromiso significa que ninguno de los grupos contiene solo riesgos idénticos. El problema es entonces idear una forma de combinar la experiencia del grupo con la experiencia del riesgo individual para calcular mejor la prima. La teoría de la credibilidad proporciona una solución a este problema.
Para los actuarios , es importante conocer la teoría de la credibilidad para calcular la prima de un grupo de contratos de seguros . El objetivo es establecer un sistema de calificación de la experiencia para determinar la prima del año siguiente, teniendo en cuenta no solo la experiencia individual con el grupo, sino también la experiencia colectiva.
Existen dos posiciones extremas. Una es cobrar a todos la misma prima estimada por la media general de los datos. Esto sólo tiene sentido si la cartera es homogénea, lo que significa que todas las celdas de riesgo tienen una media de siniestros idéntica. Sin embargo, si la cartera es heterogénea, no es una buena idea cobrar una prima de esta manera (cobrando de más a las personas "buenas" y de menos a las personas "malas" en riesgo), ya que los "buenos" riesgos se llevarán su negocio a otra parte, dejando a la aseguradora sólo con los riesgos "malos". Este es un ejemplo de selección adversa .
La forma inversa es cobrar al grupo su propia siniestralidad media, siendo la prima cobrada al asegurado. Estos métodos se utilizan si la cartera es heterogénea, siempre que haya una siniestralidad bastante grande. Para llegar a un compromiso entre estas dos posiciones extremas, tomamos la media ponderada de los dos extremos:
tiene el siguiente significado intuitivo: expresa cuán "creíble" (aceptable) es el individuo de la célula . Si es alto, entonces se utiliza "más alto" para asignar un peso mayor a la carga de , y en este caso, se llama factor de credibilidad, y tal prima cobrada se llama prima de credibilidad.
Si el grupo fuera completamente homogéneo, sería razonable establecer , mientras que si el grupo fuera completamente heterogéneo, sería razonable establecer . El uso de valores intermedios es razonable en la medida en que tanto la historia individual como la del grupo sean útiles para inferir el comportamiento individual futuro.
Por ejemplo, un actuario tiene datos históricos de accidentes y nóminas de una fábrica de zapatos que sugieren una tasa de 3,1 accidentes por millón de dólares de nómina. Tiene estadísticas de la industria (basadas en todas las fábricas de zapatos) que sugieren que la tasa es de 7,4 accidentes por millón. Con una credibilidad, Z, del 30%, estimaría la tasa para la fábrica como 30%(3,1) + 70%(7,4) = 6,1 accidentes por millón.
