Transversal Mercator: serie Redfearn

La proyección transversal de Mercator tiene muchas implementaciones. Louis Krüger en 1912 desarrolló una de sus dos implementaciones ^[1] que se expresaba como una serie de potencias en la diferencia de longitud desde el meridiano central. Estas series fueron recalculadas por Lee en 1946, ^[2] por Redfearn en 1948, ^[3] y por Thomas en 1952. ^{[4] [5]} A menudo se las conoce como la serie de Redfearn o la serie de Thomas. Esta implementación es de gran importancia ya que se usa ampliamente en el Sistema de coordenadas del plano estatal de EE. UU., ^[5] en sistemas de mapeo nacionales (Gran Bretaña, ^[6] Irlanda ^[7] y muchos otros) y también internacionales ^[8] , incluido el sistema de coordenadas transversal universal de Mercator (UTM). ^{[9] [10]} También se incorporan al convertidor de coordenadas Geotrans puesto a disposición por la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial de los Estados Unidos. ^[11] Cuando se combina con un datum geodésico adecuado , la serie proporciona una alta precisión en zonas con menos de unos pocos grados de extensión este-oeste.

Preliminares I: parámetros de referencia y elipsoide

La serie debe utilizarse con un datum geodésico que especifique la posición, la orientación y la forma de un elipsoide de referencia . Aunque las fórmulas de proyección dependen únicamente de los parámetros de forma del elipsoide de referencia, es necesario el conjunto completo de parámetros de datum para vincular las coordenadas de proyección con las posiciones reales en el espacio tridimensional. Los datums y elipsoides de referencia asociados con implementaciones particulares de las fórmulas de Redfearn se enumeran a continuación. En el artículo sobre la Figura de la Tierra se ofrece una lista completa de elipsoides importantes .

Al especificar elipsoides es normal dar el semieje mayor (eje ecuatorial), , junto con el aplanamiento inverso , , o el semieje menor (eje polar), , o a veces ambos. Las series presentadas a continuación utilizan la excentricidad, , en preferencia al aplanamiento, . Además, utilizan los parámetros , llamado tercer aplanamiento , y , la segunda excentricidad . Solo hay dos parámetros de forma independientes y hay muchas relaciones entre ellos: en particular ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {a-b}{a}},\qquad e^{2}=2f-f^{2},\qquad e'^{2}={\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\\b&=a(1-f)=a(1-e^{2})^{1/2},\qquad n={\frac {a-b}{a+b}}.\end{aligned}}}$

Las fórmulas de proyección también implican , el radio de curvatura del meridiano (en latitud  ), y , el radio de curvatura en la vertical principal . (La vertical principal es el plano vertical ortogonal al plano meridiano en un punto del elipsoide). Los radios de curvatura se definen de la siguiente manera: ${\displaystyle \rho (\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \nu (\phi )}$

${\displaystyle \nu (\phi )={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}},\qquad \rho (\phi )={\frac {\nu ^{3}(1-e^{2})}{a^{2}}}.}$

Además las funciones y se definen como: ${\displaystyle \beta (\phi )}$ ${\displaystyle \eta (\phi )}$

${\displaystyle \beta (\phi )={\frac {\nu (\phi )}{\rho (\phi )}},\qquad \eta ^{2}=\beta -1={e'^{2}\cos ^{2}\!\phi }.}$

Para mayor compacidad es normal introducir las siguientes abreviaturas:

${\displaystyle s=\sin \phi ,\qquad c=\cos \phi ,\qquad t=\tan \phi .}$

Preliminares II: distancia meridiana

Distancia meridiana

El artículo sobre el arco meridiano describe varios métodos para calcular la distancia meridiana desde el ecuador hasta un punto en latitud  : las expresiones que se dan a continuación son las utilizadas en la implementación real de la proyección transversal de Mercator por el OSGB. ^[6] El error de truncamiento es inferior a 0,1 mm, por lo que la serie es ciertamente precisa dentro de 1 mm, la tolerancia de diseño de la implementación del OSGB. ${\displaystyle m(\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\phi )&=B_{0}\phi +B_{2}\sin 2\phi +B_{4}\sin 4\phi +B_{6}\sin 6\phi +\cdots ,\end{aligned}}}$

donde los coeficientes se dan para ordenar (order ) por ${\displaystyle n^{3}}$ ${\displaystyle e^{6}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}&=b{\bigg (}1+n+{\frac {5}{4}}n^{2}+{\frac {5}{4}}n^{3}{\bigg )},\qquad B_{4}=b{\bigg (}{\frac {15}{16}}n^{2}+{\frac {15}{16}}n^{3}{\bigg )},\\B_{2}&=-b{\bigg (}{\frac {3}{2}}n+{\frac {3}{2}}n^{2}+{\frac {21}{16}}n^{3}{\bigg )},\qquad B_{6}=-b{\bigg (}{\frac {35}{48}}n^{3}{\bigg )}.\end{aligned}}}$

La distancia meridiana del ecuador al polo es

${\displaystyle m_{p}=m(\pi /2)=\pi B_{0}/2\,.}$

La forma de la serie especificada para UTM es una variante de la anterior que presenta términos de orden superior con un error de truncamiento de 0,03 mm.

Distancia inversa del meridiano

Ni la implementación OSGB ni la UTM definen una serie inversa para la distancia meridiana; en su lugar, utilizan un esquema iterativo. Para una distancia meridiana dada, primero se establece y luego se itera utilizando ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi _{0}=M/B_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{n}=\phi _{n-1}+{\frac {M-m(\phi _{n-1})}{B_{0}}},\qquad n=1,2,3,\ldots \end{aligned}}}$

hasta mm. ${\displaystyle |M-m(\phi _{n-1})|<0.01}$

La inversión puede efectuarse mediante una serie, que se presenta aquí para referencia posterior. Para una distancia de meridiano dada, , defina la latitud rectificadora mediante ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi M}{2m_{p}}}.}$

La latitud geodésica correspondiente es (Snyder ^[5] página 17): ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi &=\mu +D_{2}\sin 2\mu +D_{4}\sin 4\mu +D_{6}\sin 6\mu +D_{8}\sin 8\mu +\cdots ,\\\end{aligned}}}$

donde, a , ${\displaystyle O(n^{4})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{2}&={\frac {3}{2}}n-{\frac {27}{32}}n^{3},&D_{4}&={\frac {21}{16}}n^{2}-{\frac {55}{32}}n^{4},\\[8pt]D_{6}&={\frac {151}{96}}n^{3},&D_{8}&={\frac {1097}{512}}n^{4}.\end{aligned}}}$

Un esquema del método

El aspecto normal de la proyección de Mercator de una esfera de radio se describe mediante las ecuaciones ${\displaystyle R}$

${\displaystyle x=R\lambda ,\qquad \qquad y=R\psi ,}$

donde , la latitud isométrica , viene dada por ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\right].\end{aligned}}}$

En el elipsoide la latitud isométrica se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\right]-{\frac {e}{2}}\ln \left[{\frac {1+e\sin \phi }{1-e\sin \phi }}\right].\end{aligned}}}$

Por construcción, la proyección desde las coordenadas geodésicas ( , ) a las coordenadas ( , ) es conforme. Si las coordenadas ( , ) se utilizan para definir un punto en el plano complejo, entonces cualquier función analítica definirá otra proyección conforme. El método de Kruger implica buscar la función específica que genere una escala uniforme a lo largo del meridiano central, . Lo logró investigando una aproximación de la serie de Taylor con las coordenadas de proyección dadas por: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \zeta =\psi +i\lambda }$ ${\displaystyle f(\zeta )}$ ${\displaystyle f(\zeta )}$ ${\displaystyle \lambda =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y+ix&=f(\zeta )=f(\psi +i\lambda )\\&=f(\psi +i.0)+A_{1}\lambda +A_{2}\lambda ^{2}+A_{3}\lambda ^{3}+\ldots ,\end{aligned}}}$

donde la parte real de debe ser proporcional a la función de distancia al meridiano . Los coeficientes (complejos) dependen de derivadas de las cuales pueden reducirse a derivadas de con respecto a , (no ). Las derivadas son sencillas de evaluar en principio, pero las expresiones se vuelven muy complicadas en órdenes altos debido a la relación complicada entre y . La separación de las partes reales e imaginarias da la serie para y y otras derivadas dan los factores de escala y convergencia. ${\displaystyle f(\psi +i.0)}$ ${\displaystyle m(\phi )}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle f(\zeta )}$ ${\displaystyle m(\phi )}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

La serie en detalle

Esta sección presenta la serie de octavo orden publicada por Redfearn ^[3] (pero con y intercambiados y la diferencia de longitud con respecto al meridiano central indicada por en lugar de ). Se pueden encontrar series de octavo orden equivalentes, con diferentes notaciones, en Snyder ^[5] (páginas 60–64) y en muchos sitios web como el de Ordnance Survey of Great Britain. ^[6] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$

Las series directas se desarrollan en términos de la diferencia de longitud desde el meridiano central, expresada en radianes: las series inversas se desarrollan en términos de la razón . La proyección normalmente se restringe a zonas estrechas (en longitud) de modo que ambos parámetros de expansión son típicamente menores que aproximadamente 0,1, lo que garantiza una convergencia rápida . Por ejemplo, en cada zona UTM estos parámetros de expansión son menores que 0,053 y para la red nacional británica ( NGGB ) son menores que 0,09. Todas las series directas que dan , , escala , convergencia son funciones tanto de latitud como de longitud y de los parámetros del elipsoide: todas las series inversas que dan , , , son funciones tanto de y como de los parámetros del elipsoide. ${\displaystyle x/a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Serie directa

En la siguiente serie se muestra la diferencia entre la longitud de un punto arbitrario y la longitud del meridiano central elegido: está en radianes y es positiva al este del meridiano central. Los coeficientes W son funciones de los que se enumeran a continuación. La serie para se reduce a la distancia del meridiano escalada cuando . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \lambda =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(\lambda ,\phi )&=k_{0}\nu \left[\lambda c+{\frac {\lambda ^{3}c^{3}W_{3}}{3!}}+{\frac {\lambda ^{5}c^{5}W_{5}}{5!}}+{\frac {\lambda ^{7}c^{7}W_{7}}{7!}}\right],\\[1ex]y(\lambda ,\phi )&=k_{0}\left[m(\phi )+{\frac {\lambda ^{2}\nu c^{2}t}{2}}+{\frac {\lambda ^{4}\nu c^{4}tW_{4}}{4!}}+{\frac {\lambda ^{6}\nu c^{6}tW_{6}}{6!}}+{\frac {\lambda ^{8}\nu c^{8}tW_{8}}{8!}}\right],\end{aligned}}}$

Serie inversa

Las series inversas implican una construcción adicional: la latitud del punto de apoyo . Dado un punto en la proyección, el punto de apoyo se define como el punto en el meridiano central con coordenadas . Dado que la escala en el meridiano central es , la distancia del meridiano desde el ecuador hasta el punto de apoyo es igual a . La latitud del punto de apoyo correspondiente, , se calcula mediante iteración o la serie inversa de distancias al meridiano como se describió anteriormente. ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (0,y)}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle m=y/k_{0}}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &={\frac {\pi y}{2m_{p}k_{0}}},\\\phi _{1}&=\mu +D_{2}\sin 2\mu +D_{4}\sin 4\mu +D_{6}\sin 6\mu +D_{8}\sin 8\mu +\cdots ,\\\end{aligned}}}$

Denotando funciones evaluadas por un subíndice '1', las series inversas son: ${\displaystyle \phi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (x,y)&={\frac {x}{c_{1}(k_{0}\nu _{1})}}-{\frac {x^{3}V_{3}}{3!c_{1}(k_{0}\nu _{1})^{3}}}-{\frac {x^{5}V_{5}}{5!c_{1}(k_{0}\nu _{1})^{5}}}-{\frac {x^{7}V_{7}}{7!c_{1}(k_{0}\nu _{1})^{7}}},\\\phi (x,y)&=\phi _{1}-{\frac {x^{2}\beta _{1}t_{1}}{2(k_{0}\nu _{1})^{2}}}-{\frac {x^{4}\beta _{1}t_{1}U_{4}}{4!(k_{0}\nu _{1})^{4}}}-{\frac {x^{6}\beta _{1}t_{1}U_{6}}{6!(k_{0}\nu _{1})^{6}}}-{\frac {x^{8}\beta _{1}t_{1}U_{8}}{8!(k_{0}\nu _{1})^{8}}}.\end{aligned}}}$

Escala de puntos y convergencia

La escala de puntos es independiente de la dirección para una transformación conforme. Puede calcularse en términos de coordenadas geográficas o de proyección. Nótese que la serie para se reduce a cuando o . La convergencia también puede calcularse (en radianes) en términos de coordenadas geográficas o de proyección: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}k(\lambda ,\phi )&=k_{0}\left[1+{\frac {\lambda ^{2}c^{2}H_{2}}{2}}+{\frac {\lambda ^{4}c^{4}H_{4}}{24}}+{\frac {\lambda ^{6}c^{6}H_{6}}{720}}\right],\\\gamma (\lambda ,\phi )&=\lambda s+{\frac {\lambda ^{3}c^{3}tH_{3}}{3}}+{\frac {\lambda ^{5}c^{5}tH_{5}}{15}}+{\frac {\lambda ^{7}c^{7}tH_{7}}{315}},\\k(x,y)&=k_{0}\left[1+{\frac {x^{2}K_{2}}{2(k_{0}\nu _{1})^{2}}}+{\frac {x^{4}K_{4}}{24(k_{0}\nu _{1})^{4}}}+{\frac {x^{6}K_{6}}{720(k_{0}\nu _{1})^{6}}}\right]\\\gamma (x,y)&={\frac {xt_{1}}{k_{0}\nu _{1}}}+{\frac {x^{3}t_{1}K_{3}}{3(k_{0}\nu _{1})^{3}}}+{\frac {x^{5}t_{1}K_{5}}{15(k_{0}\nu _{1})^{5}}}+{\frac {x^{7}t_{1}K_{7}}{315(k_{0}\nu _{1})^{7}}}.\end{aligned}}}$

Los coeficientes para todas las series

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{3}&=\beta -t^{2}\\W_{5}&=4\beta ^{3}(1-6t^{2})+\beta ^{2}(1+8t^{2})-2\beta t^{2}+t^{4}\\W_{7}&=61-479t^{2}+179t^{4}-t^{6}+O(e^{2})\\W_{4}&=4\beta ^{2}+\beta -t^{2}\\W_{6}&=8\beta ^{4}(11{-}24t^{2})-28\beta ^{3}(1{-}6t^{2})+\beta ^{2}(1{-}32t^{2})-2\beta t^{2}+t^{4}\\W_{8}&=1385-3111t^{2}+543t^{4}-t^{6}+O(e^{2})\\V_{3}&=\beta _{1}+2t_{1}^{2}\\V_{5}&=4\beta _{1}^{3}(1-6t_{1}^{2})-\beta _{1}^{2}(9-68t_{1}^{2})-72\beta _{1}t_{1}^{2}-24t_{1}^{4}\\V_{7}&=61+662t_{1}^{2}+1320t_{1}^{4}+720t_{1}^{6}\\U_{4}&=4\beta _{1}^{2}-9\beta _{1}(1-t_{1}^{2})-12t_{1}^{2}\\U_{6}&=8\beta _{1}^{4}(11-24t_{1}^{2})-12\beta _{1}^{3}(21-71t_{1}^{2})+15\beta _{1}^{2}(15-98t_{1}^{2}+15t_{1}^{4})\\&\qquad \qquad +180\beta _{1}(5t_{1}^{2}-3t_{1}^{4})+360t_{1}^{4}\\U_{8}&=-1385-3633t_{1}^{2}-4095t_{1}^{4}-1575t_{1}^{6}\\H_{2}&=\beta \\H_{4}&=4\beta ^{3}(1-6t^{2})+\beta ^{2}(1+24t^{2})-4\beta t^{2}\\H_{6}&=61-148t^{2}+16t^{4}\\H_{3}&=2\beta ^{2}-\beta \\H_{5}&=\beta ^{4}(11-24t^{2})-\beta ^{3}(11-36t^{2})+\beta ^{2}(2-14t^{2})+\beta t^{2}\\H_{7}&=17-26t^{2}+2t^{4}\\K_{2}&=\beta _{1}\\K_{4}&=4\beta _{1}^{3}(1-6t_{1}^{2})-3\beta _{1}^{2}(1-16t_{1}^{2})-24\beta _{1}t_{1}^{2}\\K_{6}&=1\\K_{3}&=2\beta _{1}^{2}-3\beta _{1}-t_{1}^{2}\\K_{5}&=\beta _{1}^{4}(11-24t_{1}^{2})-3\beta _{1}^{3}(8-23t_{1}^{2})+5\beta _{1}^{2}(3-14t_{1}^{2})+30\beta _{1}t_{1}^{2}+3t_{1}^{4}\\K_{7}&=-17-77t_{1}^{2}-105t_{1}^{4}-45t_{1}^{6}\end{aligned}}}$

Precisión de la serie

La solución exacta de Lee-Thompson, ^[12] implementada por Karney (2011), ^[13] es de gran valor para evaluar la precisión de la serie truncada de Redfearn. Confirma que el error de truncamiento de la serie de Redfearn (de octavo orden) es menor a 1 mm hasta una diferencia de longitud de 3 grados, correspondiente a una distancia de 334 km desde el meridiano central en el ecuador, pero de apenas 35 km en el límite norte de una zona UTM.

La serie Redfearn empeora mucho a medida que la zona se ensancha. Karney analiza Groenlandia como un ejemplo ilustrativo. La larga y delgada masa continental está centrada en 42W y, en su punto más ancho, no está a más de 750 km de ese meridiano, mientras que la distancia en longitud alcanza casi los 50 grados. La serie Redfearn alcanza un error máximo de 1  kilómetro .

Implementaciones

Las implementaciones que se dan a continuación son ejemplos del uso de la serie Redfearn. Los documentos de definición de los distintos países difieren ligeramente en la notación y, lo que es más importante, en la omisión de algunos de los términos pequeños. El análisis de los términos pequeños depende de los rangos de latitud y longitud en las distintas cuadrículas. También hay ligeras diferencias en las fórmulas utilizadas para la distancia meridiana: a veces se añade un término adicional a la fórmula especificada anteriormente, pero dicho término es inferior a 0,1 mm.

OSGB

La implementación de la proyección transversal de Mercator en Gran Bretaña se describe detalladamente en el documento OSGB A guide to coordina systems in Great Britain, Apéndices A.1, A.2 y C. ^[6]

Fecha: OSGB36

Elipsoide: Airy 1830

eje mayor: 6 377 563.396

eje menor: 6 356 256.909

longitud del meridiano central: 2°O

Factor de escala del meridiano central: 0,9996012717

origen de la proyección: 2°O y 0°N

origen real de la cuadrícula: 2°O y 49°N

falsa coordenada este del origen de cuadrícula verdadero, E0 (metros): 400.000

norte falso del origen de la cuadrícula verdadera, N0 (metros): -100.000

E = E0 + x = 400000 + x

N = N0 + y -k0*m(49°)= y - 5527063

La extensión de la cuadrícula es de 300 km al este y 400 km al oeste del meridiano central y 1300 km al norte del origen falso (OSGB ^[6] Sección 7.1), pero con la exclusión de partes de Irlanda del Norte, Eire y Francia. Una referencia de cuadrícula se denota por el par (E,N) donde E varía desde un poco más de cero hasta 800000m y N varía desde cero hasta 1300000m. Para reducir el número de cifras necesarias para dar una referencia de cuadrícula, la cuadrícula se divide en cuadrados de 100 km, cada uno de los cuales tiene un código de dos letras. Las posiciones de la cuadrícula nacional se pueden dar con este código seguido de un este y un norte, ambos en el rango de 0 y 99999m.

Las fórmulas de proyección difieren ligeramente de las fórmulas de Redfearn presentadas aquí. Se han simplificado al omitir la mayoría de los términos de séptimo y octavo orden en o : la única excepción es el término de séptimo orden en la serie para en términos de . Esta simplificación se basa en el examen de los términos de Redfearn sobre la extensión real de la cuadrícula. Las únicas otras diferencias son (a) la absorción del factor de escala central en los radios de curvatura y la distancia del meridiano , (b) la sustitución del parámetro por el parámetro (definido anteriormente). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x/a}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x/a}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \eta }$

El manual OSGB ^[6] incluye un análisis de las transformaciones de Helmert que se requieren para vincular las coordenadas geodésicas en el elipsoide Airy 1830 y en WGS84.

UTM

El artículo sobre la proyección transversal universal de Mercator ofrece un panorama general, pero la especificación completa se define en los Manuales técnicos TM8358.1 ^[9] y TM8358.2 de la Agencia de Cartografía de Defensa de los EE. UU. ^[10]. Esta sección proporciona detalles para la zona 30 como otro ejemplo de las fórmulas de Redfearn (generalmente denominadas fórmulas de Thomas en los Estados Unidos).

Elipsoide: Internacional 1924 (también conocido como Hayford 1909)

eje mayor: 6 378 388.000

eje menor: 6 356 911.946

longitud del meridiano central: 3°O

origen de la proyección: 3°O y 0°N

Factor de escala del meridiano central: 0,9996

origen real de la cuadrícula: 3°O y 0°N

falsa coordenada este del origen real de la cuadrícula, E0: 500.000

E = E0 + x = 500000 + x

Falso norte del hemisferio norte con origen en cuadrícula verdadero N0: 0

hemisferio norte: N = N0 + y = y

Falso norte del hemisferio sur del origen de la cuadrícula verdadera N0: 10 000 000

hemisferio sur: N = N0 + y = 10.000.000 + y

La serie adoptada para la distancia meridiana incorpora términos de quinto orden en pero el manual establece que estos son menores de 0,03 mm (TM8358.2 ^[10] Capítulo 2). Las fórmulas de proyección utilizan, , la segunda excentricidad (definida anteriormente) en lugar de . Los esquemas de referencia de cuadrícula se definen en el artículo Sistema de coordenadas transversal universal de Mercator . La precisión declarada para las proyecciones UTM es de 10 cm en coordenadas de cuadrícula y 0,001 segundos de arco para coordenadas geodésicas. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e'}$ ${\displaystyle n}$

Irlanda

La proyección transversal de Mercator en Irlanda e Irlanda del Norte (una implementación internacional que abarca un país y parte de otro) se implementa actualmente de dos maneras:

Sistema de referencia de cuadrícula irlandés

Fecha: Irlanda 1965

Elipsoide: Airy 1830 modificado

eje mayor: 6 377 340.189

eje menor: 6 356 034.447

Factor de escala del meridiano central: 1,000035

origen verdadero: 8°O y 53,5°N

falsa coordenada este del origen de cuadrícula verdadero, E0: 200.000

norte falso del origen de la cuadrícula verdadera, N0: 250.000

La cuadrícula irlandesa utiliza las fórmulas de proyección OSGB.

Mercator transversal irlandés

Fecha: Irlanda 1965

elipsoide: GRS80

eje mayor: 6 378 137

eje menor: 6 356 752.314140

Factor de escala del meridiano central: 0,999820

origen verdadero: 8°O y 53,5°N

falsa coordenada este del origen real de la cuadrícula, E0: 600.000

norte falso del origen de la cuadrícula verdadera, N0: 750.000

Este es un ejemplo interesante de la transición entre el uso de un elipsoide tradicional y un elipsoide global moderno. La adopción de orígenes falsos radicalmente diferentes ayuda a evitar la confusión entre los dos sistemas.

Véase también

• Proyección de mapas
• Proyección de Mercator
• Escala (mapa)
• Sistema de coordenadas transversal universal de Mercator

Referencias

1. Krüger, L. (1912). "Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene". Real Instituto Geodésico de Prusia, nueva serie 52. doi :10.2312/GFZ.b103-krueger28. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
2. Lee, LP (1946). "La proyección transversal de Mercator del esferoide (Fe de erratas y comentarios en el Volumen 8 (Parte 61), págs. 277-278". Survey Review . 8 (Parte 58), págs. 142-152.
3. Redfearn, JCB (1948). "Fórmulas transversales de Mercator". Survey Review . 9 (Parte 69), págs. 318-322 (69): 318-322. doi :10.1179/sre.1948.9.69.318.
4. Thomas, Paul D (1952). Proyecciones conformes en geodesia y cartografía . Washington: US Coast and Geodetic Survey Special Publication 251.
5. Snyder, John P. (1987). Map Projections – A Working Manual [Proyecciones cartográficas: un manual de trabajo]. Documento profesional 1395 del Servicio Geológico de los Estados Unidos . Imprenta del Gobierno de los Estados Unidos, Washington, D.C.Este documento se puede descargar de las páginas del USGS. Ofrece detalles completos de la mayoría de las proyecciones, junto con interesantes secciones introductorias, pero no deriva ninguna de las proyecciones a partir de principios básicos.
6. "Una guía para los sistemas de coordenadas en Gran Bretaña" (PDF) .
7. Véase el sistema de referencia de cuadrícula irlandés y el sistema Mercator transversal irlandés
8. "Actas breves del 1.er taller europeo sobre cuadrículas de referencia, Ispra, 27-29 de octubre de 2003" (PDF) . Agencia Europea de Medio Ambiente . 2004-06-14. p. 6 . Consultado el 27 de agosto de 2009 .La AEMA recomienda el Transverse Mercator para la cartografía paneuropea conforme a escalas superiores a 1:500.000
9. "Informe técnico TM 8358.1 de la Agencia de Cartografía de Defensa: Datums, elipsoides, cuadrículas y sistemas de referencia de cuadrícula".
10. Hager, JW; Behensky, JF; Drew, BW (1989). "Informe técnico TM 8358.2 de la Agencia de Cartografía de Defensa. Las cuadrículas universales: Universal Transverse Mercator (UTM) y Universal Polar Stereographic (UPS)".
11. "Geotrans, 2010, Traductor geográfico, versión 3.0".
12. Lee, LP (1976). Proyecciones conformes basadas en funciones elípticas . Monografías de Cartographica . Vol. 16. Toronto: BV Gutsell, York University. ISBN. 0-919870-16-3.Suplemento n.° 1 de The Canadian Cartographer 13, págs. 1–14, 92–101 y 107–114. Informe de fórmulas analíticas inéditas que incluyen integrales elípticas incompletas obtenidas por EH Thompson en 1945.
13. CFF Karney (2011), Transverse Mercator with an precision of a few nanometers, J. Geodesy 85(8), 475-485 (2011); la preimpresión del artículo y la implementación de algoritmos en C++ están disponibles en geographicallib.sourceforge.io