En la teoría de conjuntos axiomáticos , el esquema axiomático de separación predicativa , o de separación restringida , o Δ 0 , es un esquema de axiomas que es una restricción del esquema axiomático habitual de separación en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Este nombre Δ 0 proviene de la jerarquía de Lévy , en analogía con la jerarquía aritmética .
El axioma afirma únicamente la existencia de un subconjunto de un conjunto si ese subconjunto puede definirse sin referencia a todo el universo de conjuntos. La formulación formal de este axioma es la misma que la del esquema de separación total, pero con una restricción en las fórmulas que pueden utilizarse: para cualquier fórmula φ,
siempre que φ contenga solo cuantificadores acotados y, como es habitual, que la variable y no esté libre en él. Por lo tanto, todos los cuantificadores en φ, si los hay, deben aparecer en las formas
para alguna subfórmula ψ y, por supuesto, la definición de está sujeta también a esas reglas.
Esta restricción es necesaria desde un punto de vista predicativo , ya que el universo de todos los conjuntos contiene el conjunto que se está definiendo. Si se hiciera referencia a él en la definición del conjunto, la definición sería circular.
El axioma aparece en los sistemas de teoría de conjuntos constructivos CST y CZF, así como en el sistema de teoría de conjuntos de Kripke-Platek .
Aunque el esquema contiene un axioma para cada fórmula restringida φ, es posible en CZF reemplazar este esquema con un número finito de axiomas. [1]
