En matemáticas , la secuencia mirar-decir es la secuencia de números enteros que comienza de la siguiente manera:
Para generar un miembro de la secuencia a partir del miembro anterior, lea los dígitos del miembro anterior y cuente la cantidad de dígitos en grupos del mismo dígito. Por ejemplo:
La secuencia de mirar y decir fue analizada por John Conway [1] después de que uno de sus estudiantes se la presentara en una fiesta. [2] [3]
La idea de la secuencia mirar-y-decir es similar a la de la codificación por longitud de ejecución .
Si se comienza con cualquier dígito d entre 0 y 9, entonces d permanecerá indefinidamente como el último dígito de la secuencia. Para cualquier d distinto de 1, la secuencia comienza de la siguiente manera:
Ilan Vardi ha llamado a esta secuencia, que comienza con d = 3, la secuencia de Conway (secuencia A006715 en la OEIS ). (para d = 2, véase OEIS : A006751 ) [4]
La secuencia crece indefinidamente. De hecho, cualquier variante definida a partir de un número entero semilla distinto (eventualmente) también crecerá indefinidamente, excepto la secuencia degenerada : 22, 22, 22, 22, ... que conserva el mismo tamaño (secuencia A010861 en la OEIS ). [5]
No aparecen en la secuencia otros dígitos que no sean 1, 2 y 3, a menos que el número inicial contenga dicho dígito o una serie de más de tres del mismo dígito. [5]
El teorema cosmológico de Conway afirma que cada secuencia finalmente se divide ("se desintegra") en una secuencia de "elementos atómicos", que son subsecuencias finitas que nunca más interactúan con sus vecinos. Hay 92 elementos que contienen solo los dígitos 1, 2 y 3, que John Conway nombró en honor a los 92 elementos químicos naturales hasta el uranio , y llamó a la secuencia audioactiva . También hay dos elementos " transuránicos " (Np y Pu) para cada dígito que no sea 1, 2 y 3. [5] [6] A continuación se muestra una tabla de todos esos elementos:
Los términos aumentan de longitud aproximadamente un 30% por generación. En particular, si L n denota el número de dígitos del n -ésimo miembro de la secuencia, entonces el límite de la relación existe y está dado por
donde λ = 1,303577269034... (secuencia A014715 en la OEIS ) es un número algebraico de grado 71. [5] Este hecho fue demostrado por Conway, y la constante λ se conoce como la constante de Conway . El mismo resultado también se cumple para cada variante de la secuencia que comience con cualquier semilla distinta de 22.
La constante de Conway es la única raíz real positiva del siguiente polinomio (secuencia A137275 en la OEIS ):
Este polinomio se proporcionó correctamente en el artículo original de Conway en Eureka , [1] pero en la versión reimpresa en el libro editado por Cover y Gopinath [1] el término se imprimió incorrectamente con un signo menos al frente. [7]
La secuencia de mirar y decir también se conoce popularmente como la secuencia numérica de Morris , en honor al criptógrafo Robert Morris , y el acertijo "¿Cuál es el siguiente número en la secuencia 1, 11, 21, 1211, 111221?" a veces se conoce como el Huevo del Cuco , a partir de una descripción de Morris en el libro de Clifford Stoll El huevo del cuco . [8] [9]
Existen muchas variaciones posibles de la regla utilizada para generar la secuencia de mirar y decir. Por ejemplo, para formar el "patrón de guisante", se lee el término anterior y se cuentan todas las instancias de cada dígito, enumeradas en orden de su primera aparición, no solo las que aparecen en un bloque consecutivo. De modo que, comenzando con la semilla 1, el patrón de guisante procede de la siguiente manera: 1, 11 ("un 1"), 21 ("dos 1"), 1211 ("un 2 y un 1"), 3112 ("tres 1 y un 2"), 132112 ("un 3, dos 1 y un 2"), 311322 ("tres 1, un 3 y dos 2"), etc. Esta versión del patrón de guisante finalmente forma un ciclo con los dos términos "atómicos" 23322114 y 32232114.
También son posibles otras versiones del patrón del guisante; por ejemplo, en lugar de leer los dígitos tal como aparecen, se podrían leer en orden ascendente. En este caso, el término que sigue al 21 sería 1112 ("un 1, un 2") y el término que sigue al 3112 sería 211213 ("dos 1, un 2 y un 3").
Estas secuencias difieren de la secuencia de mirar y decir en varios aspectos notables. En particular, a diferencia de las secuencias de Conway, un término dado del patrón de guisante no define de forma única el término precedente. Además, para cualquier semilla, el patrón de guisante produce términos de longitud acotada: este límite normalmente no superará 2 × Radix + 2 dígitos (22 dígitos para decimal : radix = 10 ) y solo puede superar 3 × dígitos de Radix (30 dígitos para decimal radix) en longitud para semillas iniciales largas y degeneradas (secuencia de "100 unos", etc.). Para estos casos extremos, los elementos individuales de las secuencias decimales se establecen inmediatamente en una permutación de la forma a 0 b 1 c 2 d 3 e 4 f 5 g 6 h 7 i 8 j 9 donde aquí las letras a – j son marcadores de posición para los recuentos de dígitos del elemento de secuencia precedente.
Como la secuencia es infinita y la longitud de cada elemento está limitada, debe repetirse eventualmente, debido al principio del palomar . En consecuencia, las secuencias con patrón de guisante siempre son eventualmente periódicas .
La secuencia de mirar y decir aparece en Old School RuneScape como un paso de pista difícil. Los jugadores reciben los primeros seis términos de la secuencia y se les pide que generen el siguiente término para avanzar en la pista.
