Sección transversal de transferencia de momento

En física , y especialmente en teoría de dispersión , la sección eficaz de transferencia de momento (a veces conocida como sección eficaz de transporte de momento ^[1] ) es una sección eficaz de dispersión útil para describir el momento promedio transferido desde una partícula cuando choca con un objetivo. Básicamente, contiene toda la información sobre un proceso de dispersión necesaria para calcular transferencias de momento promedio, pero ignora otros detalles sobre el ángulo de dispersión.

La sección transversal de transferencia de momento se define en términos de una sección transversal diferencial (azimutalmente simétrica e independiente del momento) por ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tr} }}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {tr} }&=\int (1-\cos \theta ){\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )\,\mathrm {d} \Omega \\&=\iint (1-\cos \theta ){\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .\end{aligned}}}$$

La sección transversal de transferencia de momento se puede escribir en términos de los cambios de fase de un análisis de onda parcial como ^[2] $${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tr} }={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sum _{l=0}^{\infty }(l+1)\sin ^{2}[\delta _{l+1}(k)-\delta _{l}(k)].}$$

Explicación

El factor de surge de la siguiente manera. Sea la partícula entrante la que se desplaza a lo largo del eje con momento vectorial ${\displaystyle 1-\cos \theta }$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle {\vec {p}}_{\mathrm {in} }=q{\hat {z}}.}$$

Supongamos que la partícula se dispersa desde el objetivo con un ángulo polar y un plano azimutal . Su nuevo momento es ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\vec {p}}_{\mathrm {out} }=q'\cos \theta {\hat {z}}+q'\sin \theta \cos \phi {\hat {x}}+q'\sin \theta \sin \phi {\hat {y}}.}$$

Para la colisión con un objetivo mucho más pesado que la partícula que choca (por ejemplo, un electrón que incide sobre el átomo o el ion), entonces ${\displaystyle q'\backsimeq q}$ $${\displaystyle {\vec {p}}_{\mathrm {out} }\simeq q\cos \theta {\hat {z}}+q\sin \theta \cos \phi {\hat {x}}+q\sin \theta \sin \phi {\hat {y}}}$$

Por conservación del momento, el objetivo ha adquirido momento. $${\displaystyle \Delta {\vec {p}}={\vec {p}}_{\mathrm {in} }-{\vec {p}}_{\mathrm {out} }=q(1-\cos \theta ){\hat {z}}-q\sin \theta \cos \phi {\hat {x}}-q\sin \theta \sin \phi {\hat {y}}.}$$

Ahora bien, si muchas partículas se dispersan del objetivo y se supone que este tiene simetría azimutal, entonces los componentes radiales ( y ) del momento transferido tendrán un promedio de cero. La transferencia de momento promedio será de solo . Si hacemos el promedio completo sobre todos los posibles eventos de dispersión, obtenemos donde la sección transversal total es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle q(1-\cos \theta ){\hat {z}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\vec {p}}_{\mathrm {avg} }&=\langle \Delta {\vec {p}}\rangle _{\Omega }\\&=\sigma _{\mathrm {tot} }^{-1}\int \Delta {\vec {p}}(\theta ,\phi ){\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )\,\mathrm {d} \Omega \\&=\sigma _{\mathrm {tot} }^{-1}\int \left[q(1-\cos \theta ){\hat {z}}-q\sin \theta \cos \phi {\hat {x}}-q\sin \theta \sin \phi {\hat {y}}\right]{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )\,\mathrm {d} \Omega \\&=q{\hat {z}}\sigma _{\mathrm {tot} }^{-1}\int (1-\cos \theta ){\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )\,\mathrm {d} \Omega \\[1ex]&=q{\hat {z}}\sigma _{\mathrm {tr} }/\sigma _{\mathrm {tot} }\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot} }=\int {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )\mathrm {d} \Omega .}$$

En este caso, el promedio se realiza mediante el cálculo del valor esperado (véase como función de densidad de probabilidad). Por lo tanto, para una sección transversal total dada, no es necesario calcular nuevas integrales para cada momento posible a fin de determinar el momento promedio transferido a un objetivo. Solo es necesario calcular . ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta )/\sigma _{\mathrm {tot} }}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tr} }}$

Solicitud

Este concepto se utiliza para calcular el radio de carga de núcleos como el protón y el deuterón mediante experimentos de dispersión de electrones .

Para este propósito, se define una cantidad útil denominada vector de dispersión q, que tiene la dimensión de longitud inversa, como función de la energía E y del ángulo de dispersión θ : $${\displaystyle q={\frac {{\frac {2E}{\hbar c}}\sin(\theta /2)}{\left[1+{\frac {2E}{Mc^{2}}}\sin ^{2}(\theta /2)\right]^{1/2}}}}$$

Referencias

1. Zaghloul, Mofreh R.; Bourham, Mohamed A.; Doster, J. Michael (abril de 2000). "Sección eficaz de transporte de momento electrón-ión promediada en energía en la aproximación de Born y el potencial de Debye-Hückel: comparación con la teoría de corte". Physics Letters A . 268 (4–6): 375–381. Bibcode :2000PhLA..268..375Z. doi :10.1016/S0375-9601(00)00217-6.
2. Bransden, BH; Joachain, CJ (2003). Física de átomos y moléculas (2.ª ed.). Harlow [ua]: Prentice-Hall. pág. 584. ISBN 978-0582356924.