Prueba t de Welch

Prueba estadística de si dos poblaciones tienen medias iguales

En estadística , la prueba t de Welch , o prueba t de varianzas desiguales , es una prueba de ubicación de dos muestras que se utiliza para probar la hipótesis (nula) de que dos poblaciones tienen medias iguales. Recibe el nombre de su creador, Bernard Lewis Welch , y es una adaptación de la prueba t de Student , ^[1] y es más confiable cuando las dos muestras tienen varianzas desiguales y posiblemente tamaños de muestra desiguales. ^{[2] [3]} Estas pruebas a menudo se denominan pruebas t "no pareadas" o "pruebas t de muestras independientes" , ya que generalmente se aplican cuando las unidades estadísticas subyacentes a las dos muestras que se comparan no se superponen. Dado que la prueba t de Welch ha sido menos popular que la prueba t de Student ^[2] y puede ser menos familiar para los lectores, un nombre más informativo es " prueba t de varianzas desiguales de Welch " o " prueba t de varianzas desiguales " para abreviar. ^[3]

Suposiciones

La prueba t de Student supone que las medias de las muestras que se comparan para dos poblaciones se distribuyen normalmente y que las poblaciones tienen varianzas iguales. La prueba t de Welch está diseñada para varianzas poblacionales desiguales, pero se mantiene el supuesto de normalidad. ^{[1] La prueba} t de Welch es una solución aproximada al problema de Behrens-Fisher .

Cálculos

La prueba t de Welch define el estadístico t mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle t={\frac {\Delta {\overline {X}}}{s_{\Delta {\bar {X}}}}}={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}{\sqrt {{s_{{\bar {X}}_{1}}^{2}}+{s_{{\bar {X}}_{2}}^{2}}}}}\,}$

${\displaystyle s_{{\bar {X}}_{i}}={s_{i} \over {\sqrt {N_{i}}}}\,}$

donde y son la media de la muestra y su error estándar , con denotando la desviación estándar de la muestra corregida y el tamaño de la muestra . A diferencia de la prueba t de Student , el denominador no se basa en una estimación de varianza agrupada . ${\displaystyle {\overline {X}}_{i}}$ ${\displaystyle s_{{\bar {X}}_{i}}}$ ${\displaystyle i^{\text{th}}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}}$

Los grados de libertad   asociados con esta estimación de varianza se aproximan utilizando la ecuación de Welch-Satterthwaite : ^[4] ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nu \quad \approx \quad {\frac {\left(\;{\frac {s_{1}^{2}}{N_{1}}}\;+\;{\frac {s_{2}^{2}}{N_{2}}}\;\right)^{2}}{\quad {\frac {s_{1}^{4}}{N_{1}^{2}\nu _{1}}}\;+\;{\frac {s_{2}^{4}}{N_{2}^{2}\nu _{2}}}\quad }}.}$

Esta expresión se puede simplificar cuando : ${\displaystyle N_{1}=N_{2}}$

${\displaystyle \nu \approx {\frac {s_{\Delta {\bar {X}}}^{4}}{\nu _{1}^{-1}s_{{\bar {X}}_{1}}^{4}+\nu _{2}^{-1}s_{{\bar {X}}_{2}}^{4}}}.}$

Aquí están los grados de libertad asociados con la i -ésima estimación de varianza. ${\displaystyle \nu _{i}=N_{i}-1}$

La estadística se obtiene aproximadamente de la distribución t , ya que tenemos una aproximación de la distribución chi-cuadrado . Esta aproximación se realiza mejor cuando tanto y son mayores que 5. ^{[5] [6]} ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$

Prueba estadística

Una vez que se han calculado t y , estas estadísticas se pueden utilizar con la distribución t para probar una de dos posibles hipótesis nulas : ${\displaystyle \nu }$

• que las dos medias poblacionales son iguales, en cuyo caso se aplica una prueba de dos colas ; o
• que una de las medias poblacionales es mayor o igual a la otra, en la que se aplica una prueba de una cola .

Los grados de libertad aproximados son números reales y se utilizan como tales en software orientado a la estadística, mientras que en las hojas de cálculo se redondean al entero más cercano. ${\displaystyle \left(\nu \in \mathbb {R} ^{+}\right)}$

Ventajas y limitaciones

La prueba t de Welch es más robusta que la prueba t de Student y mantiene tasas de error de tipo I cercanas a las nominales para varianzas desiguales y para tamaños de muestra desiguales en condiciones de normalidad. Además, la potencia de la prueba t de Welch se acerca a la de la prueba t de Student , incluso cuando las varianzas de la población son iguales y los tamaños de muestra están equilibrados. ^{[2] La prueba} t de Welch se puede generalizar a más de 2 muestras, ^[7] lo que es más robusto que el análisis de varianza (ANOVA) unidireccional .

No se recomienda realizar pruebas previas para determinar si existen varianzas iguales y luego elegir entre la prueba t de Student o la prueba t de Welch . ^[8] En cambio, la prueba t de Welch se puede aplicar directamente y sin desventajas sustanciales con respecto a la prueba t de Student , como se señaló anteriormente. La prueba t de Welch sigue siendo robusta para distribuciones sesgadas y tamaños de muestra grandes. ^{[9] La confiabilidad disminuye para distribuciones sesgadas y muestras más pequeñas, donde es posible realizar la prueba} t de Welch . ^[10]

Implementaciones de software

Véase también

• Portal de matemáticas

• Prueba t de Student
• Prueba Z
• Experimento factorial
• Análisis de varianza unidireccional
• Estadística T-cuadrada de dos muestras de Hotelling , una extensión multivariada de la prueba t de Welch

Referencias

1. Welch, BL (1947). "La generalización del problema de "Student" cuando están implicadas varias varianzas poblacionales diferentes". Biometrika . 34 (1–2): 28–35. doi :10.1093/biomet/34.1-2.28. MR  0019277. PMID  20287819.
2. Ruxton, GD (2006). "La prueba t de varianza desigual es una alternativa poco utilizada a la prueba t de Student y la prueba U de Mann-Whitney". Ecología del comportamiento . 17 (4): 688–690. doi : 10.1093/beheco/ark016 .
3. Derrick, B; Toher, D; White, P (2016). "Por qué la prueba de Welchs es robusta frente al error de tipo I" (PDF) . Los métodos cuantitativos para la psicología . 12 (1): 30–38. doi : 10.20982/tqmp.12.1.p030 .
4. 7.3.1. ¿Dos procesos tienen la misma media?, Manual de estadística de ingeniería, NIST . (Fuente en línea consultada el 30 de julio de 2021).
5. Allwood, Michael (2008). "La fórmula de Satterthwaite para los grados de libertad en la prueba t de dos muestras" (PDF) . pág. 6.
6. Yates; Moore; Starnes (2008). La práctica de la estadística (3.ª ed.). Nueva York: WH Freeman and Company. pág. 792. ISBN 9780716773092.
7. Welch, BL (1951). "Sobre la comparación de varios valores medios: un enfoque alternativo". Biometrika . 38 (3/4): 330–336. doi :10.2307/2332579. JSTOR  2332579.
8. Zimmerman, DW (2004). "Una nota sobre pruebas preliminares de igualdad de varianzas". British Journal of Mathematical and Statistical Psychology . 57 (Pt 1): 173–181. doi :10.1348/000711004849222. PMID  15171807.
9. Fagerland, MW (2012). "Pruebas t, pruebas no paramétricas y estudios a gran escala: ¿una paradoja de la práctica estadística?". BMC Medical Research Methodology . 12 : 78. doi : 10.1186/1471-2288-12-78 . PMC 3445820 . PMID  22697476. 
10. Fagerland, MW; Sandvik, L. (2009). "Rendimiento de cinco pruebas de ubicación de dos muestras para distribuciones sesgadas con varianzas desiguales". Ensayos clínicos contemporáneos . 30 (5): 490–496. doi :10.1016/j.cct.2009.06.007. PMID  19577012.
11. "Funciones estadísticas, parte cinco - Ayuda de LibreOffice".
12. "Prueba t de dos muestras - MATLAB ttest2 - MathWorks España".
13. "TTEST - Excel - Microsoft Office". office.microsoft.com . Archivado desde el original el 13 de junio de 2010.
14. "Función T.TEST".
15. Descripción general de t de 2 muestras - Minitab: — documentación oficial de Minitab versión 18. Consultado el 19 de septiembre de 2020.
16. "Ayuda en línea - Ayuda rápida - FAQ-314 ¿Origin admite la prueba t de Welch?". www.originlab.com . Consultado el 9 de noviembre de 2023 .
17. "Scipy.stats.ttest_ind — Manual de SciPy v1.7.1".
18. "R: Prueba t de Student".
19. "Método npm de JavaScript: @stdlib/stats-ttest2".
20. "Estadísticas.Prueba.EstudianteT".
21. "Índice de /Soporte/Ayuda".
22. "Bienvenido a Read the Docs: la última documentación de HypothesisTests.jl".
23. "Ayuda de Stata 17 para ttest".
24. "T.TEST - Ayuda para editores de documentos".
25. Jeremy Miles: ¿Prueba t de varianzas desiguales o prueba U de Mann-Whitney?, consultado el 11 de abril de 2014
26. Prueba de una muestra: documentación oficial de SPSS Statistics versión 24. Consultado el 22 de enero de 2019.
27. "Referencia de función: Welch_test".