Mecánica de suelos en estado crítico.

El suelo normalmente consolidado llega a un estado crítico a lo largo de la trayectoria de tensión en la superficie de Roscoe.

La mecánica de suelos en estado crítico es el área de la mecánica de suelos que abarca los modelos conceptuales que representan el comportamiento mecánico de suelos saturados remodelados basados ​​en el concepto de estado crítico . En el estado crítico , la relación entre las fuerzas aplicadas en el suelo ( tensión ) y la deformación resultante de esta tensión ( deformación ) se vuelve constante. El suelo seguirá deformándose, pero la tensión ya no aumentará.

Las fuerzas se aplican a los suelos de varias maneras, por ejemplo cuando están cargados por cimientos o descargados por excavaciones . El concepto de estado crítico se utiliza para predecir el comportamiento de los suelos bajo diversas condiciones de carga, y los ingenieros geotécnicos utilizan el modelo de estado crítico para estimar cómo se comportará el suelo bajo diferentes tensiones.

El concepto básico es que el suelo y otros materiales granulares, si se distorsionan continuamente hasta que fluyan como un fluido de fricción, entrarán en un estado crítico bien definido. En términos prácticos, el estado crítico puede considerarse una condición de falla del suelo. Es el punto en el que el suelo no puede soportar ninguna carga adicional sin sufrir una deformación continua, de manera similar al comportamiento de los fluidos .

Ciertas propiedades del suelo, como la porosidad , la resistencia al corte y el volumen, alcanzan valores característicos. Estas propiedades son intrínsecas al tipo de suelo y a sus condiciones iniciales. ^[1]

Formulación

El concepto de Estado Crítico es una idealización del comportamiento observado de arcillas remodeladas saturadas en ensayos de compresión triaxial , y se supone que se aplica a suelos no perturbados. Afirma que los suelos y otros materiales granulares, si se distorsionan (cortan) continuamente hasta que fluyan como un fluido de fricción, entrarán en un estado crítico bien definido. Al inicio del estado crítico, las distorsiones por corte ocurren sin más cambios en la tensión efectiva media , la tensión desviadora (o tensión de fluencia , en tensión uniaxial según el criterio de fluencia de von Mises ) o el volumen específico : ${\displaystyle \ \varepsilon _{s}}$ ${\displaystyle \ p'}$ ${\displaystyle \ q}$ ${\displaystyle \ \sigma _{y}}$ ${\displaystyle \ \nu }$

${\displaystyle \ {\frac {\partial p'}{\partial \varepsilon _{s}}}={\frac {\partial q}{\partial \varepsilon _{s}}}={\frac {\partial \nu }{\partial \varepsilon _{s}}}=0}$

dónde,

${\displaystyle \ \nu =1+e}$

${\displaystyle \ p'={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}'+\sigma _{2}'+\sigma _{3}')}$

${\displaystyle \ q={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}'-\sigma _{2}')^{2}+(\sigma _{2}'-\sigma _{3}')^{2}+(\sigma _{1}'-\sigma _{3}')^{2}}{2}}}}$

Sin embargo, para condiciones triaxiales . De este modo, ${\displaystyle \ \sigma _{2}'=\sigma _{3}'}$

${\displaystyle \ p'={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}'+2\sigma _{3}')}$

${\displaystyle \ q=(\sigma _{1}'-\sigma _{3}')}$

Todos los estados críticos, para un suelo dado, forman una línea única llamada Línea de Estado Crítico ( CSL ) definida por las siguientes ecuaciones en el espacio : ${\displaystyle \ (p',q,v)}$

${\displaystyle \ q=Mp'}$

${\displaystyle \ \nu =\Gamma -\lambda \ln(p')}$

donde , y son constantes del suelo. La primera ecuación determina la magnitud de la tensión desviatoria necesaria para mantener el suelo fluyendo continuamente como el producto de una constante de fricción (capital ) y la tensión efectiva media . La segunda ecuación establece que el volumen específico ocupado por la unidad de volumen de partículas que fluyen disminuirá a medida que aumenta el logaritmo de la tensión efectiva media. ${\displaystyle \ M}$ ${\displaystyle \ \Gamma }$ ${\displaystyle \ \lambda }$ ${\displaystyle \ q}$ ${\displaystyle \ M}$ ${\displaystyle \ \mu }$ ${\displaystyle \ p'}$ ${\displaystyle \ \nu }$

Historia

En un intento de avanzar en las técnicas de análisis de suelos , Kenneth Harry Roscoe de la Universidad de Cambridge , a finales de los años cuarenta y principios de los cincuenta, desarrolló un aparato de corte simple en el que sus sucesivos estudiantes intentaron estudiar los cambios en las condiciones en la zona de corte tanto en arena como en arena. suelos arcillosos. En 1958, un estudio sobre el rendimiento del suelo basado en algunos datos de Cambridge sobre pruebas con aparatos de corte simples y en datos mucho más extensos de pruebas triaxiales en el Imperial College de Londres procedentes de una investigación dirigida por el profesor Sir Alec Skempton en el Imperial College , condujo a la publicación del concepto de estado crítico (Roscoe, Schofield y Wroth 1958).

Roscoe obtuvo su título universitario en ingeniería mecánica ^[2] y sus experiencias al intentar crear túneles para escapar cuando los nazis lo mantuvieron como prisionero de guerra durante la Segunda Guerra Mundial lo introdujeron a la mecánica de suelos. ^[2] Posteriormente a este artículo de 1958, Schofield introdujo los conceptos de plasticidad y los publicó en su libro de texto. ^[1] Schofield fue enseñado en Cambridge por el Prof. John Baker , un ingeniero estructural que creía firmemente en el diseño de estructuras que fallarían "plásticamente". Las teorías del profesor Baker influyeron fuertemente en el pensamiento de Schofield sobre la cizalla del suelo. Las opiniones del profesor Baker se desarrollaron a partir de su trabajo de antes de la guerra sobre estructuras de acero y se basaron en sus experiencias durante la guerra en la evaluación de estructuras dañadas por explosiones y con el diseño del "Refugio Morrison", un refugio antiaéreo que podría ubicarse en el interior (Schofield 2006).

Modelo original Cam-Clay

El nombre cam clay afirma que el cambio de volumen plástico típico del comportamiento del suelo arcilloso se debe a la estabilidad mecánica de un agregado de partículas duras pequeñas, rugosas, friccionables y entrelazadas. ^[3] El modelo Original Cam-Clay se basa en el supuesto de que el suelo es isotrópico, elastoplástico, se deforma como un continuo y no se ve afectado por la fluencia. La superficie de fluencia del modelo de arcilla Cam se describe mediante la ecuación

${\displaystyle f(p,q,p_{c})=q+M\,p\,\ln \left[{\frac {p}{p_{c}}}\right]\leq 0}$

donde es la tensión equivalente, es la presión, es la presión previa a la consolidación y es la pendiente de la línea de estado crítico en el espacio. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{c}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p-q}$

La presión de preconsolidación evoluciona a medida que cambia la relación de vacíos ( ) (y por lo tanto el volumen específico ) del suelo. Una relación comúnmente utilizada es ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle e=e_{0}-\lambda \ln \left[{\frac {p_{c}}{p_{c0}}}\right]}$

donde es el índice de compresión virgen del suelo. Una limitación de este modelo es la posibilidad de volúmenes específicos negativos en valores realistas de tensión. ${\displaystyle \lambda }$

Una mejora del modelo anterior es la forma bilogarítmica. ${\displaystyle p_{c}}$

${\displaystyle \ln \left[{\frac {1+e}{1+e_{0}}}\right]=\ln \left[{\frac {v}{v_{0}}}\right]=-{\tilde {\lambda }}\ln \left[{\frac {p_{c}}{p_{c0}}}\right]}$

¿Dónde está el índice de compresibilidad apropiado del suelo? ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

Superficie de fluencia cam-arcilla en el espacio pq.

Superficie de fluencia leva-arcilla en el espacio de tensión principal.

Modelo Cam-Clay modificado

Al profesor John Burland del Imperial College , que trabajó con el profesor Roscoe, se le atribuye el desarrollo de la versión modificada del modelo original. La diferencia entre Cam Clay y Modified Cam Clay ^[4] (MCC) es que la superficie de fluencia del MCC se describe mediante una elipse y, por lo tanto, el vector de incremento de deformación plástica (que es perpendicular a la superficie de fluencia) para el valor más grande. de la tensión efectiva media es horizontal y, por lo tanto, no se produce ninguna deformación plástica desviatoria incremental por un cambio en la tensión efectiva media (para estados de tensión puramente hidrostáticos). Esto es muy conveniente para el modelado constitutivo en análisis numérico, especialmente análisis de elementos finitos , donde las cuestiones de estabilidad numérica son importantes (ya que una curva debe ser continua para ser diferenciable).

La superficie de fluencia del modelo Cam-Clay modificado tiene la forma

${\displaystyle f(p,q,p_{c})=\left[{\frac {q}{M}}\right]^{2}+p\,(p-p_{c})\leq 0}$

donde es la presión, es la tensión equivalente, es la presión previa a la consolidación y es la pendiente de la línea de estado crítico. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p_{c}}$ ${\displaystyle M}$

Superficie de cedencia Cam-arcilla modificada en el espacio pq.

Superficie de fluencia Cam-arcilla modificada en el espacio de tensión principal.

Crítica

Los conceptos básicos del enfoque elastoplástico fueron propuestos por primera vez por dos matemáticos Daniel C. Drucker y William Prager (Drucker y Prager, 1952) en una breve nota de ocho páginas. ^[5] En su nota, Drucker y Prager también demostraron cómo utilizar su enfoque para calcular la altura crítica de un banco vertical utilizando una superficie de falla plana o en espiral. Su criterio de rendimiento se denomina hoy criterio de rendimiento de Drucker-Prager . Su enfoque fue posteriormente ampliado por Kenneth H. Roscoe y otros en el departamento de mecánica de suelos de la Universidad de Cambridge.

La mecánica de suelos en estado crítico y elastoplástica ha sido objeto de críticas desde que se introdujeron por primera vez. El factor clave que impulsa las críticas es principalmente la suposición implícita de que los suelos están formados por partículas puntuales isotrópicas. Los suelos reales están compuestos de partículas de tamaño finito con propiedades anisotrópicas que determinan fuertemente el comportamiento observado. En consecuencia, los modelos basados ​​en una teoría de plasticidad basada en metales no son capaces de modelar el comportamiento de los suelos que es el resultado de las propiedades anisotrópicas de las partículas, un ejemplo de las cuales es la caída en las resistencias al corte después de la resistencia máxima, es decir, el comportamiento de ablandamiento por deformación. Debido a esto, los modelos de suelo elastoplásticos sólo son capaces de modelar "curvas tensión-deformación simples", como las de arcillas isotrópicas normalmente o ligeramente consolidadas "grasas", es decir, suelos tipo CL-ML constituidos por partículas de grano muy fino.

Además, en general, el cambio de volumen se rige por consideraciones de elasticidad y, como esta suposición es en gran medida falsa para suelos reales, da como resultado coincidencias muy pobres de estos modelos con los cambios de volumen o los cambios de presión de poro. Además, los modelos elastoplásticos describen el elemento completo como un todo y no las condiciones específicas directamente en el plano de falla, como consecuencia de lo cual, no modelan la curva tensión-deformación después de la falla, particularmente para suelos que exhiben post-ablandamiento por deformación. cima. Finalmente, la mayoría de los modelos separan los efectos de la tensión hidrostática y la tensión cortante , y se supone que cada uno de ellos causa solo un cambio de volumen y un cambio de corte, respectivamente. En realidad, la estructura del suelo, al ser análoga a un "castillo de naipes", muestra tanto deformaciones por corte cuando se aplica compresión pura como cambios de volumen cuando se aplica corte puro.

Las críticas adicionales son que la teoría es "sólo descriptiva", es decir, sólo describe el comportamiento conocido y carece de la capacidad de explicar o predecir comportamientos estándar del suelo, como por qué la relación de vacíos en una prueba de compresión unidimensional varía linealmente con el logaritmo de la tensión efectiva vertical. Este comportamiento, en estado crítico, la mecánica del suelo simplemente lo da por sentado.

Por estas razones, la mecánica de suelos en estado crítico y elastoplástica ha sido objeto de acusaciones de escolasticismo; Las pruebas para demostrar su validez suelen ser "pruebas de conformación" en las que sólo se demuestra que las curvas tensión-deformación simples se modelan satisfactoriamente. El estado crítico y los conceptos que lo rodean tienen una larga historia de ser "escolásticos", y Sir Alec Skempton, el "padre fundador" de la mecánica de suelos británica, atribuyó la naturaleza escolástica del CSSM a Roscoe, de quien dijo: "... él Hizo poco trabajo de campo y, creo, nunca participó en un trabajo práctico de ingeniería”. ^[6] En las décadas de 1960 y 1970, el profesor Alan Bishop del Imperial College solía demostrar de forma rutinaria la incapacidad de estas teorías para igualar las curvas de tensión-deformación de suelos reales. Joseph (2013) ha sugerido que la mecánica de suelos en estado crítico y elastoplástico cumple con el criterio de un "programa de investigación degenerado", un concepto propuesto por el filósofo de la ciencia Imre Lakatos , para teorías en las que se utilizan excusas para justificar la incapacidad de la teoría para coincidir con los datos empíricos. ^[7]

Respuesta

Las afirmaciones de que la mecánica del suelo en estado crítico es sólo descriptiva y cumple con el criterio de un programa de investigación degenerado no han sido resueltas. Andrew Jenike utilizó una relación logarítmico-logarítmica para describir la prueba de compresión en su teoría del estado crítico y admitió disminuciones en la tensión durante el flujo convergente y aumentos en la tensión durante el flujo divergente. ^[8] Chris Szalwinski ha definido un estado crítico como un estado de múltiples fases en el que el volumen específico es el mismo en las fases sólida y fluida. ^[9] Según su definición, la relación lineal-logarítmica de la teoría original y la relación logarítmica-logarítmica de Jenike son casos especiales de un fenómeno físico más general.

Formulaciones de tensores de tensión.

Estrés aereo

Deformación plana Estado de tensión

${\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&0&\tau _{xz}\\0&0&0\\\tau _{zx}&0&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]}$^[10]

Condiciones drenadas

Deformación plana Estado de tensión

Separación de la matriz de estado de tensión de deformación plana en partes distorsionales y volumétricas : ${\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&0&\tau _{xz}\\0&0&0\\\tau _{zx}&0&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle \sigma _{hydrostatic}=p_{mean}={\frac {\sigma _{xx}+\sigma _{zz}}{2}}}$

Después de cargar ${\displaystyle \delta \sigma _{z}}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\sigma _{z}\ \\\end{matrix}}\right]}$

Estado agotado de estrés.

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\mathbf {\delta z} \ \\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}{\frac {-{\delta p}_{w}}{2}}\ &0\\0&\sigma _{z}-{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}\ \\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}&0\\0&{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}\ \\\end{matrix}}\right]}$

Estado de deformación del plano drenado

para el estado de deformación plana drenada

${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {\Delta h}{h_{0}}}}$; ${\displaystyle \ \varepsilon _{x}=\varepsilon _{y}=0}$

${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}(\sigma _{z}-\nu )(\sigma _{x}+\sigma _{z})={\frac {1}{E}}\sigma _{z}(1-2\nu \varepsilon )}$; ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\nu }{1-\nu }};\ \nu ={\frac {\varepsilon }{1+\varepsilon }}}$

Por matriz:

${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}(1-2\nu \varepsilon )\ \left[\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]\right]}$;

Condiciones sin drenaje

Estado de estrés no drenado

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\delta \sigma _{z}\ \\\end{matrix}}\right]=}$

${\displaystyle =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\ \ \left[{\begin{matrix}-{p}_{w}\ /\mathbf {2} &0\\0&\sigma _{z}-{p}_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\delta p_{w}/2&0\\0&\delta p_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]=}$

${\displaystyle =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\ \ \left[{\begin{matrix}-{p}_{w}\ /\mathbf {2} &0\\0&\sigma _{z}-{p}_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\delta p_{w}/2&0\\0&\delta p_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&\tau _{xz}\\{\tau }_{zx}&0\\\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}0&{\delta p}_{w,int}\\{\delta p}_{w,int}&0\\\end{matrix}}\right]}$

Estado de tensión de deformación no drenada

Estado no drenado del estado de deformación plana

${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}\left(1-2\nu \varepsilon \right)=}$

${\displaystyle =\left[\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&\delta \tau _{xz}\\{\delta \tau }_{zx}&0\\\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}0&{\delta p}_{w,int}\\{\delta p}_{w,int}&0\\\end{matrix}}\right]\right]=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{E}}\left(1-2\nu \varepsilon \right)\left[\rho _{u}+\rho _{w}+p\right]}$

${\displaystyle \rho _{u}=K_{u}\Delta \varepsilon _{z};\ \ \rho _{w}={\frac {K_{w}}{n}}\Delta \varepsilon _{z};\ \ \rho _{=}K_{\Delta }\varepsilon _{z};}$

Estado triaxial de tensión

Estado triaxial de tensión

Matriz de separación en partes distorsionales y volumétricas :

${\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}&0&0\\0&\sigma _{r}&0\\0&0&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$

Estado no drenado de tensión triaxial.

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){p}_{w}&0&0\\0&-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){(p}_{w}&0\\0&0&(\sigma _{z}-{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)\ast \ p}_{w}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle -\ \ \left[{\begin{matrix}{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0&0\\0&{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0\\0&0&\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p_{w}\\\end{matrix}}\right]+}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&0&{\delta \tau _{xz}}\\0&0&0\\\delta {\tau }_{\delta {zx}}&0&0\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}{\delta p_{w,int}}&0&0\\0&{\delta p_{w,int}}&0\\0&0&{\delta p_{w,int}}\\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}{-\delta p_{w,int}}&0&0\\0&{-\delta p_{w,int}}&0\\0&0&{-\delta p_{w,int}}\\\end{matrix}}\right]+}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&0&{-\delta \tau _{xz}}\\0&0&0\\-\delta {\tau }_{\delta {zx}}&0&0\\\end{matrix}}\right]}$

Estado drenado de tensión triaxial.

Sólo volumétrico en caso de drenaje:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle +\left[{\begin{matrix}-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){p}_{w}&0&0\\0&-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){(p}_{w}&0\\0&0&(\sigma _{z}-{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)\ast \ p}_{w}\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle -\ \ \left[{\begin{matrix}{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0&0\\0&{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0\\0&0&\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p_{w}\\\end{matrix}}\right]+}$

Solución de ejemplo en forma matricial

Los siguientes datos se obtuvieron de una prueba de compresión triaxial convencional sobre una arcilla simple saturada (B=1), normalmente consolidada (Ladd, 1964). La presión de la celda se mantuvo constante a 10 kPa, mientras que la tensión axial se aumentó hasta fallar (ensayo de compresión axial). . ^{[11] [12]}

Fase inicial: ${\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}&0&0\\0&\sigma _{r}&0\\0&0&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]}$

Paso uno: ${\displaystyle \sigma _{1}=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]+\mathbf {\sigma } =\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&0&3.5\\0&-1&0\\\end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1-1.9&0&0\\0&10-1.9&3.5\\0&-1\ &10-1.9\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}1.9&0&0\\0&1.9&0\\0&0&1.9\\\end{matrix}}\right]}$

Los pasos 2-9 son el mismo paso uno.

Paso siete: ^[13] ${\displaystyle \sigma _{7}=\left[{\begin{matrix}12-4.4\ \ \ &0&0\\0&10-4.4&2.9\\0&-2\ &10-4.4\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}4.4&0&0\\0&4.4&0\\0&0&4.4\\\end{matrix}}\right]}$

Notas

1. Schofield, AN; Ira, P. (1968). Mecánica de suelos en estado crítico. McGraw-Hill. ISBN 978-0-641-94048-4. Consultado el 16 de diciembre de 2023 .
2. Diccionario Oxford de biografía nacional, 1961-1970, entrada sobre Roscoe, Kenneth Harry, págs. 894-896
3. K. H Roscoe, Andrew Schofield, C. P Wroth, 1958, Sobre el rendimiento de los suelos, Géotechnique 8 (1), 22-53
4. Roscoe KH y Burland JB, 1968, Sobre el comportamiento tensión-deformación generalizado de la arcilla "húmeda", ing. plasticidad, Universidad de Cambridge. Prensa, 535-609
5. Drucker, CC; Prager, W. (1958), "Mecánica de suelos y análisis plástico para diseño de límites", Quarterly of Applied Mathematics , vol. 10, núm. 2, págs. 157-165
6. Niechcial, J. (2002), Una partícula de arcilla: la biografía de Alec Skempton, ingeniero civil , Whittles Publishing
7. Joseph, PG (2013), Deconstrucción de la mecánica del suelo en estado crítico , consultado el 14 de mayo de 2017
8. Jenike, AW (1987), "Una teoría del flujo de partículas sólidas en canales convergentes y divergentes basada en una función de rendimiento cónica", Powder Technology , vol. 50, núm. 3, págs. 229–236, doi :10.1016/0032-5910(87)80068-2
9. Szalwinski, CM (2017), "Sobre estados críticos, estados de ruptura y resistencia de entrelazamiento de materiales granulares", Materiales , vol. 10, núm. 8, pág. 865, código Bib : 2017 Mate...10..865S, doi : 10.3390/ma10080865 , PMC 5578231 , PMID  28773226 
10. Las principales tensiones efectivas en el plano de corte se pueden calcular a partir de la construcción del círculo de Mohr: ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sigma _{1}^{,}\\\sigma _{3}^{,}\\\end{matrix}}\right\}={\frac {\sigma _{xx}^{,}+\sigma _{zz}^{,}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{xx}^{,}{\ -\ \sigma }_{zz}^{,}}{2}}\right)^{2}+\sigma _{zx}^{2}}}}$
11. Problema 54P
12. Introducción a la ingeniería geotécnica. 2da Edición.
13. Si aumenta "Poro", disminuye "eficaz".

Referencias

• Roscoe, KH; Schofield, AN; Wroth, CP (1958), "Sobre el rendimiento de los suelos", Geotechnique , vol. 8, págs. 22–53, doi :10.1680/geot.1958.8.1.22
• Schofield, AN; Wroth, CP (1968), Mecánica de suelos en estado crítico, McGraw-Hill, pág. 310, ISBN 978-0641940484
• Schofield, AN (2006), Propiedades del suelo perturbado y diseño geotécnico , Thomas Telford, p. 216, ISBN 978-0727729828