Magnetometría en voladizo

La magnetometría en voladizo es el uso de un voladizo para medir el momento magnético de partículas magnéticas. En el extremo del voladizo se fija una pequeña pieza de material magnético , que interactúa con campos magnéticos externos y ejerce un par de torsión sobre el voladizo. Estos pares de torsión hacen que el voladizo oscile más rápido o más lento, dependiendo de la orientación del momento de la partícula con respecto al campo externo y de la magnitud del momento. La magnitud del momento y la anisotropía magnética del material se pueden deducir midiendo la frecuencia de oscilación del voladizo en función del campo externo. ^[1]

Un voladizo con una partícula magnética que oscila en un campo magnético externo. Muchas configuraciones no tienen una bobina de modulación como la que se muestra en la imagen anterior. Se puede utilizar un acoplamiento capacitivo en lugar de un transductor piezoeléctrico (PZT) para accionar el voladizo

Una analogía útil, aunque limitada, es la del péndulo: en la Tierra oscila con una frecuencia, mientras que el mismo péndulo en, por ejemplo, la Luna, oscilaría con una frecuencia más lenta. Esto se debe a que la masa en el extremo del péndulo interactúa con el campo gravitatorio externo, de forma muy similar a como un momento magnético interactúa con un campo magnético externo.

Ecuación de movimiento en voladizo

A medida que el voladizo oscila hacia adelante y hacia atrás, se arquea en curvas hiperbólicas con la característica destacada de que una tangente al extremo del voladizo siempre intersecta un punto a lo largo del eje medio. A partir de esto, definimos la longitud efectiva del voladizo, , como la distancia desde este punto hasta el extremo del voladizo (ver imagen a la derecha). El lagrangiano para este sistema está dado por ${\displaystyle L_{e}}$

donde es la masa efectiva del voladizo, es el volumen de la partícula, es la constante del voladizo y es el momento magnético de la partícula. Para encontrar la ecuación de movimiento, notamos que tenemos dos variables, por lo que hay dos ecuaciones lagrangianas correspondientes que deben resolverse como un sistema de ecuaciones, ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\beta }}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \beta }}\Rightarrow 0=\mu B\sin {(\theta -\beta )}-2K_{u}V\underbrace {\sin \beta \cos \beta } _{\approx \beta }\Rightarrow }$

donde hemos definido . ${\displaystyle H_{k}\equiv {\frac {2K_{u}V}{\mu }}}$

Podemos introducir la ecuación 1 en nuestro lagrangiano, que se convierte entonces en una función de solamente. Entonces , y tenemos ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (\theta -\beta )={\frac {\theta H_{k}}{B+H_{k}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\Rightarrow }$

${\displaystyle mL_{e}^{2}{\ddot {\theta }}=-kL_{e}^{2}\theta -\mu B\sin {\left({\frac {\theta H_{k}}{B+H_{k}}}\right)}\left({\frac {H_{k}}{B+H_{k}}}\right)-2K_{u}V\sin {\left({\frac {\theta B}{B+H_{k}}}\right)}\cos {\left({\frac {\theta B}{B+H_{k}}}\right)}\left({\frac {B}{B+H_{k}}}\right)\Rightarrow }$

${\displaystyle \approx -kL_{e}^{2}\theta -\mu B\theta \left({\frac {H_{k}}{B+H_{k}}}\right)^{2}-\mu H_{k}\theta \left({\frac {B}{B+H_{k}}}\right)^{2}\Rightarrow }$

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+\theta \left({\frac {kL_{e}^{2}+{\frac {\mu BH_{k}}{(B+H_{k})}}}{mL_{e}^{2}}}\right)={\ddot {\theta }}+\theta \left(\omega _{o}^{2}+{\frac {\mu BH_{k}}{mL_{e}^{2}(B+H_{k})}}\right)=0,}$

o

donde . La solución de esta ecuación diferencial es donde y son coeficientes determinados por las condiciones iniciales. El movimiento de un péndulo simple se describe de manera similar mediante esta ecuación diferencial y solución en la aproximación de ángulo pequeño. ${\displaystyle \omega ^{2}\equiv \left(\omega _{o}^{2}+{\frac {\mu BH_{k}}{mL_{e}^{2}(B+H_{k})}}\right)=\omega _{o}^{2}\left(1+{\frac {\mu BH_{k}}{kL_{e}^{2}(B+H_{k})}}\right)}$ ${\displaystyle \theta (t)=c_{1}\cos \omega t+c_{2}\sin \omega t}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

Podemos utilizar la expansión binomial para reescribir , ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =\omega _{o}\left(1+{\frac {\mu BH_{k}}{kL_{e}^{2}(B+H_{k})}}\right)^{1/2}\approx \omega _{o}\left(1+{\frac {\mu BH_{k}}{2kL_{e}^{2}(B+H_{k})}}+...\right)\Rightarrow }$

que es la forma que se ve en la literatura, por ejemplo la ecuación 2 en el artículo "Disipación magnética y fluctuaciones en nanoimanes individuales medidos por magnetometría en voladizo ultrasensible". ^[1]

Referencias

1. Rugar, Dan; Stipe, Mamin; Stowe, Kenny (2001). "Disipación magnética y fluctuaciones en nanoimanes individuales medidas mediante magnetometría en voladizo ultrasensible". Physical Review Letters . 86 (13): 2874–2877. doi :10.1103/PhysRevLett.86.2874.