Lacunaridad

Término en geometría y análisis fractal.

Figura 1. Patrones fractales básicos que aumentan en lacunaridad de izquierda a derecha.

Las mismas imágenes que las anteriores, rotadas 90°. Mientras que las dos primeras imágenes parecen básicamente iguales, la tercera se ve diferente de su original sin rotar. Esta característica se refleja en las medidas de lacunaridad que se enumeran en la parte superior de las figuras, calculadas con el software de conteo de cajas de imágenes biológicas estándar FracLac, Image.

Lacunaridad , del latín lacuna, que significa "hueco" o "lago", es un término especializado en geometría que se refiere a una medida de cómo los patrones, especialmente los fractales , llenan el espacio, donde los patrones que tienen más huecos o huecos más grandes generalmente tienen mayor lacunaridad. Más allá de ser una medida intuitiva de la falta de huecos, la lacunaridad puede cuantificar características adicionales de los patrones como la "invariancia rotacional" y, de manera más general, la heterogeneidad. ^{[1] [2] [3]} Esto se ilustra en la Figura 1 que muestra tres patrones fractales. Cuando se rotan 90°, los dos primeros patrones bastante homogéneos no parecen cambiar, pero la tercera figura más heterogénea sí cambia y tiene una lacunaridad correspondientemente mayor. La primera referencia al término en geometría generalmente se atribuye a Benoit Mandelbrot , quien, en 1983 o quizás ya en 1977, lo introdujo como, en esencia, un complemento al análisis fractal . ^[4] El análisis de lacunaridad se utiliza ahora para caracterizar patrones en una amplia variedad de campos y tiene aplicación en el análisis multifractal ^{[5] [6]} en particular (ver Aplicaciones).

Medición de la lacunaridad

En muchos patrones o conjuntos de datos, la lacunaridad no es fácilmente perceptible o cuantificable, por lo que se han desarrollado métodos asistidos por computadora para calcularla. Como cantidad medible, la lacunaridad a menudo se denota en la literatura científica con las letras griegas o, pero es importante señalar que no existe un estándar único y existen varios métodos diferentes para evaluar e interpretar la lacunaridad. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Lacunaridad en el conteo de cajas

Figura 2a. Cuadros dispuestos sobre una imagen como una cuadrícula fija.

Figura 2b. Cuadros deslizados sobre una imagen en un patrón superpuesto.

Un método bien conocido para determinar la lacunaridad de los patrones extraídos de imágenes digitales utiliza el conteo de cajas , el mismo algoritmo esencial que se usa típicamente para algunos tipos de análisis fractal . ^{[1] [4]} De manera similar a mirar una diapositiva a través de un microscopio con niveles cambiantes de aumento, los algoritmos de conteo de cajas miran una imagen digital desde muchos niveles de resolución para examinar cómo cambian ciertas características con el tamaño del elemento utilizado para inspeccionar la imagen. Básicamente, la disposición de los píxeles se mide utilizando elementos tradicionalmente cuadrados (es decir, con forma de caja) de un conjunto arbitrario de tamaños, convencionalmente denotados s. Para cada , se coloca una caja de tamaño sucesivamente en la imagen, al final cubriéndola por completo, y cada vez que se coloca, se registra el número de píxeles que caen dentro de la caja. ^{[nota 1]} En el conteo de cajas estándar , la caja para cada entrada se coloca como si fuera parte de una cuadrícula superpuesta sobre la imagen de modo que la caja no se superponga a sí misma, pero en los algoritmos de caja deslizante, la caja se desliza sobre la imagen de modo que se superponga a sí misma y se calcula la "laguna de caja deslizante" o SLac. ^{[3] [7]} La ​​Figura 2 ilustra ambos tipos de conteo de cajas. ${\displaystyle \mathrm {E} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathrm {E} }$

Cálculos a partir del recuento de cajas

Los datos recopilados para cada uno se manipulan para calcular la lacunaridad. Una medida, denotada aquí como , se encuentra a partir del coeficiente de variación ( ), calculado como la desviación estándar ( ) dividida por la media ( ), para píxeles por caja. ^{[1] [3] [6]} Debido a que la forma en que se muestrea una imagen dependerá de la ubicación inicial arbitraria, para cualquier imagen muestreada en cualquier habrá un número ( ) de posibles orientaciones, cada una denotada aquí por , sobre las que se pueden recopilar los datos, lo que puede tener efectos variables en la distribución medida de píxeles. ^{[5] [nota 2]} La ecuación 1 muestra el método básico de cálculo : ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon }}$ ${\displaystyle {\mathit {CV}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\mathit {G}}}$ ${\displaystyle {\mathit {g}}}$ ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$

Distribuciones de probabilidad

Como alternativa, algunos métodos ordenan la cantidad de píxeles contados en una distribución de probabilidad que tiene contenedores, y utilizan los tamaños de los contenedores (masas, ) y sus probabilidades correspondientes ( ) para calcular de acuerdo con las ecuaciones 2 a 5 : ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$

Interpretaciónla

La lacunaridad basada en se ha evaluado de varias maneras, incluso mediante el uso de la variación en o el valor promedio de para cada una (ver Ecuación 6 ) y mediante el uso de la variación en o el promedio de todas las cuadrículas (ver Ecuación 7 ). ^{[1] [5] [7] [8]} ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$ ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Relación con la dimensión fractal

Los análisis de lacunaridad que utilizan los tipos de valores discutidos anteriormente han demostrado que los conjuntos de datos extraídos de fractales densos, de patrones que cambian poco cuando se rotan o de patrones que son homogéneos tienen una lacunaridad baja, pero a medida que estas características aumentan, ^{[ aclaración necesaria ]} también lo hace generalmente la lacunaridad. En algunos casos, se ha demostrado que las dimensiones fractales y los valores de lacunaridad estaban correlacionados, ^[1] pero investigaciones más recientes han demostrado que esta relación no se cumple para todos los tipos de patrones y medidas de lacunaridad. ^[5] De hecho, como Mandelbrot propuso originalmente, se ha demostrado que la lacunaridad es útil para discernir entre patrones (por ejemplo, fractales, texturas, etc.) que comparten o tienen dimensiones fractales similares en una variedad de campos científicos, incluida la neurociencia. ^[8]

Lacunaridad gráfica

Otros métodos para evaluar la lacunaridad a partir de datos de conteo de cajas utilizan la relación entre los valores de lacunaridad (por ejemplo, ) y de formas diferentes a las mencionadas anteriormente. Uno de estos métodos analiza el gráfico vs de estos valores. Según este método, la curva en sí se puede analizar visualmente, o se puede calcular la pendiente en a partir de la línea de regresión vs. ^{[3] [7]} Debido a que tienden a comportarse de ciertas maneras para patrones mono-, multi- y no fractales respectivamente, se han utilizado gráficos de lacunaridad vs para complementar los métodos de clasificación de dichos patrones. ^{[5] [8]} ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle {\mathit {g}}}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$

Para realizar los gráficos para este tipo de análisis, los datos del conteo de cajas primero deben transformarse como en la Ecuación 9 :

Esta transformación evita valores indefinidos, lo cual es importante porque las imágenes homogéneas tendrán en algún momento igual a 0, de modo que la pendiente de la línea de regresión vs sería imposible de encontrar. Con , las imágenes homogéneas tienen una pendiente de 0, lo que corresponde intuitivamente a la idea de que no hay invariancia rotacional o traslacional y que no hay huecos. ^[9] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle f\lambda _{\varepsilon ,g}}$

Una técnica de conteo de cajas que utiliza una caja "deslizante" calcula la lacunaridad según:

${\displaystyle S_{i}}$es el número de puntos de datos llenos en el cuadro y la distribución de frecuencia normalizada para diferentes tamaños de cuadro. ${\displaystyle Q(S_{i},r)}$ ${\displaystyle S_{i}}$

Lagunaridad prefactorial

Otra forma propuesta de evaluar la lacunaridad utilizando el conteo de cajas, el método Prefactor , se basa en el valor obtenido del conteo de cajas para la dimensión fractal ( ). Esta estadística utiliza la variable de la regla de escala , donde se calcula a partir de la intersección con y ( ) de la línea de regresión ln-ln para y ya sea el conteo ( ) de cajas que tenían algún píxel en ellas o bien en . se ve particularmente afectado por el tamaño de la imagen y la forma en que se recopilan los datos, especialmente por el límite inferior de s utilizado. La medida final se calcula como se muestra en las ecuaciones 11 a 13 : ^{[1] [4]} ${\displaystyle D_{B}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle N=A\varepsilon ^{-D_{B}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathit {y}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Aplicaciones

A continuación se muestra una lista de algunos campos en los que la lacunaridad juega un papel importante, junto con enlaces a investigaciones relevantes que ilustran usos prácticos de la lacunaridad.

• Ecología ^[2]
• Física ^[10]
• Arqueología ^[11]
• Imágenes médicas ^{[6] [12]}
• Análisis espacial urbano ^{[13] [14]}
• Estudios sísmicos ^[15]
• Odontología ^[16]
• Ciencia de los alimentos ^[17]

Notas

1. Esto contrasta con el análisis fractal de conteo de cajas , donde se cuenta el número total de cajas que contienen píxeles para determinar una dimensión fractal.
2. Consulte FracLac, Box Counting para obtener una explicación de los métodos para abordar la variación con la ubicación de la cuadrícula.

Referencias

1. Smith, TG; Lange, GD; Marks, WB (1996). "Métodos fractales y resultados en morfología celular: dimensiones, lacunaridad y multifractales". Journal of Neuroscience Methods . 69 (2): 123–136. doi :10.1016/S0165-0270(96)00080-5. PMID  8946315. S2CID  20175299.
2. Plotnick, RE; Gardner, RH; Hargrove, WW; Prestegaard, K.; Perlmutter, M. (1996). "Análisis de lacunaridad: una técnica general para el análisis de patrones espaciales". Physical Review E . 53 (5): 5461–8. Bibcode :1996PhRvE..53.5461P. doi :10.1103/physreve.53.5461. PMID  9964879.
3. Plotnick, RE; Gardner, RH; O'Neill, RV (1993). "Índices de lacunaridad como medidas de la textura del paisaje". Ecología del paisaje . 8 (3): 201. doi :10.1007/BF00125351. S2CID  7112365.
4. Mandelbrot, Benoit (1983). La geometría fractal de la naturaleza . ISBN 978-0-7167-1186-5.
5. Karperien (2004). "Capítulo 8 Multifractalidad y lacunaridad". Definición de la morfología microglial: forma, función y dimensión fractal . Universidad Charles Sturt.
6. Al-Kadi, OS; Watson, D. (2008). "Texture Analysis of Aggressive and non-Aggressive Lung Tumor CE CT Images" (PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 55 (7): 1822–30. doi :10.1109/TBME.2008.919735. PMID  18595800. S2CID  14784161. Archivado desde el original (PDF) el 2014-04-13 . Consultado el 2014-04-10 .
7. McIntyre, NE; Wiens, JA (2000). "Un nuevo uso del índice de lacunaridad para discernir la función del paisaje". Ecología del paisaje . 15 (4): 313. doi :10.1023/A:1008148514268. S2CID  18644861.
8. Jelinek, Herbert; Karperien, Audrey; Milosevic, Nebojsa (junio de 2011). "Análisis de lagunas y clasificación de la microglía en neurociencia". 8.ª Conferencia Europea sobre Biología Matemática y Teórica, Cracovia .
9. Karperien (2002). "Interpretación de la lacunaridad". FracLac .
10. Tolle, C. (2003). "Definición de lacunaridad para conjuntos de datos ramificados basados ​​en una cobertura óptima". Physica D: Nonlinear Phenomena . 179 (3–4): 129–201. Bibcode :2003PhyD..179..129T. doi :10.1016/S0167-2789(03)00029-0.
11. Stevens, NE; Harro, DR; Hicklin, A. (2010). "Análisis cuantitativo práctico del desgaste por uso de objetos líticos utilizando múltiples clasificadores". Journal of Archaeological Science . 37 (10): 2671. doi :10.1016/j.jas.2010.06.004.
12. Rievra-Virtudazo, RV; Tapia, AKG; Valenzuela, JFB; Cruz, LD; Mendoza, HD; Castriciones, EV (23 de noviembre de 2008). "47. Análisis de lagunas de imágenes TEM de materiales organosílice híbridos tratados térmicamente". En Sener, Bilge (ed.). Innovaciones en biología química . Saltador. págs. 397–404. ISBN 978-1-4020-6955-0.
13. Filho, MB; Sobreira, F. (2008). "Precisión de algoritmos de lacunaridad en la clasificación de texturas de imágenes de alta resolución espacial de áreas urbanas" (PDF) . Archivos internacionales de fotogrametría, teledetección y ciencias de la información espacial . XXXVII (Parte B3b).
14. Gorsich, DJ; Tolle, CR; Karlsen, RE; Gerhart, GR (1996). "Análisis wavelet y fractal de imágenes de vehículos terrestres". En Unser, Michael A; Aldroubi, Akram; Laine, Andrew F (eds.). Aplicaciones wavelet en procesamiento de señales e imágenes IV. Aplicaciones wavelet en procesamiento de señales e imágenes IV. Vol. 2825. págs. 109–119. doi :10.1117/12.255224. S2CID  121560110.
15. Vannucchi, P.; Leoni, L. (30 de octubre de 2007). "Caracterización estructural del desprendimiento de Costa Rica: evidencia de pulsos de fluidos inducidos sísmicamente". Earth and Planetary Science Letters . 262 (3–4): 413–428. Bibcode :2007E&PSL.262..413V. doi :10.1016/j.epsl.2007.07.056. hdl : 2158/257208 .
16. Yaşar, F.; Akgünlü, F. (2005). "Análisis de la dimensión fractal y lacunaridad de radiografías dentales". Radiología dentomaxilofacial . 34 (5): 261–267. doi :10.1259/dmfr/85149245. PMID  16120874.
17. Valous, NA; Sun, D.-W.; Allen, P.; Mendoza, F. (enero de 2010). "El uso de la lacunaridad para la caracterización visual de la textura de las intensidades superficiales del jamón de cerdo cocido precortado". Food Research International . 43 (1): 387–395. doi :10.1016/j.foodres.2009.10.018.

Enlaces externos

• "Guía del usuario de FracLac".Una guía en línea sobre la teoría y el análisis de la lagunaridad utilizando software de imágenes biológicas gratuito y de código abierto.