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Lógica dialógica

La lógica dialógica (también conocida como lógica de los diálogos ) fue concebida como una aproximación pragmática a la semántica de la lógica que recurre a conceptos de la teoría de juegos como el de "ganar una jugada" y el de "estrategia ganadora".

Dado que la lógica dialógica fue la primera aproximación a la semántica de la lógica utilizando nociones derivadas de la teoría de juegos, la semántica de teoría de juegos (GTS) y la lógica dialógica a menudo se confunden bajo el término semántica de juegos . Sin embargo, como se analiza a continuación, aunque tanto la GTS como la lógica dialógica tienen sus raíces en una perspectiva de teoría de juegos, de hecho, tienen antecedentes filosóficos y lógicos bastante diferentes.

En la actualidad se ha ampliado a un marco general para el estudio del significado, el conocimiento y la inferencia que se constituyen durante la interacción. Los nuevos desarrollos incluyen diálogos cooperativos y diálogos que utilizan un lenguaje completamente interpretado ( diálogos con contenido ).

Orígenes y desarrollos posteriores

El filósofo y matemático Paul Lorenzen ( Universidad de Erlangen-Nürnberg ) fue el primero en introducir una semántica de juegos para la lógica a finales de los años 50. Lorenzen llamó a esta semántica "dialogische Logik" o lógica dialógica. Más tarde, su alumno Kuno Lorenz (Universidad de Erlangen-Nürnberg, entonces Sarre ) la desarrolló ampliamente. Jaakko Hintikka ( Helsinki , Boston ) desarrolló un poco más tarde que Lorenzen un enfoque teórico de modelos conocido como GTS.

Desde entonces, se han estudiado un número significativo de semánticas de juegos diferentes en lógica. Desde 1993, Shahid Rahman  [fr] y sus colaboradores han desarrollado la lógica dialógica dentro de un marco general destinado al estudio de las cuestiones lógicas y filosóficas relacionadas con el pluralismo lógico . Más precisamente, hacia 1995 se generó una especie de resurgimiento de la lógica dialógica que abrió nuevas e inesperadas posibilidades para la investigación lógica y filosófica. El desarrollo filosófico de la lógica dialógica continuó especialmente en los campos de la teoría de la argumentación , el razonamiento jurídico, la informática , la lingüística aplicada y la inteligencia artificial .

Los nuevos resultados en lógica dialógica comenzaron, por un lado, con los trabajos de Jean-Yves Girard en lógica lineal e interacción; por otro, con el estudio de la interfaz de la lógica, la teoría de juegos matemáticos y la argumentación, los marcos de argumentación y el razonamiento derrotable , por investigadores como Samson Abramsky , Johan van Benthem , Andreas Blass , Nicolas Clerbout, Frans H. van Eemeren , Mathieu Fontaine, Dov Gabbay , Rob Grootendorst , Giorgi Japaridze , Laurent Keiff, Erik Krabbe, Alain Leconte, Rodrigo Lopez-Orellana, Sébasten Magnier, Mathieu Marion, Zoe McConaughey, Henry Prakken, Juan Redmond, Helge Rückert, Gabriel Sandu, Giovanni Sartor, Douglas N. Walton , y John Woods entre otros, quienes han contribuido a colocar la interacción dialógica y los juegos en el centro de una nueva perspectiva de la lógica, donde la lógica se define como un instrumento de inferencia dinámica.

Cinco programas de investigación abordan la interfaz entre significado, conocimiento y lógica en el contexto de diálogos, juegos o, de manera más general, la interacción:

  1. El enfoque constructivista de Paul Lorenzen y Kuno Lorenz, quienes buscaron superar las limitaciones de la lógica operativa al brindarle fundamentos dialógicos. [1] El método de cuadros semánticos para la lógica clásica e intuicionista introducido por Evert W. Beth (1955) [ cita completa requerida ] podría así identificarse como un método para la notación de estrategias ganadoras de juegos de diálogo particulares (Lorenzen/Lorenz 1978, Lorenz 1981, Felscher 1986). [ cita completa requerida ] Esto, como se mencionó anteriormente, ha sido extendido por Shahid Rahman y colaboradores a un marco general para el estudio de lógicas clásicas y no clásicas . Rahman y su equipo de Lille, con el fin de desarrollar diálogos con contenido, enriquecieron el marco dialógico con lenguajes completamente interpretados (como se implementó dentro de la teoría de tipos constructivos de Per Martin-Löf ).
  2. El enfoque de teoría de juegos de Jaakko Hintikka , llamado GTS. Este enfoque comparte los principios de teoría de juegos de la lógica dialógica para las constantes lógicas ; pero recurre a la teoría del modelo estándar cuando el proceso de análisis alcanza el nivel de enunciados elementales. En este nivel entra en juego la semántica formal estándar veritativo-funcional. Mientras que en los juegos formales de la lógica dialógica P perderá ambos juegos en una proposición elemental, es decir, el juego donde la tesis enuncia esta proposición y el juego donde enuncia su negación; en GTS, el defensor ganará uno de ambos. Un desarrollo posterior fue iniciado por Johan van Benthem (y su grupo en Ámsterdam) en su libro Logic in Games , que combina los enfoques de teoría de juegos con la lógica epistémica .
  3. El enfoque de la teoría de la argumentación de Else M. Barth y Erik Krabbe (1982), [ cita completa requerida ] quienes buscaron vincular la lógica dialógica con la lógica informal o razonamiento crítico originado por el trabajo seminal de Chaïm Perelman (Perelman/Olbrechts-Tyteca 1958), [ cita completa requerida ] Stephen Toulmin (1958), [ cita completa requerida ] Arne Næss (1966) [ cita completa requerida ] y Charles Leonard Hamblin (1970) [ cita completa requerida ] y desarrollado aún más por Ralph Johnson (1999), [ cita completa requerida ] Douglas N. Walton (1984), [ cita completa requerida ] John Woods (1988) [ cita completa requerida ] y asociados. Otros desarrollos incluyen el marco de argumentación de PD Dung y otros, el enfoque de razonamiento derrotable de Henry Prakken y Giovanni Sartor, y la pragma-dialéctica de Frans H. van Eemeren y Rob Grootendorst.
  4. El enfoque lúdico , iniciado por Jean-Yves Girard, que propone una teoría global del significado teórico de la prueba basada en la computación interactiva.
  5. La perspectiva alternativa sobre la teoría de la prueba y la teoría del significado, que defiende que el paradigma del "significado como uso" de Wittgenstein tal como se entiende en el contexto de la teoría de la prueba, donde las llamadas reglas de reducción (que muestran el efecto de las reglas de eliminación sobre el resultado de las reglas de introducción) deben considerarse apropiadas para formalizar la explicación de las consecuencias (inmediatas) que uno puede extraer de una proposición, mostrando así la función/propósito/utilidad de su conectivo principal en el cálculo del lenguaje (de Queiroz (1988), de Queiroz (1991), de Queiroz (1994), de Queiroz (2001), de Queiroz (2008)).

Según la perspectiva dialógica, el conocimiento, el sentido y la verdad se conciben como resultado de la interacción social, donde la normatividad no se entiende como un tipo de operador pragmático que actúa sobre un núcleo proposicional destinado a expresar el conocimiento y el sentido, sino por el contrario: el tipo de normatividad que emerge de la interacción social asociada al conocimiento y al sentido es constitutiva de estas nociones. En otras palabras, según la concepción del marco dialógico, el entrelazamiento del derecho a pedir razones, por un lado, y la obligación de darlas, por el otro, proporciona las raíces del conocimiento, el sentido y la verdad. [nota 1]

Significado local y global

Como lo sugiere su nombre, este marco estudia los diálogos, pero también adopta la forma de diálogos. En un diálogo, dos partes (jugadores) discuten sobre una tesis (una determinada afirmación que es el tema de todo el argumento) y siguen ciertas reglas fijas en su argumento. El jugador que enuncia la tesis es el Proponente, llamado P , y su rival, el jugador que desafía la tesis, es el Oponente, llamado O . Al desafiar la tesis del Proponente, el Oponente exige al Proponente que defienda su afirmación.

La interacción entre los dos jugadores P y O se explica mediante desafíos y defensas, implementando la interpretación de Robert Brandom del significado como un juego de dar y pedir razones. Las acciones en un diálogo se denominan movimientos; a menudo se entienden como actos de habla que implican enunciados declarativos ( afirmaciones ) y enunciados interrogativos ( solicitudes ). Por lo tanto, las reglas de los diálogos nunca tratan expresiones aisladas del acto de pronunciarlas.

Las reglas en el marco dialógico se dividen en dos tipos : reglas de partículas y reglas estructurales . Mientras que las primeras determinan el significado local , las segundas determinan el significado global .

El significado local explica el significado de una expresión, independientemente de las reglas que rigen el desarrollo de un diálogo. El significado global establece el significado de una expresión en el contexto de alguna forma específica de desarrollo de un diálogo.

Más precisamente:

En el caso más básico, las reglas de las partículas establecen el significado local de las constantes lógicas de la lógica clásica e intuicionista de primer orden . Más precisamente, el significado local se establece mediante la siguiente distribución de opciones:

La siguiente sección ofrece una breve descripción de las reglas de la lógica intuicionista y la lógica clásica. Para una formulación formal completa, véase Clerbout (2014), Rahman et al. (2018), Rahman & Keiff (2005).

Las reglas del marco dialógico

El significado local de las constantes lógicas

Desafío: Y  ?

Defensa: X A/ X B

(El defensor tiene la opción de defender a A o defender a B)

Desafío: Y ?L (para izquierda)

Defensa X A

Ataque: Y ?R (para derecha)

Defensa X B

(El retador tiene la opción de pedir A o pedir B)

Desafío: Y A

Defensa: X B

(El retador tiene derecho a pedir A concediéndose A)

Desafío: Y A

Defensa: (No es posible defensa)

Desafío: Y ?t

Defensa: X A[x/t]

(El retador elige)

Desafío: Y  ?

Defensa: X A[x/t]

(El defensor elige)

Reglas estructurales: significado global

RS 1 (Iniciar un diálogo o una obra de teatro)

Cualquier jugada (diálogo) comienza con el Proponente P enunciando una tesis (movimiento etiquetado como 0) y el Oponente O presentando alguna declaración inicial (si hay alguna). [nota 2] El primer movimiento de O , etiquetado como 1, es un ataque a la tesis del diálogo.

Cada movimiento posterior consiste en que uno de los dos interlocutores presenta por turno un ataque contra una afirmación anterior del oponente o una defensa de un ataque anterior del antagonista.

RS 2i (Regla intuicionista)

X puede atacar cualquier afirmación presentada por Y , siempre que las reglas de partículas y las reglas estructurales restantes lo permitan, o responder sólo al último desafío no respondido del otro jugador.

Nota: Esta última cláusula se conoce como la condición del Último Deber Primero , y hace que los juegos dialógicos sean adecuados para la lógica intuicionista (de ahí el nombre de esta regla). [nota 3]

RS 2c (Regla clásica)

X puede atacar cualquier enunciado propuesto por Y , siempre que las reglas de partículas y las reglas estructurales restantes lo permitan, o defenderse contra cualquier ataque de Y (siempre que las reglas de partículas y las reglas estructurales restantes lo permitan).

RS 3 (Finitud de las obras)

Regla intuicionista

O puede atacar la misma afirmación como máximo una vez.

P puede atacar la misma afirmación un número finito de veces.

Regla clásica

O puede atacar la misma declaración o defenderse contra un ataque como máximo una vez.

P puede atacar la misma afirmación un número finito de veces. La misma restricción se aplica también a las defensas de P. [nota 4]

RS 4 (Regla formal)

P puede enunciar una proposición elemental sólo si O la ha enunciado antes.

O siempre tiene derecho a enunciar proposiciones elementales (en la medida en que las reglas de las constantes lógicas y otras reglas estructurales lo permitan).

Las proposiciones elementales (en un diálogo formal) no pueden ser atacadas. [nota 5]

RS5 (Ganancia y fin de una jugada )

El juego termina cuando a un jugador le toca hacer un movimiento pero no le quedan más movimientos disponibles. Ese jugador pierde y el otro jugador gana.

Validez e inferencias válidas

La noción de ganar una jugada no es suficiente para generar la noción de inferencia o de validez lógica.

En el siguiente ejemplo, la tesis no es válida, por supuesto. Sin embargo, P gana porque O eligió mal. De hecho, O pierde la partida, ya que las reglas estructurales no le permiten desafiar dos veces la misma jugada.

En la jugada 0, P enuncia la tesis. En la jugada 2, O desafía la tesis al pedirle a P que enuncie el componente correcto de la conjunción – la notación "[n]" indica el número de la jugada cuestionada. En la jugada 3, O desafía la "implicación" al conceder el antecedente. P responde a este desafío al enunciar el consecuente de la proposición A recién concedida y, dado que no hay otras jugadas posibles para O , P gana.

Obviamente hay otra jugada donde gana O , es decir, pedir el lado izquierdo de la conjunción.

Dualmente, una tesis válida puede perderse porque P , en esta ocasión, hace la elección equivocada. En el siguiente ejemplo, P pierde la partida (jugada según las reglas intuicionistas) al elegir el lado izquierdo de la disyunción A ∨(A⊃A), ya que la regla intuicionista SR 2i le impide volver atrás y revisar su elección:

Por lo tanto, ganar una obra no garantiza su validez. Para poder enmarcar la noción de validez en el marco dialógico, necesitamos definir qué es una estrategia ganadora. De hecho, hay varias maneras de hacerlo. Para simplificar la presentación, ofreceremos una variación de Felscher (1985), pero a diferencia de su enfoque, no transformaremos los diálogos en cuadros, sino que mantendremos la distinción entre la obra (un diálogo) y el árbol de obras que constituyen una estrategia ganadora.

Estrategia ganadora

En la lógica dialógica , la validez se define en relación con las estrategias ganadoras para el proponente P.

  1. S tiene el movimiento P A como nodo raíz (con profundidad 0),
  2. Si el nodo es un movimiento O (es decir, si la profundidad de un nodo es impar), entonces tiene exactamente un nodo sucesor (que es un movimiento P ),
  3. Si el nodo es un movimiento P (es decir, si la profundidad de un nodo es par), entonces tiene tantos nodos sucesores como movimientos posibles para O en esta posición.

Las ramas se introducen mediante las decisiones de O , como cuando desafía una conjunción o cuando defiende una disyunción.

Estrategias ganadoras finitas

Las estrategias ganadoras para fórmulas sin cuantificadores son siempre árboles finitos, mientras que las estrategias ganadoras para fórmulas de primer orden pueden, en general, ser árboles de un número infinito de ramas finitas (cada rama es una jugada).

Por ejemplo, si un jugador enuncia un cuantificador universal, cada elección del adversario desencadena una jugada diferente. En el siguiente ejemplo, la tesis es una existencial que desencadena infinitas ramificaciones, cada una de ellas constituida por una elección de P :

Las estrategias ganadoras infinitas para P se pueden evitar introduciendo alguna restricción basada en el siguiente razonamiento

Esto da lugar a las siguientes restricciones:

  1. Si la profundidad de un nodo n es tal que P declaró un universal en n , y si entre las posibles elecciones para O puede elegir un nuevo término, entonces este movimiento cuenta como el único nodo sucesor inmediato de n .
  2. Si la profundidad de un nodo n es impar tal que O enuncia un existencial en n , y si entre las posibles opciones para O puede elegir un nuevo término, entonces este movimiento cuenta como el único nodo sucesor inmediato de m, es decir, el nodo donde P lanzó el ataque a n . [2]
  3. Si es P quien tiene la elección, entonces sólo se conservará una de las jugadas desencadenadas por la elección.

Las reglas de significado local y global más la noción de estrategia ganadora mencionada anteriormente establecen la concepción dialógica de la lógica clásica e intuicionista.

A continuación se presenta un ejemplo de una estrategia ganadora para una tesis válida en lógica clásica y no válida en lógica intuicionista.

P tiene una estrategia ganadora ya que la SR 2c le permite defenderse dos veces del desafío existencial. Esto le permite además defenderse en la jugada 8 contra el desafío lanzado por el oponente en la jugada 5.

La regla intuicionista SR 2i no permite defender dos veces y, en consecuencia, no existe una estrategia ganadora para P :

Desarrollos futuros

Shahid Rahman (primero en la Universität des Saarlandes , luego en la Université de Lille ) [3] y colaboradores en Saarbrücken y Lille desarrollaron la lógica dialógica en un marco general para el estudio histórico y sistemático de varias formas de inferencias y lógicas no clásicas como la lógica libre , [4] lógica modal (normal y no normal) , [5] lógica híbrida , [6] lógica modal de primer orden, [7] lógica paraconsistente , [8] lógica lineal , lógica de relevancia , [9] lógica conectiva , [10] revisión de creencias , [11] teoría de la argumentación y razonamiento legal.

La mayor parte de estos desarrollos son resultado del estudio de las consecuencias semánticas y epistemológicas de la modificación de las reglas estructurales y/o de las constantes lógicas. De hecho, muestran cómo implementar la concepción dialógica de las reglas estructurales para la inferencia , como el debilitamiento y la contracción . [nota 6]

Publicaciones posteriores muestran cómo desarrollar diálogos materiales (es decir, diálogos basados ​​en lenguajes completamente interpretados) que no sean diálogos restringidos a la validez lógica . [nota 7] Este nuevo enfoque de los diálogos con contenido, llamado razonamiento inmanente , [12] es uno de los resultados de la perspectiva dialógica en la teoría de tipos constructivos de Per Martin-Löf . Entre los resultados más destacados del razonamiento inmanente se encuentran: la elucidación del papel de la dialéctica en la teoría del silogismo de Aristóteles , [13] la reconstrucción de la lógica y la argumentación dentro de la tradición árabe, [14] y la formulación de diálogos cooperativos para el razonamiento jurídico [15] y más generalmente para el razonamiento por paralelismo y analogía. [16]

Notas

  1. ^ Esta formulación puede verse como un vínculo entre la perspectiva de Robert Brandom y la de la lógica del diálogo. Véase Mathieu Marion (2009). [ cita completa requerida ] Para un análisis de lo que tienen en común y lo que distingue a ambos enfoques, véase Rahman et al. (2018).
  2. ^ Aquí el término juego es sinónimo de diálogo para subrayar el hecho de que el juego es la noción fundamental del marco dialógico.
  3. ^ Los desafíos que aún no han sido respondidos se denominan abiertos . En este contexto, un ataque a una negación siempre permanecerá abierto, ya que, según su regla de significado local, no hay defensa ante un ataque a una negación. Sin embargo, existe una variante de la regla para el significado local, donde la defensa consiste en afirmar falsum ⊥ . En el marco dialógico, el jugador que afirma falsum declara que se rinde.
  4. ^ Nótese que, dado que según la regla intuicionista RS2i, los jugadores solo pueden defender el último ataque abierto, no es necesario aplicar restricciones a las defensas. Felscher (1985) y Piecha (2015) después de él, no restringieron el número de ataques. Esto desencadena jugadas infinitas. Las restricciones en el número de ataques y defensas se conocen como rangos de repetición . El estudio más completo de los rangos de repetición ha sido desarrollado por Clerbout (2014).
  5. ^ Una variante útil permite a O desafiar proposiciones elementales. P se defiende del ataque con la indicación sic n , es decir, ''ya enunciaste esta proposición en tu movimiento n''. Marion llamó a esta variante la regla socrática ; véase Marion/Rückert (2015). [ cita completa requerida ]
  6. ^ Esto también se ha estudiado en el contexto de diálogos cooperativos para la búsqueda de reglas estructurales; véase Keiff (2007). [ cita completa necesaria ] Estos resultados parecen haber pasado desapercibidos en Dutilh Novaes y French (2018).
  7. ^ Estas publicaciones responden a críticas antiguas y nuevas a la lógica dialógica, como las de Dutilh Novaes (2015) y Hodges (2001).

Referencias

  1. ^ Clerbout, Nicolas; McConaughey, Zoe (2022), "Dialogical Logic", en Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de primavera de 2022), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 19 de febrero de 2022
  2. ^ Por ejemplo:
    • Clerbout, N. (2014). La sémántica dialogica. Nociones fundamentales y elementos de metateoría . Cahiers de Logique et d'Epistemologie. vol. 21. Londres: Publicaciones universitarias. ISBN 978-1-84890-153-7.
    • Piecha, T.; Muhammad, I. "Lógica dialógica". La enciclopedia de filosofía en Internet .
    • Rahman, S.; Klev, A.; McConaughey, Z.; Clerbout, N. (2018). Razonamiento inmanente o igualdad en acción. Un juego de mesa para el nivel de juego . Dordrecht: Springer.
  3. ^ Rahman, Shahid (2018). "Currículo vitae de Shahid Rahman" . Consultado el 17 de junio de 2019 .
  4. ^ Por ejemplo:
    • Rahman, S.; Fishmann, M.; Rückert, H. (1997). "Sobre diálogos y ontología. El enfoque dialógico de la lógica libre". Logique et Analyse . 160 : 357–374.
    • Rahman, S. (2010). "Dominios ontológicos de Hugh MacColl". Kairós. Revista de Filosofía y Ciencia . 1 : 7–24.
    • Rahman, S.; Fontaine, M. (2014). "Hacia una semántica para la teoría artefactual de la ficción y más allá" (PDF) . Synthese . 191 (3): 499–516. doi :10.1007/s11229-013-0287-z. S2CID  43292666.
  5. ^ Rahman, S.; Rückert, H. (1999). "Dialogische Modallogik (para T, B, S4 y S5)". Lógica y análisis . 42 (167/168): 243–282. JSTOR  44084659.
  6. ^ Rahman, S.; Damián, L.; Gorisse, MH (2004). "La dialogique temporelle ou Patrick Blackburn par lui même". Filosofía científica . 8 (2): 39–59.
  7. ^ Rahman, S.; Clerbout, N.; Gorisse, MH (2011). "Sensibilidad contextual en la filosofía jainista. Un estudio dialógico del comentario de Siddharsigani sobre el Manual de lógica". Revista de lógica filosófica . 40 (5): 633–662. doi :10.1007/s10992-010-9164-0. hdl : 1854/LU-4264208 . S2CID  2034776.
  8. ^ Por ejemplo:
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    • Rahman, S. (2001). "Sobre la pesadilla de Frege. Una combinación de lógicas intuicionistas, libres y paraconsistentes". En Wansing, H. (ed.). Ensayos sobre lógica no clásica . Nueva Jersey, Londres, Singapur, Hong Kong: World Scientific. págs. 61–85.
    • Barrio, E.; Clerbout, N.; Rahman, S. (2018). "Introducción de la consistencia en un marco dialógico para la lógica paraconsistente". Revista de lógica de la IGPL . 28 (5): 953–972. doi :10.1093/jigpal/jzy069.
  9. ^ Rahman, S. (2012). "Negación en la lógica de implicación de primer grado y Tonk. Un estudio dialógico". En Rahman., S.; Primiero., G.; Marion, M. (eds.). (Anti)Realismo. El debate realismo-realismo en la era de las lógicas alternativas . Dordrecht: Springer. págs. 175–202.
  10. ^ Rahman, S.; Rückert, H. (2001). "Lógica conexiva dialógica". Síntesis . 125 (1–2): 105–139. doi :10.1023/A:1010351931769. S2CID  207637306.
  11. ^ Rahman, S.; Fiutek, V.; Rückert, H. (2010). "Una semántica dialógica para la revisión del sistema de creencias de Bonanno". En Bour, P. (ed.). Construcciones . Londres: College Publications. págs. 315–334.
  12. ^ Por ejemplo:
    • Rahman, S.; Jovanovic, R.; Clerbout, N. (2015). "La interpretación dialógica de la demostración del axioma de elección de Martin-Löf". Revista Sudamericana de Lógica . 1 (1): 179–208.
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    • Rahman, S.; Klev, A.; McConaughey, Z.; Clerbout, N. (2018). Razonamiento inmanente y el enfoque dialógico de la teoría de tipos constructivos. Un juego de mesa para el nivel de juego . Dordrecht: Springer.
  13. ^ Crubellier, M.; Marion, M.; McConaughey, Z.; Rahman, S. (2019). "Dialéctica, el dictum de omni y la ecthesis". Historia y filosofía de la lógica . 40 (3): 207–233. doi :10.1080/01445340.2019.1586623. hdl : 20.500.12210/73764 . S2CID  125413771.
  14. ^ Rahman, S.; Granström, J.; Salloum, Z. (2014). "El enfoque de Ibn Sina sobre la igualdad y la unidad" (PDF) . Ciencias y filosofía árabes . 4 (2): 297–307. doi :10.1017/S0957423914000046. S2CID  121441717.
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  16. ^ Rahman, S.; Muhammad, I. (2018). "Desarrollo del razonamiento paralelo en la jurisprudencia islámica. Significado epistémico y dialéctico dentro del sistema de inferencias correlacionales del factor causante de Abū Isḥāq al-Shīrāzī". Ciencias y filosofía árabes . 28 : 67–132. doi :10.1017/S0957423917000091. S2CID  171240078.

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