Invariancia de impulso

La invariancia de impulsos es una técnica para diseñar filtros de respuesta de impulsos infinitos (IIR) de tiempo discreto a partir de filtros de tiempo continuo en los que se muestrea la respuesta de impulso del sistema de tiempo continuo para producir la respuesta de impulso del sistema de tiempo discreto. La respuesta de frecuencia del sistema de tiempo discreto será una suma de copias desplazadas de la respuesta de frecuencia del sistema de tiempo continuo; si el sistema de tiempo continuo está aproximadamente limitado en banda a una frecuencia menor que la frecuencia de Nyquist del muestreo, entonces la respuesta de frecuencia del sistema de tiempo discreto será aproximadamente igual a esta para frecuencias inferiores a la frecuencia de Nyquist.

Discusión

La respuesta al impulso del sistema de tiempo continuo, , se muestrea con un período de muestreo para producir la respuesta al impulso del sistema de tiempo discreto, . ${\displaystyle h_{c}(t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h[n]}$

${\displaystyle h[n]=Th_{c}(nT)\,}$

Por lo tanto, las respuestas de frecuencia de los dos sistemas están relacionadas por

${\displaystyle H(e^{j\omega })={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{TH_{c}\left(j{\frac {\omega }{T}}+j{\frac {2{\pi }}{T}}k\right)}\,}$

Si el filtro de tiempo continuo está aproximadamente limitado en banda (es decir, cuando ), entonces la respuesta de frecuencia del sistema de tiempo discreto será aproximadamente la respuesta de frecuencia del sistema de tiempo continuo para frecuencias inferiores a π radianes por muestra (por debajo de la frecuencia de Nyquist 1/(2 T ) Hz): ${\displaystyle H_{c}(j\Omega )<\delta }$ ${\displaystyle |\Omega |\geq \pi /T}$

${\displaystyle H(e^{j\omega })=H_{c}(j\omega /T)\,}$para ${\displaystyle |\omega |\leq \pi \,}$

Comparación con la transformada bilineal

Tenga en cuenta que se producirá aliasing, incluido el aliasing por debajo de la frecuencia de Nyquist en la medida en que la respuesta del filtro de tiempo continuo sea distinta de cero por encima de esa frecuencia. La transformación bilineal es una alternativa a la invariancia de impulsos que utiliza un mapeo diferente que mapea la respuesta de frecuencia del sistema de tiempo continuo, hasta una frecuencia infinita, en el rango de frecuencias hasta la frecuencia de Nyquist en el caso de tiempo discreto, en lugar de mapear frecuencias linealmente con superposición circular como lo hace la invariancia de impulsos.

Efecto sobre los polos en el funcionamiento del sistema

Si los polos continuos en , la función del sistema se puede escribir en expansión de fracciones parciales como ${\displaystyle s=s_{k}}$

${\displaystyle H_{c}(s)=\sum _{k=1}^{N}{\frac {A_{k}}{s-s_{k}}}\,}$

Por lo tanto, utilizando la transformada inversa de Laplace, la respuesta al impulso es

${\displaystyle h_{c}(t)={\begin{cases}\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}t}},&t\geq 0\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

La respuesta al impulso del sistema de tiempo discreto correspondiente se define entonces como sigue:

${\displaystyle h[n]=Th_{c}(nT)\,}$

${\displaystyle h[n]=T\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}nT}u[n]}\,}$

Al realizar una transformada z en la respuesta al impulso de tiempo discreto se produce la siguiente función del sistema de tiempo discreto

${\displaystyle H(z)=T\sum _{k=1}^{N}{\frac {A_{k}}{1-e^{s_{k}T}z^{-1}}}\,}$

Por lo tanto, los polos de la función del sistema de tiempo continuo se traducen a polos en z = e ^{s _k T} . Los ceros, si los hay, no se asignan de manera tan simple. ^{[ aclaración necesaria ]}

Polos y ceros

Si la función del sistema tiene ceros además de polos, se pueden mapear de la misma manera, pero el resultado ya no es un resultado de invariancia de impulso: la respuesta al impulso en tiempo discreto no es igual simplemente a muestras de la respuesta al impulso en tiempo continuo. Este método se conoce como el método de transformada Z adaptada o mapeo polo-cero.

Estabilidad y causalidad

Dado que los polos en el sistema de tiempo continuo en s = s _k se transforman en polos en el sistema de tiempo discreto en z = exp( s _k T ), los polos en la mitad izquierda del plano s se asignan al interior del círculo unitario en el plano z ; por lo tanto, si el filtro de tiempo continuo es causal y estable, entonces el filtro de tiempo discreto también será causal y estable.

Fórmula corregida

Cuando una respuesta de impulso causal de tiempo continuo tiene una discontinuidad en , las expresiones anteriores no son consistentes. ^[1] Esto se debe a que tiene límites derecho e izquierdo diferentes, y realmente solo debería contribuir con su promedio, la mitad de su valor derecho , a . ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle h_{c}(0)}$ ${\displaystyle h_{c}(0_{+})}$ ${\displaystyle h[0]}$

Al hacer esta corrección se obtiene

${\displaystyle h[n]=T\left(h_{c}(nT)-{\frac {1}{2}}h_{c}(0_{+})\delta [n]\right)\,}$

${\displaystyle h[n]=T\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}nT}}\left(u[n]-{\frac {1}{2}}\delta [n]\right)\,}$

Al realizar una transformada z en la respuesta al impulso de tiempo discreto se produce la siguiente función del sistema de tiempo discreto

${\displaystyle H(z)=T\sum _{k=1}^{N}{{\frac {A_{k}}{1-e^{s_{k}T}z^{-1}}}-{\frac {T}{2}}\sum _{k=1}^{N}A_{k}}.}$

La segunda suma es cero para los filtros sin discontinuidad, por lo que ignorarla suele ser seguro.

Véase también

• Transformación bilineal
• Método de transformación Z adaptada

Referencias

1. Jackson, LB (1 de octubre de 2000). "Una corrección a la invariancia del impulso". IEEE Signal Processing Letters . 7 (10): 273–275. Bibcode :2000ISPL....7..273J. doi :10.1109/97.870677. ISSN  1070-9908.

Otras fuentes

• Oppenheim, Alan V. y Schafer, Ronald W. con Buck, John R. Procesamiento de señales en tiempo discreto. Segunda edición. Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice-Hall, 1999.
• Sahai, Anant. Clase magistral. Ingeniería eléctrica 123: Procesamiento de señales digitales. Universidad de California, Berkeley. 5 de abril de 2007.
• Eitelberg, Ed. "Invariancia de convolución e invariancia de impulso corregida". Procesamiento de señales, vol. 86, número 5, págs. 1116-1120. 2006

Enlaces externos

• Transformada invariante de impulso en CircuitDesign.info Breve explicación, un ejemplo y aplicación a los ADC Sigma Delta de tiempo continuo .