Un axioma P es independiente si no hay otros axiomas Q tales que Q implique P.
En muchos casos se desea la independencia, ya sea para llegar a la conclusión de un conjunto reducido de axiomas, o para poder reemplazar un axioma independiente para crear un sistema más conciso (por ejemplo, el postulado de las paralelas es independiente de otros axiomas de la geometría euclidiana , y proporciona resultados interesantes cuando se niega o se reemplaza).
Si los axiomas originales Q no son consistentes , entonces ningún axioma nuevo es independiente. Si son consistentes, entonces P puede demostrarse independiente de ellos si al añadirles P, o al añadir la negación de P, ambos producen conjuntos consistentes de axiomas. [1] Por ejemplo, los axiomas de Euclides que incluyen el postulado de las paralelas producen geometría euclidiana, y con el postulado de las paralelas negado, producen geometría no euclidiana . Por ejemplo, geometría elíptica (sin paralelas) y geometría hiperbólica (muchas paralelas). Tanto la geometría elíptica como la hiperbólica son sistemas consistentes, lo que demuestra que el postulado de las paralelas es independiente de los otros axiomas. [2]
Demostrar independencia suele ser muy difícil. La imposición es una técnica que se utiliza habitualmente. [3]