Momento flector

Fuerza que tiende a doblar un elemento estructural

Diagrama de esfuerzo cortante y momento para una viga simplemente apoyada con una carga concentrada en la mitad del tramo.

En mecánica de sólidos , un momento flector es la reacción inducida en un elemento estructural cuando se aplica una fuerza o momento externo al elemento, lo que hace que el elemento se doble . ^{[1] [2]} El elemento estructural más común o más simple sometido a momentos flectores es la viga . El diagrama muestra una viga que está simplemente apoyada (libre de girar y, por lo tanto, carente de momentos flectores) en ambos extremos; los extremos solo pueden reaccionar a las cargas cortantes . Otras vigas pueden tener ambos extremos fijos (conocidas como vigas encastradas); por lo tanto, cada soporte de extremo tiene momentos flectores y cargas de reacción cortantes. Las vigas también pueden tener un extremo fijo y un extremo simplemente apoyado. El tipo de viga más simple es el voladizo , que está fijo en un extremo y es libre en el otro extremo (ni simple ni fijo). En realidad, los soportes de vigas no suelen estar absolutamente fijos ni girar absolutamente libremente.

Las cargas de reacción interna en una sección transversal del elemento estructural se pueden descomponer en una fuerza resultante y un par resultante . ^[3] Para el equilibrio, el momento creado por fuerzas/momentos externos debe equilibrarse con el par inducido por las cargas internas. El par interno resultante se denomina momento flector, mientras que la fuerza interna resultante se denomina fuerza cortante (si es transversal al plano del elemento) o fuerza normal (si está a lo largo del plano del elemento). La fuerza normal también se denomina fuerza axial.

El momento de flexión en una sección de un elemento estructural puede definirse como la suma de los momentos de todas las fuerzas externas que actúan sobre esa sección en un lado de esa sección. Las fuerzas y los momentos en ambos lados de la sección deben ser iguales para contrarrestarse entre sí y mantener un estado de equilibrio , de modo que el mismo momento de flexión resultará de la suma de los momentos, independientemente de qué lado de la sección se seleccione. Si los momentos de flexión en el sentido de las agujas del reloj se toman como negativos, entonces un momento de flexión negativo dentro de un elemento provocará " desplazamiento ", y un momento positivo provocará " flexión ". Por lo tanto, está claro que un punto de momento de flexión cero dentro de una viga es un punto de contraflexión , es decir, el punto de transición del desplazamiento al desplazamiento o viceversa.

Los momentos y pares de torsión se miden como una fuerza multiplicada por una distancia, por lo que su unidad es el newton-metro (N·m) o la libra-pie (lb·ft). El concepto de momento flector es muy importante en ingeniería (particularmente en ingeniería civil y mecánica ) y física .

Fondo

Las tensiones de tracción y compresión aumentan proporcionalmente con el momento de flexión, pero también dependen del segundo momento del área de la sección transversal de una viga (es decir, la forma de la sección transversal, como un círculo, un cuadrado o una viga en I, que son formas estructurales comunes). La falla en flexión se producirá cuando el momento de flexión sea suficiente para inducir tensiones de tracción/compresión mayores que la tensión de fluencia del material en toda la sección transversal. En el análisis estructural, esta falla por flexión se denomina articulación plástica, ya que la capacidad de carga total del elemento estructural no se alcanza hasta que la sección transversal completa supera la tensión de fluencia. Es posible que la falla de un elemento estructural en corte pueda ocurrir antes de la falla en flexión, sin embargo, la mecánica de la falla en corte y en flexión es diferente.

Los momentos se calculan multiplicando las fuerzas vectoriales externas (cargas o reacciones) por la distancia vectorial en la que se aplican. Al analizar un elemento completo, es conveniente calcular los momentos en ambos extremos del elemento, al principio, en el centro y en el final de cualquier carga uniformemente distribuida, y directamente debajo de cualquier carga puntual. Por supuesto, las "uniones de pasador" dentro de una estructura permiten la rotación libre, por lo que el momento es cero en estos puntos, ya que no hay forma de transmitir fuerzas de giro de un lado al otro.

Es más común utilizar la convención de que un momento de flexión en el sentido de las agujas del reloj a la izquierda del punto en consideración se considera positivo. Esto corresponde entonces a la segunda derivada de una función que, cuando es positiva, indica una curvatura que es "más baja en el centro", es decir, combada. Al definir momentos y curvaturas de esta manera, el cálculo se puede utilizar más fácilmente para encontrar pendientes y deflexiones.

Los valores críticos dentro de la viga se anotan más comúnmente utilizando un diagrama de momento flector , donde los momentos negativos se trazan a escala sobre una línea horizontal y los positivos debajo. El momento flector varía linealmente sobre secciones sin carga y parabólicamente sobre secciones con carga uniforme.

Las descripciones de ingeniería sobre el cálculo de los momentos de flexión pueden ser confusas debido a convenciones de signos no explicadas y suposiciones implícitas. Las descripciones a continuación utilizan la mecánica vectorial para calcular los momentos de fuerza y ​​los momentos de flexión en un intento de explicar, a partir de los primeros principios, por qué se eligen convenciones de signos particulares.

Calcular el momento de fuerza

Cálculo del momento de fuerza en una viga.

Una parte importante de la determinación de momentos de flexión en problemas prácticos es el cálculo de momentos de fuerza. Sea un vector de fuerza que actúa en un punto A de un cuerpo. El momento de esta fuerza respecto de un punto de referencia ( O ) se define como ^[2] ${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$

donde es el vector momento y es el vector posición desde el punto de referencia ( O ) hasta el punto de aplicación de la fuerza ( A ). El símbolo indica el producto vectorial. Para muchos problemas, es más conveniente calcular el momento de fuerza sobre un eje que pasa por el punto de referencia O . Si el vector unitario a lo largo del eje es , el momento de fuerza sobre el eje se define como ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle M=\mathbf {e} \cdot \mathbf {M} =\mathbf {e} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {F} )}$

donde indica el producto escalar del vector . ${\displaystyle \cdot }$

Ejemplo

La figura adyacente muestra una viga sobre la que actúa una fuerza . Si el sistema de coordenadas está definido por los tres vectores unitarios , tenemos lo siguiente ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =0\,\mathbf {e} _{x}-F\,\mathbf {e} _{y}+0\,\mathbf {e} _{z}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {r} =x\,\mathbf {e} _{x}+0\,\mathbf {e} _{y}+0\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\x&0&0\\0&-F&0\end{matrix}}\right|=-Fx\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

El momento sobre el eje es entonces ${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$

${\displaystyle M_{z}=\mathbf {e} _{z}\cdot \mathbf {M} =-Fx\,.}$

Convenciones de signos

El valor negativo sugiere que un momento que tiende a rotar un cuerpo en el sentido de las agujas del reloj alrededor de un eje debería tener un signo negativo . Sin embargo, el signo real depende de la elección de los tres ejes . Por ejemplo, si elegimos otro sistema de coordenadas de mano derecha con , tenemos ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{x}=\mathbf {e} _{x},\mathbf {E} _{y}=-\mathbf {e} _{z},\mathbf {E} _{z}=\mathbf {e} _{y}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =0\,\mathbf {E} _{x}+0\,\mathbf {E} _{y}-F\,\mathbf {E} _{z}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {r} =x\,\mathbf {E} _{x}+0\,\mathbf {E} _{y}+0\,\mathbf {E} _{z}\,.}$

Entonces,

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {E} _{x}&\mathbf {E} _{y}&\mathbf {E} _{z}\\x&0&0\\0&0&-F\end{matrix}}\right|=Fx\,\mathbf {E} _{y}\quad {\text{and}}\quad M_{y}=\mathbf {E} _{y}\cdot \mathbf {M} =Fx\,.}$

Para esta nueva elección de ejes, un momento positivo tiende a girar el cuerpo en el sentido de las agujas del reloj alrededor de un eje.

Cálculo del momento flector

En un cuerpo rígido o en un cuerpo deformable sin restricciones, la aplicación de un momento de fuerza provoca una rotación pura. Pero si un cuerpo deformable está restringido, desarrolla fuerzas internas en respuesta a la fuerza externa de modo que se mantiene el equilibrio. En la figura siguiente se muestra un ejemplo. Estas fuerzas internas provocarán deformaciones locales en el cuerpo.

Para el equilibrio, la suma de los vectores de fuerza interna es igual al negativo de la suma de las fuerzas externas aplicadas, y la suma de los vectores de momento creados por las fuerzas internas es igual al negativo del momento de la fuerza externa. Los vectores de fuerza interna y momento están orientados de tal manera que la fuerza total (interna + externa) y el momento (externo + interno) del sistema es cero. El vector de momento interno se denomina momento flector . ^[1]

Aunque los momentos de flexión se han utilizado para determinar los estados de tensión en estructuras de formas arbitrarias, la interpretación física de las tensiones calculadas es problemática. Sin embargo, las interpretaciones físicas de los momentos de flexión en vigas y placas tienen una interpretación sencilla como las tensiones resultantes en una sección transversal del elemento estructural. Por ejemplo, en una viga de la figura, el vector de momento de flexión debido a las tensiones en la sección transversal A perpendicular al eje x está dado por

${\displaystyle \mathbf {M} _{x}=\int _{A}\mathbf {r} \times (\sigma _{xx}\mathbf {e} _{x}+\sigma _{xy}\mathbf {e} _{y}+\sigma _{xz}\mathbf {e} _{z})\,dA\quad {\text{where}}\quad \mathbf {r} =y\,\mathbf {e} _{y}+z\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Ampliando esta expresión tenemos,

${\displaystyle \mathbf {M} _{x}=\int _{A}\left(-y\sigma _{xx}\mathbf {e} _{z}+y\sigma _{xz}\mathbf {e} _{x}+z\sigma _{xx}\mathbf {e} _{y}-z\sigma _{xy}\mathbf {e} _{x}\right)dA=:M_{xx}\,\mathbf {e} _{x}+M_{xy}\,\mathbf {e} _{y}+M_{xz}\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Definimos los componentes del momento flector como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{xx}\\M_{xy}\\M_{xz}\end{bmatrix}}:=\int _{A}{\begin{bmatrix}y\sigma _{xz}-z\sigma _{xy}\\z\sigma _{xx}\\-y\sigma _{xx}\end{bmatrix}}\,dA\,.}$

Los momentos internos se calculan sobre un origen que está en el eje neutro de la viga o placa y la integración es a través del espesor ( ) ${\displaystyle h}$

Ejemplo

Cálculo del momento flector en una viga.

En la viga que se muestra en la figura adyacente, las fuerzas externas son la fuerza aplicada en el punto A ( ) y las reacciones en los dos puntos de apoyo O y B ( y ). Para esta situación, el único componente distinto de cero del momento flector es ${\displaystyle -F\mathbf {e} _{y}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{O}=R_{O}\mathbf {e} _{y}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{B}=R_{B}\mathbf {e} _{y}}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=-\left[\int _{z}\left[\int _{0}^{h}y\,\sigma _{xx}\,dy\right]\,dz\right]\mathbf {e} _{z}\,.}$

donde es la altura en la dirección de la viga. Se incluye el signo menos para cumplir con la convención de signos. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle y}$

Para calcular , comenzamos equilibrando las fuerzas, lo que da una ecuación con las dos reacciones desconocidas, ${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}}$

${\displaystyle R_{O}+R_{B}-F=0\,.}$

Para obtener cada reacción se requiere una segunda ecuación. Balancear los momentos respecto a cualquier punto arbitrario X nos daría una segunda ecuación que podemos usar para resolver y en términos de . Balancear respecto al punto O es lo más simple, pero balanceemos respecto al punto A solo para ilustrar el punto, es decir ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{B}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle -\mathbf {r} _{A}\times \mathbf {R} _{O}+(\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A})\times \mathbf {R} _{B}=\mathbf {0} \,.}$

Si es la longitud de la viga, tenemos ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=x_{A}\mathbf {e} _{x}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {r} _{B}=L\mathbf {e} _{x}\,.}$

Evaluación de los productos cruzados:

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\-x_{A}&0&0\\0&R_{0}&0\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\L-x_{A}&0&0\\0&R_{B}&0\end{matrix}}\right|=-x_{A}R_{0}\,\mathbf {e} _{z}+(L-x_{A})R_{B}\,\mathbf {e} _{z}=0\,.}$

Si resolvemos las reacciones tenemos

${\displaystyle R_{O}=\left(1-{\frac {x_{A}}{L}}\right)F\quad {\text{and}}\quad R_{B}={\frac {x_{A}}{L}}\,F\,.}$

Ahora, para obtener el momento flector interno en X, sumamos todos los momentos alrededor del punto X debidos a todas las fuerzas externas a la derecha de X (en el lado positivo ), y solo hay una contribución en este caso, ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=(\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{X})\times \mathbf {R} _{B}=\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\L-x&0&0\\0&R_{B}&0\end{matrix}}\right|={\frac {Fx_{A}}{L}}(L-x)\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Podemos comprobar esta respuesta mirando el diagrama de cuerpo libre y la parte de la viga a la izquierda del punto X , y el momento total debido a estas fuerzas externas es

${\displaystyle \mathbf {M} =(\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{X})\times \mathbf {F} +(-\mathbf {r} _{X})\times \mathbf {R} _{O}=\left[(x_{A}-x)\mathbf {e} _{x}\right]\times \left(-F\mathbf {e} _{y}\right)+\left(-x\mathbf {e} _{x}\right)\times \left(R_{O}\mathbf {e} _{y}\right)\,.}$

Si calculamos los productos cruzados, tenemos

${\displaystyle \mathbf {M} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\x_{A}-x&0&0\\0&-F&0\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\-x&0&0\\0&R_{0}&0\end{matrix}}\right|=F(x-x_{A})\,\mathbf {e} _{z}-R_{0}x\,\mathbf {e} _{z}=-{\frac {Fx_{A}}{L}}(L-x)\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Gracias al equilibrio, el momento flector interno debido a las fuerzas externas a la izquierda de X debe equilibrarse exactamente con la fuerza de giro interna obtenida al considerar la parte de la viga a la derecha de X.

${\displaystyle \mathbf {M} +\mathbf {M} _{xz}=\mathbf {0} \,.}$

lo cual es claramente el caso.

Convención de signos

En la discusión anterior, se supone implícitamente que el momento de flexión es positivo cuando la parte superior de la viga está comprimida. Esto se puede ver si consideramos una distribución lineal de la tensión en la viga y encontramos el momento de flexión resultante. Dejemos que la parte superior de la viga esté en compresión con una tensión y que la parte inferior de la viga tenga una tensión . Entonces, la distribución de la tensión en la viga es . El momento de flexión debido a estas tensiones es ${\displaystyle -\sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{xx}(y)=-y\sigma _{0}}$

${\displaystyle M_{xz}=-\left[\int _{z}\int _{-h/2}^{h/2}y\,(-y\sigma _{0})\,dy\,dz\right]=\sigma _{0}\,I}$

donde es el momento de inercia del área de la sección transversal de la viga. Por lo tanto, el momento de flexión es positivo cuando la parte superior de la viga está en compresión. ${\displaystyle I}$

Muchos autores siguen una convención diferente en la que la resultante del estrés se define como ${\displaystyle M_{xz}}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=\left[\int _{z}\int _{-h/2}^{h/2}y\,\sigma _{xx}\,dy\,dz\right]\mathbf {e} _{z}\,.}$

En ese caso, los momentos de flexión positivos implican que la parte superior de la viga está en tensión. Por supuesto, la definición de parte superior depende del sistema de coordenadas que se utilice. En los ejemplos anteriores, la parte superior es la ubicación con la coordenada más grande. ${\displaystyle y}$

Véase también

• Pandeo
• Deflexión incluyendo la deflexión de una viga
• Momento de torsión
• Diagramas de esfuerzo cortante y de momento
• Resultantes de estrés
• Primer momento del área
• Línea de influencia
• Segundo momento del área
• Lista de momentos de inercia del área
• Alivio de la flexión del ala

Referencias

1. Gere, JM; Timoshenko, SP (1996), Mecánica de materiales: cuarta edición , Nelson Engineering, ISBN 0534934293
2. Beer, F.; Johnston, ER (1984), Mecánica vectorial para ingenieros: estática , McGraw Hill, págs. 62–76
3. Baker, Daniel W.; Haynes, William. Estática: Cargas internas.

Enlaces externos

• Resultantes de tensiones para vigas

• Herramientas de cálculo gratuitas en línea para el momento flector