Complemento de Schur

Herramienta en álgebra lineal y análisis matricial

El complemento de Schur de una matriz de bloques , que se encuentra en el álgebra lineal y la teoría de matrices , se define de la siguiente manera.

Supóngase que p , q son números enteros no negativos tales que p + q > 0 , y supóngase que A , B , C , D son respectivamente matrices p × p , p × q , q × p y q × q de números complejos. Sea M una matriz ( p + q ) × ( p + q ). $${\displaystyle M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]}$$

Si D es invertible, entonces el complemento de Schur del bloque D de la matriz M es la matriz p × p definida por Si A es invertible, el complemento de Schur del bloque A de la matriz M es la matriz q × q definida por En el caso de que A o D sea singular , al sustituir una inversa generalizada por las inversas en M/A y M/D se obtiene el complemento de Schur generalizado . $${\displaystyle M/D:=A-BD^{-1}C.}$$ $${\displaystyle M/A:=D-CA^{-1}B.}$$

El complemento de Schur recibe su nombre de Issai Schur ^[1], quien lo utilizó para demostrar el lema de Schur , aunque ya se había utilizado anteriormente. ^[2] Emilie Virginia Haynsworth fue la primera en llamarlo complemento de Schur . ^[3] El complemento de Schur es una herramienta clave en los campos del análisis numérico, la estadística y el análisis matricial. El complemento de Schur a veces se conoce como el mapa de Feshbach en honor al físico Herman Feshbach . ^[4]

Fondo

El complemento de Schur surge al realizar una eliminación gaussiana en bloques sobre la matriz M . Para eliminar los elementos que se encuentran debajo de la diagonal en bloques, se multiplica la matriz M por una matriz triangular inferior en bloques a la derecha de la siguiente manera: donde I _p denota una matriz identidad p × p . Como resultado, el complemento de Schur aparece en el bloque p × p superior izquierdo . $${\displaystyle {\begin{aligned}&M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\quad \to \quad {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle M/D=A-BD^{-1}C}$

Continuar el proceso de eliminación más allá de este punto (es decir, realizar una eliminación de Gauss-Jordan en bloque ), conduce a una descomposición LDU de M , que se lee Por lo tanto, la inversa de M puede expresarse involucrando D ⁻¹ y la inversa del complemento de Schur, suponiendo que existe, como La relación anterior proviene de las operaciones de eliminación que involucran D ⁻¹ y M/D . Se puede realizar una derivación equivalente con los roles de A y D intercambiados. Al igualar las expresiones para M ⁻¹ obtenidas de estas dos formas diferentes, se puede establecer el lema de inversión de matrices , que relaciona los dos complementos de Schur de M : M/D y M/A (ver "Derivación de la descomposición LDU" en Identidad matricial de Woodbury § Demostraciones alternativas ). $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}}\quad \to \quad {\begin{bmatrix}I_{p}&-BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}M&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}M^{-1}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={}&\left({\begin{bmatrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}\right)^{-1}\\={}&{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&0\\0&D^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&-BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{bmatrix}\left(M/D\right)^{-1}&-\left(M/D\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(M/D\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(M/D\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Propiedades

• Si p y q son ambos 1 (es decir, A , B , C y D son todos escalares), obtenemos la fórmula familiar para la inversa de una matriz de 2 por 2:

${\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]}$

siempre que AD  −  BC no sea cero.

• En general, si A es invertible, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}M&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&0\\CA^{-1}&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&0\\0&D-CA^{-1}B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&A^{-1}B\\0&I_{q}\end{bmatrix}},\\[4pt]M^{-1}&={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(M/A)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(M/A)^{-1}\\-(M/A)^{-1}CA^{-1}&(M/A)^{-1}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

siempre que exista esta inversa.

• (Fórmula de Schur) Cuando A , respectivamente D , son invertibles, el determinante de M también se ve claramente dado por

${\displaystyle \det(M)=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right)}$, respectivamente

${\displaystyle \det(M)=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right)}$,

que generaliza la fórmula del determinante para matrices de 2 × 2.

• (Fórmula de aditividad de rangos de Guttman) Si D es invertible, entonces el rango de M está dado por

${\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (D)+\operatorname {rank} \left(A-BD^{-1}C\right)}$

• ( Fórmula de aditividad de inercia de Haynsworth ) Si A es invertible, entonces la inercia de la matriz de bloques M es igual a la inercia de A más la inercia de M / A.
• (Identidad del cociente) . ^[5] ${\displaystyle A/B=((A/C)/(B/C))}$
• El complemento de Schur de una matriz laplaciana es también una matriz laplaciana. ^[6]

Aplicación a la resolución de ecuaciones lineales

El complemento de Schur surge naturalmente al resolver un sistema de ecuaciones lineales como ^[7]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}}$.

Suponiendo que la submatriz es invertible, podemos eliminar de las ecuaciones, de la siguiente manera. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=A^{-1}(u-By).}$

Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación obtenemos

${\displaystyle \left(D-CA^{-1}B\right)y=v-CA^{-1}u.}$

A esta ecuación la llamamos ecuación reducida que se obtiene eliminando de la ecuación original. La matriz que aparece en la ecuación reducida se denomina complemento de Schur del primer bloque en : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle S\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ D-CA^{-1}B}$.

Resolviendo la ecuación reducida, obtenemos

${\displaystyle y=S^{-1}\left(v-CA^{-1}u\right).}$

Sustituyendo esto en la primera ecuación obtenemos

${\displaystyle x=\left(A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}\right)u-A^{-1}BS^{-1}v.}$

Podemos expresar las dos ecuaciones anteriores como:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}.}$

Por lo tanto, una formulación para la inversa de una matriz de bloques es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&-A^{-1}B\\&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{-1}&\\&S^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&\\-CA^{-1}&I_{q}\end{bmatrix}}.}$

En particular, vemos que el complemento de Schur es el inverso de la entrada en bloque del inverso de . ${\displaystyle 2,2}$ ${\displaystyle M}$

En la práctica, es necesario estar bien preparado para que este algoritmo sea numéricamente preciso. ${\displaystyle A}$

Este método es útil en ingeniería eléctrica para reducir la dimensión de las ecuaciones de una red. Es especialmente útil cuando los elementos del vector de salida son cero. Por ejemplo, cuando o es cero, podemos eliminar las filas asociadas de la matriz de coeficientes sin realizar ningún cambio en el resto del vector de salida. Si es nulo, entonces la ecuación anterior para se reduce a , reduciendo así la dimensión de la matriz de coeficientes sin modificarla. Esto se utiliza con ventaja en ingeniería eléctrica, donde se lo conoce como eliminación de nodos o reducción de Kron . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=\left(A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}\right)u}$ ${\displaystyle u}$

Aplicaciones a la teoría de la probabilidad y la estadística

Supóngase que los vectores de columna aleatorios X , Y viven en R ⁿ y R ^m respectivamente, y el vector ( X , Y ) en R ^{n + m} tiene una distribución normal multivariada cuya covarianza es la matriz definida positiva simétrica

${\displaystyle \Sigma =\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right],}$

donde es la matriz de covarianza de X , es la matriz de covarianza de Y y es la matriz de covarianza entre X e Y. ${\textstyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\textstyle C\in \mathbb {R} ^{m\times m}}$ ${\textstyle B\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$

Entonces la covarianza condicional de X dado Y es el complemento de Schur de C en : ^[8] ${\textstyle \Sigma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} (X\mid Y)&=A-BC^{-1}B^{\mathrm {T} }\\\operatorname {E} (X\mid Y)&=\operatorname {E} (X)+BC^{-1}(Y-\operatorname {E} (Y))\end{aligned}}}$

Si consideramos que la matriz anterior no es una covarianza de un vector aleatorio, sino una covarianza de muestra , entonces puede tener una distribución Wishart . En ese caso, el complemento de Schur de C en también tiene una distribución Wishart. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Condiciones para la definitividad positiva y la semidefinitividad

Sea X una matriz simétrica de números reales dada por Entonces $${\displaystyle X=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right].}$$

• Si A es invertible, entonces X es definida positiva si y sólo si A y su complemento X/A son ambos definidas positivas: ^{[2] : 34}

$${\displaystyle X\succ 0\Leftrightarrow A\succ 0,X/A=C-B^{\mathrm {T} }A^{-1}B\succ 0.}$$

• Si C es invertible, entonces X es definida positiva si y solo si C y su complemento X/C son ambos definidos positivos:

$${\displaystyle X\succ 0\Leftrightarrow C\succ 0,X/C=A-BC^{-1}B^{\mathrm {T} }\succ 0.}$$

• Si A es definida positiva, entonces X es semidefinida positiva si y sólo si el complemento X/A es semidefinida positiva: ^{[2] : 34}

$${\displaystyle {\text{If }}A\succ 0,{\text{ then }}X\succeq 0\Leftrightarrow X/A=C-B^{\mathrm {T} }A^{-1}B\succeq 0.}$$

• Si C es definida positiva, entonces X es semidefinida positiva si y sólo si el complemento X/C es semidefinida positiva:

$${\displaystyle {\text{If }}C\succ 0,{\text{ then }}X\succeq 0\Leftrightarrow X/C=A-BC^{-1}B^{\mathrm {T} }\succeq 0.}$$

Las primeras y terceras afirmaciones se pueden derivar ^[7] considerando el minimizador de la cantidad como una función de v (para u fijo ). $${\displaystyle u^{\mathrm {T} }Au+2v^{\mathrm {T} }B^{\mathrm {T} }u+v^{\mathrm {T} }Cv,\,}$$

Además, dado que y de manera similar para las matrices semidefinidas positivas, la segunda (respectivamente la cuarta) declaración es inmediata a partir de la primera (respectivamente la tercera) declaración. $${\displaystyle \left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right]\succ 0\Longleftrightarrow \left[{\begin{matrix}C&B^{\mathrm {T} }\\B&A\end{matrix}}\right]\succ 0}$$

También existe una condición suficiente y necesaria para la semidefinición positiva de X en términos de un complemento de Schur generalizado. ^[2] Precisamente,

• ${\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow A\succeq 0,C-B^{\mathrm {T} }A^{g}B\succeq 0,\left(I-AA^{g}\right)B=0\,}$y
• ${\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow C\succeq 0,A-BC^{g}B^{\mathrm {T} }\succeq 0,\left(I-CC^{g}\right)B^{\mathrm {T} }=0,}$

donde denota una inversa generalizada de . ${\displaystyle A^{g}}$ ${\displaystyle A}$

Véase también

• Identidad matricial de Woodbury
• Método de cuasi-Newton
• Fórmula de aditividad de inercia de Haynsworth
• Proceso gaussiano
• Mínimos cuadrados totales

Referencias

1. Schur, J. (1917). "Über Potenzreihen die im Inneren des Einheitskreises beschränkt sind". J. reina u. angewandte Mathematik . 147 : 205–232. doi :10.1515/crll.1917.147.205.
2. Zhang, Fuzhen (2005). Zhang, Fuzhen (ed.). El complemento de Schur y sus aplicaciones . Métodos numéricos y algoritmos. Vol. 4. Springer. doi :10.1007/b105056. ISBN 0-387-24271-6.
3. Haynsworth, EV, "Sobre el complemento de Schur", Basel Mathematical Notes , #BNB 20, 17 páginas, junio de 1968.
4. Feshbach, Herman (1958). "Teoría unificada de las reacciones nucleares". Anales de Física . 5 (4): 357–390. doi :10.1016/0003-4916(58)90007-1.
5. Crabtree, Douglas E.; Haynsworth, Emilie V. (1969). "Una identidad para el complemento de Schur de una matriz". Actas de la American Mathematical Society . 22 (2): 364–366. doi : 10.1090/S0002-9939-1969-0255573-1 . ISSN  0002-9939. S2CID  122868483.
6. Devriendt, Karel (2022). "La resistencia efectiva es más que la distancia: laplacianos, simplices y el complemento de Schur". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 639 : 24–49. arXiv : 2010.04521 . doi :10.1016/j.laa.2022.01.002. S2CID  222272289.
7. Boyd, S. y Vandenberghe, L. (2004), "Optimización convexa", Cambridge University Press (Apéndice A.5.5)
8. von Mises, Richard (1964). "Capítulo VIII.9.3". Teoría matemática de la probabilidad y la estadística . Academic Press. ISBN 978-1483255385.