fórmula de larmor

Da la potencia total radiada por una carga puntual acelerada y no relativista.

Una antena Yagi-Uda . Las ondas de radio se pueden irradiar desde una antena acelerando los electrones en la antena. Este es un proceso coherente , por lo que la potencia total radiada es proporcional al cuadrado del número de electrones que aceleran.

En electrodinámica , la fórmula de Larmor se utiliza para calcular la potencia total radiada por una carga puntual no relativista a medida que acelera. Fue deducida por primera vez por JJ Larmor en 1897, ^[1] en el contexto de la teoría ondulatoria de la luz .

Cuando cualquier partícula cargada (como un electrón , un protón o un ion ) se acelera, se irradia energía en forma de ondas electromagnéticas . Para una partícula cuya velocidad es pequeña en relación con la velocidad de la luz (es decir, no relativista), la potencia total que irradia la partícula (cuando se considera como una carga puntual) se puede calcular mediante la fórmula de Larmor:

$${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c}}\right)^{2}={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}=\mu _{0}{\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi c}}{\text{ (SI units)}}}$$

$${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\text{ (cgs units)}}}$$

potenciales de Liénard-Wiechert ${\displaystyle {\dot {v}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle c}$

En cualquier sistema unitario, la potencia radiada por un solo electrón se puede expresar en términos del radio y la masa del electrón clásicos como:

$${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}}$$

Una implicación es que un electrón que orbita alrededor de un núcleo, como en el modelo de Bohr , debería perder energía, caer al núcleo y el átomo colapsar. Este enigma no se resolvió hasta que se introdujo la teoría cuántica .

Derivación

Derivación 1: Enfoque matemático (usando unidades CGS)

Primero necesitamos encontrar la forma de los campos eléctrico y magnético. Los campos se pueden escribir (para una derivación más completa, consulte Potencial de Liénard-Wiechert )

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right)_{\text{ret}}+{\frac {q}{c}}\left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\text{ret}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,}$$

ctiempo retrasado ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}}$ ${\displaystyle t_{\text{r}}=t-R/c}$

El lado derecho es la suma de los campos eléctricos asociados con la velocidad y la aceleración de la partícula cargada. El campo de velocidad depende sólo de, mientras que el campo de aceleración depende de ambos y de la relación angular entre los dos. Como el campo de velocidades es proporcional a , disminuye muy rápidamente con la distancia. Por otro lado, el campo de aceleración es proporcional a , lo que significa que disminuye más lentamente con la distancia. Debido a esto, el campo de aceleración es representativo del campo de radiación y es responsable de alejar la mayor parte de la energía de la carga. ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$ ${\displaystyle 1/R^{2}}$ ${\displaystyle 1/R}$

Podemos encontrar la densidad de flujo de energía del campo de radiación calculando su vector de Poynting :

$${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}},}$$

$${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .}$$

Si hacemos que el ángulo entre la aceleración y el vector de observación sea igual a e introducimos la aceleración , entonces la potencia radiada por unidad de ángulo sólido es ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\boldsymbol {\beta }}}c}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a^{2}}{c^{2}}}.}$$

La potencia total radiada se encuentra integrando esta cantidad sobre todos los ángulos sólidos (es decir, sobre y ). Esto da ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},}$$

Generalización relativista

forma covariante

Escrita en términos de impulso, p , la fórmula no relativista de Larmor es (en unidades CGS) ^[2]

$${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}.}$$

Se puede demostrar que la potencia P es invariante de Lorentz . ^[2] Por lo tanto, cualquier generalización relativista de la fórmula de Larmor debe relacionar P con alguna otra cantidad invariante de Lorentz. La cantidad que aparece en la fórmula no relativista sugiere que la fórmula relativistamente correcta debería incluir el escalar de Lorentz encontrado tomando el producto interno de las cuatro aceleraciones a ^μ = dp ^μ / dτ consigo mismo [aquí p ^μ = ( γmc , γm v ) es el cuatro impulso ]. La generalización relativista correcta de la fórmula de Larmor es (en unidades CGS) ^[2] ${\displaystyle |{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}}$

${\displaystyle P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}.}$

Se puede demostrar que este producto interno viene dado por ^[2]

$${\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac {dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\right)^{2},}$$

y así en el límite β ≪ 1 , se reduce a , reproduciéndose así el caso no relativista. Expresado en términos de la aceleración propia invariante de Lorentz, el poder relativista de Larmor es (aún en CGS) ^[3] ${\displaystyle -|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}}$

${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}.}$

Forma no covariante

El producto interno anterior también se puede escribir en términos de β y su derivada temporal. Entonces la generalización relativista de la fórmula de Larmor es (en unidades CGS) ^[2]

${\displaystyle P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left[({\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}\right].}$

Este es el resultado de Liénard, que se obtuvo por primera vez en 1898. A medida que la radiación crece , la partícula pierde su energía en forma de ondas EM. Cuando la aceleración y la velocidad son ortogonales, la potencia se reduce en un factor de . ${\displaystyle \beta \rightarrow 1}$ ${\displaystyle \gamma ^{6}}$ ${\displaystyle 1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}}$

Sin embargo, escribir la fórmula de Liénard en términos de velocidad da una implicación engañosa. En términos de impulso en lugar de velocidad, la fórmula de Liénard para la aceleración paralela a la velocidad se convierte en

${\displaystyle P_{\parallel }={\frac {2q^{2}}{3cm^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)^{2}.}$

Para una aceleración perpendicular a la velocidad, la potencia radiada es

${\displaystyle P_{\perp }={\frac {2q^{2}\gamma ^{2}}{3cm^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)^{2}.}$

Esto muestra que la potencia emitida para la aceleración perpendicular a la velocidad es mayor en un factor de que la potencia para la aceleración paralela a la velocidad. ${\displaystyle \gamma ^{2}}$

Distribución angular

La distribución angular de la potencia radiada viene dada por una fórmula general, aplicable independientemente de que la partícula sea relativista o no. En unidades CGS, esta fórmula es ^[4]

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\left|\mathbf {\hat {n}} \times \left[(\mathbf {\hat {n}} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right]\right|^{2}}{(1-\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\beta }})^{5}}},}$$

^[5] ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}},}$$

${\displaystyle \theta }$

Radiación en la actualidad.

En las formulaciones de la fórmula de Larmor dadas anteriormente, la aceleración se da en el tiempo retardado. Esto significa que cualquier aceleración en el movimiento anterior de la partícula cargada podría usarse en la fórmula, lo que la hace esencialmente indeterminada. Esta dificultad se ha resuelto mediante una derivación reciente que proporciona la aceleración en todas las fórmulas anteriores en la actualidad. ^[6]

Problemas e implicaciones

Reacción a la radiación

La radiación de una partícula cargada transporta energía y momento. Para satisfacer la conservación de energía y momento, la partícula cargada debe experimentar un retroceso en el momento de la emisión. La radiación debe ejercer una fuerza adicional sobre la partícula cargada. Esta fuerza se conoce como fuerza de Abraham-Lorentz, mientras que su límite no relativista se conoce como autofuerza de Lorentz y las formas relativistas se conocen como fuerza de Lorentz-Dirac o fuerza de Abraham-Lorentz-Dirac. El fenómeno de la reacción a la radiación es uno de los problemas y consecuencias clave de la fórmula de Larmor. Según la electrodinámica clásica, una partícula cargada produce radiación electromagnética a medida que acelera. La partícula pierde impulso y energía como resultado de la radiación que la aleja de ella. La fuerza de respuesta a la radiación, por otro lado, también actúa como resultado de la radiación sobre la partícula cargada.

La dinámica de las partículas cargadas se ve significativamente afectada por la existencia de esta fuerza. En particular, provoca un cambio en su movimiento que puede explicarse por la fórmula de Larmor, un factor en la ecuación de Lorentz-Dirac.

Según la ecuación de Lorentz-Dirac, la velocidad de una partícula cargada se verá influenciada por una "fuerza propia" resultante de su propia radiación. Comportamientos no físicos como soluciones desbocadas, cuando la velocidad o la energía de la partícula se vuelven infinitas en un período de tiempo finito, podrían resultar de esta autofuerza.

El problema de la fuerza propia de la ecuación de Lorentz-Dirac ha generado una gran discusión y estudio en física teórica. Aunque la ecuación ha demostrado en ocasiones ser exitosa para describir el movimiento de partículas cargadas, todavía es un tema de investigación actual.

Física atómica

La invención de la física cuántica, en particular el modelo atómico de Bohr, pudo explicar esta brecha entre la predicción clásica y la realidad real. El modelo de Bohr propuso que las transiciones entre distintos niveles de energía, en los que sólo los electrones podían habitar, podrían explicar las líneas espectrales observadas de los átomos. Las propiedades ondulatorias de los electrones y la idea de cuantificación de energía se utilizaron para explicar la estabilidad de estas órbitas de electrones.

La fórmula de Larmor sólo se puede utilizar para partículas no relativistas, lo que limita su utilidad. El potencial de Liénard-Wiechert es una fórmula más completa que debe emplearse para partículas que viajan a velocidades relativistas. Además, la fórmula de Larmor parte de la inevitable suposición de que la partícula cargada orbita en un círculo. En determinadas situaciones, podrían ser necesarios cálculos más complejos que incluyan técnicas numéricas o teoría de perturbaciones para calcular con precisión la radiación que emite la partícula cargada.

Ver también

• Teoría atómica
• Radiación ciclotrón
• Ecuación de ondas electromagnéticas
• Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo.
• Reacción a la radiación
• Ecuación de onda
• Teoría del absorbente de Wheeler-Feynman

Referencias

1. Larmor, J (1897). "LXIII. Sobre la teoría de la influencia magnética sobre los espectros; y sobre la radiación de los iones en movimiento". Revista Filosófica . 5. 44 (271): 503–512. doi :10.1080/14786449708621095.La fórmula se menciona en el texto de la última página.
2. Jackson 1998, págs. 665–8
3. Bien, Michael RR; Linder, Eric V. (2022). "Poder cuántico: un enfoque invariante de Lorentz a la radiación de Hawking". EUR. Física. J.C.​ 82 (3): 204. arXiv : 2111.15148 . Código Bib : 2022EPJC...82..204G. doi :10.1140/epjc/s10052-022-10167-6. S2CID  244729371.
4. Jackson 1998
5. Jackson 1998
6. Franklin, J (2013). "Reacción de radiación sobre una carga puntual acelerada". Revista Internacional de Física Moderna A. 38 : 350005–1–6. arXiv : 2308.02628 . doi :10.1142/S0217751X23500057.

• Larmor, J (1897). "Sobre una teoría dinámica del medio eléctrico y luminífero". Transacciones filosóficas de la Royal Society . 190 (1263): 205–300. (Tercero y último de una serie de artículos con el mismo nombre).
• Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.(Sección 14.2 y siguientes)
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• RP Feynman; FB Moringo; WG Wagner (1995). Conferencias de Feynman sobre gravitación . Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.