Lema de Itô

Identidad en el cálculo de Itô análoga a la regla de la cadena

En matemáticas , el lema de Itô o fórmula de Itô (también llamada fórmula de Itô-Doeblin , especialmente en la literatura francesa) es una identidad utilizada en el cálculo de Itô para encontrar la diferencial de una función dependiente del tiempo de un proceso estocástico . Sirve como la contraparte del cálculo estocástico de la regla de la cadena . Se puede derivar heurísticamente formando la expansión de la serie de Taylor de la función hasta sus segundas derivadas y conservando términos hasta el primer orden en el incremento del tiempo y el segundo orden en el incremento del proceso de Wiener . El lema se emplea ampliamente en finanzas matemáticas y su aplicación más conocida es en la derivación de la ecuación de Black-Scholes para valores de opciones.

Kiyoshi Itô publicó una prueba de la fórmula en 1951. ^[1]

Motivación

Supongamos que nos dan la ecuación diferencial estocástica donde B _t es un proceso de Wiener y las funciones son funciones deterministas (no estocásticas) del tiempo. En general, no es posible escribir una solución directamente en términos de Sin embargo, podemos escribir formalmente una solución integral $${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t},}$$ ${\displaystyle \mu _{t},\sigma _{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle B_{t}.}$ $${\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\ dB_{s}.}$$

Esta expresión nos permite leer fácilmente la media y la varianza de (que no tiene momentos superiores). Primero, observe que cada individuo tiene media 0, por lo que el valor esperado de es simplemente la integral de la función de deriva: ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ $${\displaystyle \mathrm {E} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds.}$$

De manera similar, debido a que los términos tienen varianza 1 y no tienen correlación entre sí, la varianza de es simplemente la integral de la varianza de cada paso infinitesimal en la caminata aleatoria: ${\displaystyle dB}$ ${\displaystyle X_{t}}$ $${\displaystyle \mathrm {Var} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\ ds.}$$

Sin embargo, a veces nos enfrentamos a una ecuación diferencial estocástica para un proceso más complejo en el que el proceso aparece en ambos lados de la ecuación diferencial. Es decir, digamos para algunas funciones y En este caso, no podemos escribir inmediatamente una solución formal como lo hicimos para el caso más simple anterior. En cambio, esperamos escribir el proceso como una función de un proceso más simple que tome la forma anterior. Es decir, queremos identificar tres funciones y tales que y En la práctica, se utiliza el lema de Ito para encontrar esta transformación. Finalmente, una vez que hemos transformado el problema en el tipo de problema más simple, podemos determinar los momentos medio y superior del proceso. ${\displaystyle Y_{t},}$ $${\displaystyle dY_{t}=a_{1}(Y_{t},t)\ dt+a_{2}(Y_{t},t)\ dB_{t},}$$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}.}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle f(t,x),\mu _{t},}$ ${\displaystyle \sigma _{t},}$ ${\displaystyle Y_{t}=f(t,X_{t})}$ ${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t}.}$

Derivación

Derivamos el lema de Itô expandiendo una serie de Taylor y aplicando las reglas del cálculo estocástico.

Supongamos que se trata de un proceso de difusión-deriva de Itô que satisface la ecuación diferencial estocástica ${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t},}$

donde B _t es un proceso de Wiener .

Si f ( t , x ) es una función escalar dos veces diferenciable , su expansión en una serie de Taylor es

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,(dt)^{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,(dx)^{2}+\cdots .}$

Sustituyendo por , y por lo tanto por , obtenemos ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}}$ ${\displaystyle dx}$

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,(dt)^{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x}}(\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(\mu _{t}^{2}\,(dt)^{2}+2\mu _{t}\sigma _{t}\,dt\,dB_{t}+\sigma _{t}^{2}\,(dB_{t})^{2}\right)+\cdots .}$

En el límite , los términos y tienden a cero más rápido que . ${\displaystyle dt\to 0}$ ${\displaystyle (dt)^{2}}$ ${\displaystyle dt\,dB_{t}}$ ${\displaystyle dt}$

${\displaystyle (dB_{t})^{2}}$es (debido a la variación cuadrática de un proceso de Wiener ), por lo que al establecer los términos y en cero y sustituir por , y luego recopilar los términos, obtenemos ${\displaystyle O(dt)}$ ${\displaystyle (dt)^{2}}$ ${\displaystyle dt\,dB_{t}}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle (dB_{t})^{2}}$ ${\displaystyle dt}$

${\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}}$

según sea necesario.

Intuición geométrica

Cuando es una variable aleatoria gaussiana, también es aproximadamente variable aleatoria gaussiana, pero su media difiere de en un factor proporcional a y la varianza de . ${\displaystyle X_{t+dt}}$ ${\displaystyle f(X_{t+dt})}$ ${\displaystyle E[f(X_{t+dt})]}$ ${\displaystyle f(E[X_{t+dt}])}$ ${\displaystyle f''(E[X_{t+dt}])}$ ${\displaystyle X_{t+dt}}$

Supongamos que sabemos que son dos variables aleatorias distribuidas conjuntamente de manera gaussiana, y que es no lineal pero tiene una segunda derivada continua; entonces, en general, ninguna de ellas es gaussiana y su distribución conjunta tampoco lo es. Sin embargo, dado que es gaussiana, aún podríamos encontrar que es gaussiana. Esto no es cierto cuando es finito, pero cuando se vuelve infinitesimal, esto se vuelve cierto. ${\displaystyle X_{t},X_{t+dt}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X_{t}),f(X_{t+dt})}$ ${\displaystyle X_{t+dt}\mid X_{t}}$ ${\displaystyle f(X_{t+dt})\mid f(X_{t})}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle dt}$

La idea clave es que tiene una parte determinista y una parte ruidosa. Cuando es no lineal, la parte ruidosa tiene una contribución determinista. Si es convexa, entonces la contribución determinista es positiva (por la desigualdad de Jensen ). ${\displaystyle X_{t+dt}=X_{t}+\mu _{t}\,dt+dW_{t}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Para averiguar qué tan grande es la contribución, escribimos , donde es una gaussiana estándar, luego realizamos la expansión de Taylor. La hemos dividido en dos partes, una parte determinista y una parte aleatoria con media cero. La parte aleatoria no es gaussiana, pero las partes no gaussianas decaen más rápido que la parte gaussiana y, en el límite, solo queda la parte gaussiana. La parte determinista tiene el , pero también una parte aportada por la convexidad: . ${\displaystyle X_{t+dt}=X_{t}+\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t+dt})&=f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt+f'(X_{t})\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})(\sigma _{t}^{2}z^{2}\,dt+2\mu _{t}\sigma _{t}z\,dt^{3/2}+\mu _{t}^{2}dt^{2})+o(dt)\\&=\left(f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt+o(dt)\right)+\left(f'(X_{t})\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}(z^{2}-1)\,dt+o(dt)\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle dt\to 0}$ ${\displaystyle f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt}$

Para entender por qué debería haber una contribución debido a la convexidad, considere el caso más simple de paseo browniano geométrico (del mercado de valores): . En otras palabras, . Sea , entonces , y es un paseo browniano. Sin embargo, aunque la expectativa de permanece constante, la expectativa de crece. Intuitivamente se debe a que la desventaja está limitada a cero, pero la ventaja es ilimitada. Es decir, mientras que se distribuye normalmente, se distribuye log-normalmente . ${\displaystyle S_{t+dt}=S_{t}(1+dB_{t})}$ ${\displaystyle d(\ln S_{t})=dB_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}=\ln S_{t}}$ ${\displaystyle S_{t}=e^{X_{t}}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle S_{t}}$

Formulación matemática del lema de Itô

En las siguientes subsecciones discutimos versiones del lema de Itô para diferentes tipos de procesos estocásticos.

Procesos de difusión por deriva de Itô (debido a: Kunita–Watanabe)

En su forma más simple, el lema de Itô establece lo siguiente: para un proceso de deriva-difusión de Itô

${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}}$

y cualquier función escalar dos veces diferenciable f ( t , x ) de dos variables reales t y x , se tiene

${\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.}$

Esto implica inmediatamente que f ( t , X _t ) es en sí mismo un proceso de difusión-deriva de Itô.

En dimensiones superiores, si es un vector de procesos de Itô tal que ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=(X_{t}^{1},X_{t}^{2},\ldots ,X_{t}^{n})^{T}}$

${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}_{t}\,dt+\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}}$

Para un vector y una matriz , el lema de Itô establece que ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{t}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} _{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} _{t}\right)^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} _{t},\\[4pt]&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}_{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\mathbf {G} _{t}^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} _{t}\right]\right\}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}\end{aligned}}}$

donde es el gradiente de f con respecto a X , H _X f es la matriz hessiana de f con respecto a X , y Tr es el operador de traza . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }f}$

Procesos de salto de Poisson

También podemos definir funciones sobre procesos estocásticos discontinuos.

Sea h la intensidad del salto. El modelo del proceso de Poisson para los saltos es que la probabilidad de un salto en el intervalo [ t , t + Δ t ] es h Δ t más términos de orden superior. h podría ser una constante, una función determinista del tiempo o un proceso estocástico. La probabilidad de supervivencia p _s ( t ) es la probabilidad de que no haya ocurrido ningún salto en el intervalo [0, t ] . El cambio en la probabilidad de supervivencia es

${\displaystyle dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t)\,dt.}$

Entonces

${\displaystyle p_{s}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}h(u)\,du\right).}$

Sea S ( t ) un proceso estocástico discontinuo. Escriba para el valor de S a medida que nos acercamos a t desde la izquierda. Escriba para el cambio no infinitesimal en S ( t ) como resultado de un salto. Entonces ${\displaystyle S(t^{-})}$ ${\displaystyle d_{j}S(t)}$

${\displaystyle d_{j}S(t)=\lim _{\Delta t\to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^{-}))}$

Sea z la magnitud del salto y sea la distribución de z . La magnitud esperada del salto es ${\displaystyle \eta (S(t^{-}),z)}$

${\displaystyle E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.}$

Definir , un proceso compensado y martingala , como ${\displaystyle dJ_{S}(t)}$

${\displaystyle dJ_{S}(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-\left(h(S(t^{-}))\int _{z}z\eta \left(S(t^{-}),z\right)\,dz\right)\,dt.}$

Entonces

${\displaystyle d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)=h(S(t^{-}))\left(\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz\right)dt+dJ_{S}(t).}$

Considere una función del proceso de salto dS ( t ) . Si S ( t ) salta en Δ s entonces g ( t ) salta en Δ g . Δ g se extrae de una distribución que puede depender de , dg y . La parte de salto de es ${\displaystyle g(S(t),t)}$ ${\displaystyle \eta _{g}()}$ ${\displaystyle g(t^{-})}$ ${\displaystyle S(t^{-})}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(t)-g(t^{-})=h(t)\,dt\int _{\Delta g}\,\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d\Delta g+dJ_{g}(t).}$

Si contiene partes de deriva, difusión y salto, entonces el Lema de Itô para es ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g(S(t),t)}$

${\displaystyle dg(t)=\left({\frac {\partial g}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial g}{\partial S}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial S^{2}}}+h(t)\int _{\Delta g}\left(\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d{\Delta }g\right)\,\right)dt+{\frac {\partial g}{\partial S}}\sigma \,dW(t)+dJ_{g}(t).}$

El lema de Itô para un proceso que es la suma de un proceso de deriva-difusión y un proceso de salto es simplemente la suma del lema de Itô para las partes individuales.

Semimartingalas no continuas

El lema de Itô también se puede aplicar a semimartingalas d -dimensionales generales , que no necesitan ser continuas. En general, una semimartingala es un proceso càdlàg , y se necesita agregar un término adicional a la fórmula para asegurar que los saltos del proceso estén dados correctamente por el lema de Itô. Para cualquier proceso cadlag Y _t , el límite izquierdo en t se denota por Y _t− , que es un proceso continuo por la izquierda. Los saltos se escriben como Δ Y _t = Y _t − Y _t− . Entonces, el lema de Itô establece que si X = ( X ¹ , X ² , ..., X ^d ) es una semimartingala d -dimensional y f es una función de valor real dos veces continuamente diferenciable en R ^d entonces f ( X ) es una semimartingala, y

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})&=f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&\qquad +\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}$

Esto se diferencia de la fórmula para semimartingalas continuas por el término adicional que suma los saltos de X , lo que garantiza que el salto del lado derecho en el tiempo t sea Δ f ( X _t ).

Múltiples procesos de salto no continuos

^{[ cita requerida ]} También hay una versión de esto para una función f dos veces continuamente diferenciable en el espacio y una vez en el tiempo evaluada en semimartingalas no continuas (potencialmente diferentes) que puede escribirse de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t,X_{t}^{1},\ldots ,X_{t}^{d})={}&f(0,X_{0}^{1},\ldots ,X_{0}^{d})+\int _{0}^{t}{\dot {f}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})d{s}\\&{}+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})\,dX_{s}^{(c,i)}\\&{}+{\frac {1}{2}}\sum _{i_{1},\ldots ,i_{d}=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i_{1},\ldots ,i_{d}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})\,dX_{s}^{(c,i_{1})}\cdots X_{s}^{(c,i_{d})}\\&{}+\sum _{0<s\leq t}\left[f(s,X_{s}^{1},\ldots ,X_{s}^{d})-f({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})\right]\end{aligned}}}$

donde denota la parte continua de la i -ésima semimartingala. ${\displaystyle X^{c,i}}$

Ejemplos

Movimiento browniano geométrico

Se dice que un proceso S sigue un movimiento browniano geométrico con volatilidad constante σ y deriva constante μ si satisface la ecuación diferencial estocástica , para un movimiento browniano B . Aplicando el lema de Itô con se obtiene ${\displaystyle dS_{t}=\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt}$ ${\displaystyle f(S_{t})=\log(S_{t})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}df&=f^{\prime }(S_{t})\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(S_{t})(dS_{t})^{2}\\[4pt]&={\frac {1}{S_{t}}}\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}(-S_{t}^{-2})(S_{t}^{2}\sigma ^{2}\,dt)\\[4pt]&={\frac {1}{S_{t}}}\left(\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\[4pt]&=\sigma \,dB_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\,dt.\end{aligned}}}$

Resulta que

${\displaystyle \log(S_{t})=\log(S_{0})+\sigma B_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t,}$

La exponenciación da la expresión para S ,

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\sigma B_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t\right).}$

El término de corrección de − ⁠σ2^​/2⁠ corresponde a la diferencia entre la mediana y la media de la distribución log-normal , o equivalentemente para esta distribución, la media geométrica y la media aritmética, siendo la mediana (media geométrica) menor. Esto se debe a la desigualdad AM–GM , y corresponde a que el logaritmo es cóncavo (o convexo hacia arriba), por lo que el término de corrección puede interpretarse en consecuencia como una corrección de convexidad . Esta es una versión infinitesimal del hecho de que el rendimiento anualizado es menor que el rendimiento promedio, con la diferencia proporcional a la varianza. Consulte los momentos geométricos de la distribución log-normal ^{[ ancla rota ]} para obtener más información.

El mismo factor de ⁠σ2^​/2⁠ aparece en lasvariables auxiliares d ₁ y d _{2 de la} fórmula de Black–Scholes , y puede interpretarse como una consecuencia del lema de Itô.

Doléans-Dade exponencial

La exponencial de Doléans-Dade (o exponencial estocástica) de una semimartingala continua X se puede definir como la solución de la EDE dY = Y dX con condición inicial Y ₀ = 1 . A veces se denota por Ɛ( X ) . Aplicando el lema de Itô con f ( Y ) = log( Y ) se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}d\log(Y)&={\frac {1}{Y}}\,dY-{\frac {1}{2Y^{2}}}\,d[Y]\\[6pt]&=dX-{\tfrac {1}{2}}\,d[X].\end{aligned}}}$

Exponenciando se obtiene la solución

${\displaystyle Y_{t}=\exp \left(X_{t}-X_{0}-{\tfrac {1}{2}}[X]_{t}\right).}$

Fórmula de Black-Scholes

El lema de Itô se puede utilizar para derivar la ecuación de Black-Scholes para una opción . ^[2] Supongamos que el precio de una acción sigue un movimiento browniano geométrico dado por la ecuación diferencial estocástica dS = S ( σdB + μ dt ) . Entonces, si el valor de una opción en el momento t es f ( t , S _t ), el lema de Itô da

${\displaystyle df(t,S_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left(S_{t}\sigma \right)^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.}$

El término ⁠∂f​/∂ S⁠ dS representa el cambio de valor en el tiempo dt de la estrategia comercial consistente en mantener una cantidad ⁠∂f​/∂ S⁠ de las acciones. Si se sigue esta estrategia comercial y se supone que el efectivo que se mantiene crece a la tasa libre de riesgo r , entonces el valor total V de esta cartera satisface la SDE

${\displaystyle dV_{t}=r\left(V_{t}-{\frac {\partial f}{\partial S}}S_{t}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.}$

Esta estrategia replica la opción si V = f ( t , S ). Combinando estas ecuaciones se obtiene la famosa ecuación de Black-Scholes

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\sigma ^{2}S^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial f}{\partial S}}-rf=0.}$

Regla de producto para procesos Itô

Sea un proceso Ito bidimensional con SDE: ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$

${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}=d{\begin{pmatrix}X_{t}^{1}\\X_{t}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}dt+{\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}\,dB_{t}}$

Luego podemos usar la forma multidimensional del lema de Ito para encontrar una expresión para . ${\displaystyle d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})}$

Tenemos y . ${\displaystyle \mu _{t}={\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}}$

Establecemos y observamos eso y ${\displaystyle f(t,\mathbf {X} _{t})=X_{t}^{1}X_{t}^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=0,\ (\nabla _{\mathbf {X} }f)^{T}=(X_{t}^{2}\ \ X_{t}^{1})}$ ${\displaystyle H_{\mathbf {X} }f={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

Sustituyendo estos valores en la versión multidimensional del lema obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})&=df(t,\mathbf {X} _{t})\\&=0\cdot dt+(X_{t}^{2}\ \ X_{t}^{1})\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}(dX_{t}^{1}\ \ dX_{t}^{2}){\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dX_{t}^{1}\\dX_{t}^{2}\end{pmatrix}}\\&=X_{t}^{2}\,dX_{t}^{1}+X_{t}^{1}dX_{t}^{2}+dX_{t}^{1}\,dX_{t}^{2}\end{aligned}}}$

Ésta es una generalización de la regla del producto de Leibniz a los procesos de Ito, que no son diferenciables.

Además, el uso de la segunda forma de la versión multidimensional anterior nos da

${\displaystyle {\begin{aligned}d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})&=\left\{0+(X_{t}^{2}\ \ X_{t}^{1}){\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[(\sigma _{t}^{1}\ \ \sigma _{t}^{2}){\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}\right]\right\}\,dt+(X_{t}^{2}\sigma _{t}^{1}+X_{t}^{1}\sigma _{t}^{2})\,dB_{t}\\[5pt]&=\left(X_{t}^{2}\mu _{t}^{1}+X_{t}^{1}\mu _{t}^{2}+\sigma _{t}^{1}\sigma _{t}^{2}\right)\,dt+(X_{t}^{2}\sigma _{t}^{1}+X_{t}^{1}\sigma _{t}^{2})\,dB_{t}\end{aligned}}}$

Así vemos que el producto en sí mismo es un proceso de deriva-difusión de Itô . ${\displaystyle X_{t}^{1}X_{t}^{2}}$

Fórmula de Itô para funciones con variación cuadrática finita

Una idea de Hans Föllmer fue extender la fórmula de Itô a funciones con variación cuadrática finita. ^[3]

Sea una función de valor real y una función RCLL con variación cuadrática finita. Entonces ${\displaystyle f\in C^{2}}$ ${\displaystyle x:[0,\infty ]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{t})={}&f(x_{0})+\int _{0}^{t}f'(x_{s-})\,\mathrm {d} x_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{]0,t]}f''(x_{s-})\,d[x,x]_{s}\\&+\sum _{0\leq s\leq t}\left(f(x_{s})-f(x_{s-})-f'(x_{s-})\Delta x_{s}-{\frac {1}{2}}f''(x_{s-})(\Delta x_{s})^{2})\right).\end{aligned}}}$

Fórmulas de dimensión infinita

Existen un par de extensiones a espacios de dimensión infinita (por ejemplo, Pardoux, ^[4] Gyöngy-Krylov, ^[5] Brzezniak-van Neerven-Veraar-Weis ^[6] ).

Véase también

• Proceso de Wiener
• Cálculo de Itô
• Fórmula de Feynman-Kac
• Método de Euler-Maruyama

Notas

1. Itô, Kiyoshi (1951). "Sobre una fórmula relativa a diferenciales estocásticos". Nagoya Math. J. 3 : 55–65. doi :10.1017/S0027763000012216.
2. Malliaris, AG (1982). Métodos estocásticos en economía y finanzas. Nueva York: North-Holland. pp. 220–223. ISBN 0-444-86201-3.
3. Föllmer, Hans (1981). "Cálculo de Ito sin probabilidades". Séminario de probabilidades de Estrasburgo . 15 : 143–144.
4. Pardoux, Étienne (1974). "Écuaciones aux derivadas partielles estocásticas de tipo monótono". Seminario Jean Leray (3).
5. Gyöngy, István; Krylov, Nikolay Vladim Vladimirovich (1981). "Fórmula de Ito en espacios de Banach". En M. Arató; D. Vermes, D.; AV Balakrishnan (eds.). Sistemas diferenciales estocásticos . Apuntes de clase en ciencias de la información y el control. Vol. 36. Springer, Berlín, Heidelberg. págs. 69–73. doi :10.1007/BFb0006409. ISBN 3-540-11038-0.
6. Brzezniak, Zdzislaw; van Neerven, Jan MAM; Veraar, Mark C.; Weis, Lutz (2008). "Fórmula de Ito en espacios de Banach UMD y regularidad de soluciones de la ecuación de Zakai". Journal of Differential Equations . 245 (1): 30–58. arXiv : 0804.0302 . doi :10.1016/j.jde.2008.03.026.

Referencias

• Kiyosi Itô (1944). Integral estocástica. Proc. Imperial Acad. Tokio 20 , 519–524. Este es el artículo con la fórmula de Ito; en línea
• Kiyosi Itô (1951). Sobre ecuaciones diferenciales estocásticas. Memorias, American Mathematical Society 4 , 1–51. En línea
• Bernt Øksendal (2000). Ecuaciones diferenciales estocásticas. Introducción con aplicaciones , 5.ª edición, 2.ª impresión corregida. Springer. ISBN 3-540-63720-6 . Secciones 4.1 y 4.2. 
• Philip E Protter (2005). Integración estocástica y ecuaciones diferenciales , 2.ª edición. Springer. ISBN 3-662-10061-4 . Sección 2.7. 

Enlaces externos

• Derivación, Prof. Thayer Watkins
• Prueba informal, optiontutor