Material elástico Cauchy

En física , un material Cauchy-elástico es aquel en el que la tensión en cada punto está determinada únicamente por el estado actual de deformación con respecto a una configuración de referencia arbitraria. ^[1] Un material Cauchy-elástico también se denomina material elástico simple .

De esta definición se desprende que la tensión en un material Cauchy-elástico no depende de la trayectoria de deformación o de la historia de la deformación, ni del tiempo que se tarda en alcanzar esa deformación o de la velocidad a la que se alcanza el estado de deformación. La definición también implica que las ecuaciones constitutivas son espacialmente locales; es decir, la tensión solo se ve afectada por el estado de deformación en una vecindad infinitesimal del punto en cuestión, sin tener en cuenta la deformación o el movimiento del resto del material. También implica que las fuerzas del cuerpo (como la gravedad) y las fuerzas inerciales no pueden afectar las propiedades del material. Finalmente, un material Cauchy-elástico debe satisfacer los requisitos de objetividad del material .

Los materiales elásticos de Cauchy son abstracciones matemáticas y ningún material real se ajusta perfectamente a esta definición. Sin embargo, muchos materiales elásticos de interés práctico, como el acero, el plástico, la madera y el hormigón, a menudo se pueden considerar elásticos de Cauchy para fines de análisis de tensiones .

Definición matemática

Formalmente, se dice que un material es Cauchy-elástico si el tensor de tensión de Cauchy es una función únicamente del tensor de deformación ( gradiente de deformación ) : ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})}$

Esta definición supone que se puede ignorar el efecto de la temperatura y que el cuerpo es homogéneo. Esta es la ecuación constitutiva de un material elástico de Cauchy.

Tenga en cuenta que la función depende de la elección de la configuración de referencia. Normalmente, la configuración de referencia se toma como la configuración relajada (sin tensión), pero no es necesario que sea así. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

La indiferencia del marco material exige que la relación constitutiva no cambie cuando cambia la ubicación del observador. Por lo tanto, la ecuación constitutiva para otro observador arbitrario puede escribirse como . Sabiendo que el tensor de tensión de Cauchy y el gradiente de deformación son cantidades objetivas , se puede escribir: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{*}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}}^{*})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}^{*}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}}^{*})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}})\end{aligned}}}$

donde es un tensor ortogonal propio. ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

Lo anterior es una condición que la ley constitutiva debe respetar para garantizar que la respuesta del material sea independiente del observador. Se pueden derivar condiciones similares para las leyes constitutivas que relacionan el gradiente de deformación con el primer o segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Materiales isotrópicos Cauchy-elásticos

Para un material isótropo, el tensor de tensiones de Cauchy se puede expresar como una función del tensor de Cauchy-Green izquierdo . La ecuación constitutiva puede entonces escribirse: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$

${\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}}).}$

Para encontrar la restricción que garantice el principio de indiferencia del marco material, se puede escribir: ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \ {\begin{array}{rrcl}&{\boldsymbol {\sigma }}^{*}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}}^{*})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {F}}^{*}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{*})^{T})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}).\end{array}}}$

Una ecuación constitutiva que respeta la condición anterior se dice que es isótropa .

Materiales no conservadores

Aunque la tensión en un material elástico de Cauchy depende únicamente del estado de deformación, el trabajo realizado por las tensiones puede depender de la trayectoria de deformación. Por lo tanto, un material elástico de Cauchy en general tiene una estructura no conservativa y la tensión no necesariamente se puede derivar de una función escalar de "potencial elástico". Los materiales que son conservativos en este sentido se denominan hiperelásticos o "elásticos de Green".

Referencias

1. RW Ogden, 1984, Deformaciones elásticas no lineales , Dover, págs. 175–204.