Ecuación diferencial estocástica hacia atrás

Stochastsic differential equations with terminal condition

Una ecuación diferencial estocástica hacia atrás ( BSDE ) es una ecuación diferencial estocástica con una condición terminal en la que se requiere que la solución se adapte con respecto a una filtración subyacente. Las BSDE surgen naturalmente en varias aplicaciones, como el control estocástico , las finanzas matemáticas y las fórmulas no lineales de Feynman-Kac . ^[1]

Fondo

Las ecuaciones diferenciales estocásticas hacia atrás fueron introducidas por Jean-Michel Bismut en 1973 en el caso lineal ^[2] y por Étienne Pardoux y Shige Peng en 1990 en el caso no lineal. ^[3]

Marco matemático

Fijemos un tiempo terminal y un espacio de probabilidad . Sea un movimiento browniano con filtración natural . Una ecuación diferencial estocástica hacia atrás es una ecuación integral del tipo ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle (B_{t})_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}$

donde se llama generador de la BSDE, la condición terminal es una variable aleatoria -medible, y la solución consiste en procesos estocásticos y que se adaptan a la filtración . ${\displaystyle f:[0,T]\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$ ${\displaystyle (Y_{t},Z_{t})_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle (Y_{t})_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle (Z_{t})_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}$

Ejemplo

En el caso , el BSDE ( 1 ) se reduce a ${\displaystyle f\equiv 0}$

Si , entonces se deduce del teorema de representación de martingala que existe un proceso estocástico único tal que y satisface la BSDE ( 2 ). ${\displaystyle \xi \in L^{2}(\Omega ,\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle (Z_{t})_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle Y_{t}=\mathbb {E} [\xi |{\mathcal {F}}_{t}]}$ ${\displaystyle Z_{t}}$

Método numérico

El método de ecuación diferencial estocástica hacia atrás profunda es un método numérico que combina el aprendizaje profundo con la ecuación diferencial estocástica hacia atrás (BSDE). Este método es particularmente útil para resolver problemas de alta dimensión en problemas de matemáticas financieras. Al aprovechar las poderosas capacidades de aproximación de funciones de las redes neuronales profundas , la BSDE profunda aborda los desafíos computacionales que enfrentan los métodos numéricos tradicionales en entornos de alta dimensión. Específicamente, los métodos tradicionales como los métodos de diferencias finitas o las simulaciones de Monte Carlo a menudo luchan con la maldición de la dimensionalidad, donde el costo computacional aumenta exponencialmente con el número de dimensiones. Los métodos BSDE profundos, sin embargo, emplean redes neuronales profundas para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales parciales (PDE) de alta dimensión, lo que reduce efectivamente la carga computacional. ^[4]

Véase también

• Teorema de representación de la martingala
• Control estocástico
• Ecuación diferencial estocástica

Referencias

1. Ma, Jin; Yong, Jiongmin (2007). Ecuaciones diferenciales estocásticas hacia adelante y hacia atrás y sus aplicaciones. Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 1702. Springer Berlin, Heidelberg. doi :10.1007/978-3-540-48831-6. ISBN 978-3-540-65960-0.
2. Bismut, Jean-Michel (1973). "Funciones convexas conjugadas en control estocástico óptimo". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 44 (2): 384–404. doi :10.1016/0022-247X(73)90066-8.
3. Pardoux, Etienne; Peng, Shi Ge (1990). "Solución adaptada de una ecuación diferencial estocástica hacia atrás". Systems & Control Letters . 14 : 55–61. doi :10.1016/0167-6911(90)90082-6.
4. Han, J.; Jentzen, A.; E, W. (2018). "Resolución de ecuaciones diferenciales parciales de alta dimensión mediante aprendizaje profundo". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 115 (34): 8505–8510.

Lectura adicional

• Pardoux, Etienne; Rґşcanu, Aurel (2014). Ecuaciones diferenciales estocásticas, ecuaciones diferenciales inversas, ecuaciones diferenciales parciales . Modelado estocástico y probabilidad aplicada. Springer International Publishing Suiza.
• Zhang, Jianfeng (2017). Ecuaciones diferenciales estocásticas hacia atrás . Teoría de la probabilidad y modelado estocástico. Springer Nueva York, NY.