Ecuación de crecimiento de grietas

Figura 1: Gráfica típica de la tasa de crecimiento de grietas en función del rango de intensidad de tensión. La ecuación de París-Erdogan se ajusta a la región lineal central del Régimen B.

Se utiliza una ecuación de crecimiento de grietas para calcular el tamaño de una grieta por fatiga que crece a partir de cargas cíclicas. El crecimiento de una grieta por fatiga puede provocar una falla catastrófica, particularmente en el caso de aeronaves. Cuando muchas grietas por fatiga en crecimiento interactúan entre sí, se conoce como daño por fatiga generalizado . Se puede utilizar una ecuación de crecimiento de grietas para garantizar la seguridad, tanto en la fase de diseño como durante la operación, al predecir el tamaño de las grietas. En la estructura crítica, se pueden registrar las cargas y utilizarlas para predecir el tamaño de las grietas para garantizar que el mantenimiento o el retiro se produzcan antes de que falle alguna de las grietas. Los factores de seguridad se utilizan para reducir la vida útil por fatiga prevista a una vida útil por fatiga de servicio debido a la sensibilidad de la vida útil por fatiga al tamaño y la forma de los defectos que inician las grietas y la variabilidad entre la carga asumida y la carga real experimentada por un componente.

La vida útil por fatiga se puede dividir en un período de iniciación y un período de crecimiento de grietas. ^[1] Las ecuaciones de crecimiento de grietas se utilizan para predecir el tamaño de la grieta a partir de un defecto inicial determinado y normalmente se basan en datos experimentales obtenidos a partir de pruebas de fatiga de amplitud constante .

Una de las primeras ecuaciones de crecimiento de grietas basadas en el rango del factor de intensidad de tensión de un ciclo de carga ( ) es la ecuación de París-Erdogan ^[2] ${\displaystyle \Delta K}$

${\displaystyle {da \over dN}=C(\Delta K)^{m}}$

donde es la longitud de la grieta y es el crecimiento de la grieta por fatiga para un solo ciclo de carga . Se han desarrollado diversas ecuaciones de crecimiento de grietas similares a la ecuación de París-Erdogan para incluir factores que afectan la tasa de crecimiento de grietas, como la relación de tensiones, las sobrecargas y los efectos del historial de carga. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\rm {d}}a/{\rm {d}}N}$ ${\displaystyle N}$

El rango de intensidad de tensión se puede calcular a partir de la intensidad de tensión máxima y mínima para un ciclo.

${\displaystyle \Delta K=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}}$

Se utiliza un factor de geometría para relacionar la tensión del campo lejano con la intensidad de la tensión de la punta de la grieta utilizando ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle K=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}}}$.

Existen referencias estándar que contienen los factores de geometría para muchas configuraciones diferentes. ^{[3] [4] [5]}

Historia de las ecuaciones de propagación de grietas

A lo largo de los años se han propuesto muchas ecuaciones de propagación de grietas para mejorar la precisión de las predicciones e incorporar una variedad de efectos. Los trabajos de Head, ^[6] Frost y Dugdale, ^[7] McEvily e Illg, ^[8] y Liu ^[9] sobre el comportamiento del crecimiento de grietas por fatiga sentaron las bases de este tema. La forma general de estas ecuaciones de propagación de grietas se puede expresar como

${\displaystyle {da \over dN}=f(\Delta \sigma ,a,C_{i}),}$

donde, la longitud de la grieta se denota por , el número de ciclos de carga aplicada se da por , el rango de tensión por , y los parámetros del material por . Para configuraciones simétricas, la longitud de la grieta desde la línea de simetría se define como y es la mitad de la longitud total de la grieta . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Delta \sigma }$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2a}$

Las ecuaciones de crecimiento de grietas de la forma no son una verdadera ecuación diferencial , ya que no modelan el proceso de crecimiento de grietas de manera continua a lo largo del ciclo de carga. Como tal, se requieren algoritmos de conteo o identificación de ciclos separados, como el algoritmo de conteo de flujo de lluvia de uso común , para identificar los valores máximos y mínimos en un ciclo. Aunque se desarrolló para los métodos de tensión/deformación-vida, el conteo de flujo de lluvia también ha demostrado funcionar para el crecimiento de grietas. ^[10] También se ha desarrollado una pequeña cantidad de verdaderas ecuaciones de crecimiento de grietas por fatiga derivadas. ^{[11] [12]} ${\displaystyle da/dN}$

Factores que afectan la tasa de crecimiento de las grietas

Regímenes

La figura 1 muestra un gráfico típico de la tasa de crecimiento de grietas en función de la intensidad de tensión alterna o la fuerza impulsora de la punta de la grieta, representada en escalas logarítmicas. El comportamiento de la tasa de crecimiento de grietas con respecto a la intensidad de tensión alterna se puede explicar en diferentes regímenes (véase la figura 1) de la siguiente manera ${\displaystyle \Delta K}$

Régimen A: A bajas tasas de crecimiento, las variaciones en la microestructura , la tensión media (o relación de carga) y el entorno tienen efectos significativos en las tasas de propagación de grietas. Se observa que a bajas relaciones de carga la tasa de crecimiento es más sensible a la microestructura y en materiales de baja resistencia es más sensible a la relación de carga. ^[13]

Régimen B: En el rango medio de tasas de crecimiento, las variaciones en la microestructura, la tensión media (o relación de carga), el espesor y el entorno no tienen efectos significativos en las tasas de propagación de grietas.

Régimen C: A tasas de crecimiento elevadas, la propagación de grietas es muy sensible a las variaciones de la microestructura, la tensión media (o relación de carga) y el espesor. Los efectos ambientales tienen una influencia relativamente menor.

Efecto de la relación de estrés

Los ciclos con una mayor relación de tensión tienen una mayor tasa de crecimiento de grietas. ^[14] Este efecto se explica a menudo utilizando el concepto de cierre de grietas que describe la observación de que las caras de las grietas pueden permanecer en contacto entre sí con cargas superiores a cero. Esto reduce el rango del factor de intensidad de tensión efectiva y la tasa de crecimiento de grietas por fatiga. ^[15] ${\displaystyle R=K_{\text{min}}}/{K_{\text{max}}\equiv P_{\text{min}}/{P_{\text{max}}}}$

Efectos de secuencia

Una ecuación proporciona la tasa de crecimiento para un solo ciclo, pero cuando la carga no tiene una amplitud constante, los cambios en la carga pueden provocar aumentos o disminuciones temporales en la tasa de crecimiento. Se han desarrollado ecuaciones adicionales para abordar algunos de estos casos. La tasa de crecimiento se retrasa cuando se produce una sobrecarga en una secuencia de carga. Estas cargas generan una zona plástica que puede retrasar la tasa de crecimiento. Dos ecuaciones notables para modelar los retrasos que ocurren mientras la grieta crece a través de la región de sobrecarga son: ^[16] ${\displaystyle da/dN}$

El modelo Wheeler (1972)

${\displaystyle \left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{VA}}=\beta \left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{CA}}}$con ${\displaystyle \beta =\left({\frac {r_{\text{pi}}}{r_{\text{max}}}}\right)^{k}}$

donde es la zona plástica correspondiente al i-ésimo ciclo que ocurre post-sobrecarga y es la distancia entre la grieta y la extensión de la zona plástica en la sobrecarga. ${\displaystyle r_{\text{pi}}}$ ${\displaystyle r_{\text{max}}}$

El modelo de Willenborg

Ecuaciones de crecimiento de grietas

Ecuación de umbral

Para predecir la tasa de crecimiento de grietas en la región cercana al umbral, se ha utilizado la siguiente relación ^[17]

${\displaystyle {da \over dN}=A\left(\Delta K-\Delta K_{\text{th}}\right)^{p}.}$

La ecuación París-Erdoğan

Para predecir la tasa de crecimiento de grietas en el régimen intermedio, se utiliza la ecuación de París-Erdoğan ^[2]

${\displaystyle {da \over dN}=C\left(\Delta K\right)^{m}.}$

Ecuación de Forman

En 1967, Forman propuso la siguiente relación para explicar el aumento de las tasas de crecimiento debido a la relación de tensiones y al acercarse a la tenacidad de fractura ^[18] ${\displaystyle K_{\text{c}}}$

${\displaystyle {da \over dN}={\frac {C(\Delta K)^{n}}{(1-R)K_{\text{c}}-\Delta K}}}$

Ecuación de McEvily-Groeger

McEvily y Groeger ^[19] propusieron la siguiente relación de ley de potencia que considera los efectos de valores altos y bajos de ${\displaystyle \Delta K}$

${\displaystyle {da \over dN}=A(\Delta K-\Delta K_{\text{th}})^{2}{\Big [}1+{\frac {\Delta K}{K_{\text{Ic}}-K_{\text{max}}}}{\Big ]}}$.

Ecuación de NASGRO

La ecuación NASGRO se utiliza en los programas de crecimiento de grietas AFGROW, FASTRAN y NASGRO. ^[20] Es una ecuación general que cubre la tasa de crecimiento más baja cerca del umbral y la tasa de crecimiento aumentada acercándose a la tenacidad de fractura , además de permitir el efecto de la tensión media al incluir la relación de tensiones . La ecuación NASGRO es ${\displaystyle \Delta K_{\text{th}}}$ ${\displaystyle K_{\text{crit}}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {da}{dN}}=C\left[\left({\frac {1-f}{1-R}}\right)\Delta K\right]^{n}{\left(1-{\frac {\Delta K_{\text{th}}}{\Delta K}}\right)^{p} \over \left(1-{\frac {K_{\max }}{K_{\text{crit}}}}\right)^{q}}}$

donde , , , , , y son los coeficientes de la ecuación. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \Delta K_{\text{th}}}$ ${\displaystyle K_{\text{crit}}}$

Ecuación de McClintock

En 1967, McClintock desarrolló una ecuación para el límite superior del crecimiento de grietas basada en el desplazamiento cíclico de la apertura de la punta de la grieta ^[21]. ${\displaystyle \Delta {\text{CTOD}}}$

${\displaystyle {da \over dN}\propto \Delta {\text{CTOD}}\approx \beta {(\Delta K)^{2} \over {2\sigma _{0}E'}}}$

donde es la tensión de fluencia, es el módulo de Young y es una constante típicamente en el rango de 0,1 a 0,5. ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle \beta }$

Ecuación de Walker

Para tener en cuenta el efecto de la relación de estrés, Walker sugirió una forma modificada de la ecuación de París-Erdogan ^[22]

${\displaystyle {da \over dN}=C{\Big (}{\overline {\Delta K}}{\Big )}^{m}=C{\bigg (}{\frac {\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma }}}{\bigg )}^{m}=C{\big (}K_{\text{max}}(1-R)^{\gamma }{\big )}^{m}}$

donde, es un parámetro del material que representa la influencia de la relación de tensiones en la tasa de crecimiento de grietas por fatiga. Normalmente, toma un valor de alrededor de , pero puede variar entre . En general, se supone que la parte compresiva del ciclo de carga no tiene efecto en el crecimiento de la grieta al considerar que da Esto se puede explicar físicamente considerando que la grieta se cierra con carga cero y no se comporta como una grieta bajo cargas de compresión. En materiales muy dúctiles como el acero Man-Ten, la carga de compresión contribuye al crecimiento de la grieta según . ^[23] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle 0.3-1.0}$ ${\displaystyle {\big (}R<0{\big )}}$ ${\displaystyle \gamma =0,}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta K}}=K_{\text{max}}.}$ ${\displaystyle \gamma =0.22}$

Ecuación de Elber

Elber modificó la ecuación de París-Erdogan para permitir el cierre de la grieta con la introducción del nivel de intensidad de la tensión de apertura en el que se produce el contacto. Por debajo de este nivel no hay movimiento en la punta de la grieta y, por lo tanto, no hay crecimiento. Este efecto se ha utilizado para explicar el efecto de la relación de tensiones y el aumento de la tasa de crecimiento observado con grietas cortas. La ecuación de Elber es ^[16] ${\displaystyle K_{\text{op}}}$

${\displaystyle \Delta K_{\text{eff}}=K_{\text{max}}-K_{\text{op}}}$

${\displaystyle {da \over dN}=C(\Delta K_{\text{eff}})^{m}}$

Ecuación de materiales dúctiles y frágiles

La forma general de la tasa de crecimiento de grietas por fatiga en materiales dúctiles y frágiles viene dada por ^[21]

${\displaystyle {da \over dN}\propto (K_{\text{max}})^{n}(\Delta K)^{p},}$

donde, y son parámetros del material. Con base en diferentes mecanismos de avance de grietas y de protección de la punta de grieta en metales, cerámicas e intermetálicos , se observa que la tasa de crecimiento de grietas por fatiga en metales depende significativamente del término, en cerámicas de , y los intermetálicos tienen una dependencia casi similar de los términos y . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Delta K}$ ${\displaystyle K_{\text{max}}}$ ${\displaystyle \Delta K}$ ${\displaystyle K_{\text{max}}}$

Predicción de la vida por fatiga

Programas de ordenador

Existen muchos programas informáticos que implementan ecuaciones de crecimiento de grietas como Nasgro , ^[24] AFGROW y Fastran . Además, también existen programas que implementan un enfoque probabilístico para el crecimiento de grietas que calculan la probabilidad de falla a lo largo de la vida útil de un componente. ^{[25] [26]}

Los programas de crecimiento de grietas hacen crecer una grieta desde un tamaño de falla inicial hasta que excede la tenacidad a la fractura de un material y falla. Debido a que la tenacidad a la fractura depende de las condiciones límite, la tenacidad a la fractura puede cambiar de condiciones de deformación plana para una grieta de superficie semicircular a condiciones de tensión plana para una grieta pasante. La tenacidad a la fractura para condiciones de tensión plana es típicamente el doble de grande que para la deformación plana. Sin embargo, debido a la rápida tasa de crecimiento de una grieta cerca del final de su vida útil, las variaciones en la tenacidad a la fractura no alteran significativamente la vida útil de un componente.

Los programas de crecimiento de grietas generalmente ofrecen una opción de:

• Métodos de conteo cíclico para extraer los extremos del ciclo
• Factores geométricos que seleccionan la forma de la grieta y la carga aplicada.
• ecuación de crecimiento de grietas
• modelos de aceleración/desaceleración
• Propiedades del material como resistencia al rendimiento y tenacidad a la fractura

Solución analítica

El factor de intensidad del estrés viene dado por

${\displaystyle K=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}},}$

donde es la tensión de tracción uniforme aplicada que actúa sobre la muestra en la dirección perpendicular al plano de la grieta, es la longitud de la grieta y es un parámetro adimensional que depende de la geometría de la muestra. La intensidad de la tensión alterna se convierte en ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K&={\begin{cases}\beta (\sigma _{\text{max}}-\sigma _{\text{min}}){\sqrt {\pi a}}=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}},\qquad R\geq 0\\\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a}},\qquad R<0\end{cases}},\end{aligned}}}$

donde es el rango de la amplitud del estrés cíclico. ${\displaystyle \Delta \sigma }$

Suponiendo que el tamaño de grieta inicial es , el tamaño de grieta crítico antes de que falle la muestra se puede calcular utilizando como ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{c}}$ ${\displaystyle {\big (}K=K_{\text{max}}=K_{\text{Ic}}{\big )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{Ic}}&=\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a_{c}}},\\\Rightarrow a_{c}&={\frac {1}{\pi }}{\bigg (}{\frac {K_{\text{Ic}}}{\beta \sigma _{\text{max}}}}{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}$

La ecuación anterior es de naturaleza implícita y puede resolverse numéricamente si es necesario. ${\displaystyle a_{c}}$

Caso I

El cierre de grietas tiene un efecto insignificante en la tasa de crecimiento de la grieta ^[27] y la ecuación de París-Erdogan se puede utilizar para calcular la vida útil por fatiga de una muestra antes de que alcance el tamaño crítico de grieta como ${\displaystyle R\geq 0.7,}$ ${\displaystyle a_{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{da \over dN}&=C(\Delta K)^{m}=C{\bigg (}\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}{\bigg )}^{m},\\\Rightarrow N_{f}&={\frac {1}{({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{(C{\sqrt {a}}\beta )^{m}}}.\end{aligned}}}$

Modelo de crecimiento de grietas con valor constante de 𝛽 y R = 0

Figura 2: Representación geométrica de la muestra de prueba de tensión con agrietamiento central

Para el modelo de crecimiento de grietas de Griffith-Irwin o grieta central de longitud en una lámina infinita como se muestra en la figura 2, tenemos y es independiente de la longitud de la grieta. También, se puede considerar que es independiente de la longitud de la grieta. Al suponer que la integral anterior se simplifica a ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \beta ={\text{constant}},}$

${\displaystyle N_{f}={\frac {1}{C({\sqrt {\pi }}\beta \Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{({\sqrt {a}})^{m}}},}$

Al integrar la expresión anterior para los casos y , el número total de ciclos de carga se da por ${\displaystyle m\neq 2}$ ${\displaystyle m=2}$ ${\displaystyle N_{f}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{f}&={\frac {2}{(m-2)C({\sqrt {\pi }}\beta \Delta \sigma )^{m}}}{\Bigg [}{\frac {1}{(a_{0})^{\frac {m-2}{2}}}}-{\frac {1}{(a_{c})^{\frac {m-2}{2}}}}{\Bigg ]},\qquad m\neq 2,\\N_{f}&={\frac {1}{\pi C(\beta \Delta \sigma )^{2}}}\ln {\frac {a_{c}}{a_{0}}},\qquad m=2.\end{aligned}}}$

Ahora bien, para que un tamaño de grieta crítica sea muy grande en comparación con el tamaño de grieta inicial, se obtendrá ${\displaystyle m>2}$ ${\displaystyle {\big (}a_{c}>>a_{0}{\big )}}$

${\displaystyle N_{f}={\frac {2}{(m-2)C({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma \beta )^{m}}}(a_{0})^{\frac {2-m}{2}}.}$

Las expresiones analíticas anteriores para el número total de ciclos de carga hasta la fractura se obtienen suponiendo que . Para los casos en los que depende del tamaño de la grieta, como las geometrías de tensión de entalla de borde único (SENT) y tensión agrietada central (CCT), se puede utilizar la integración numérica para calcular . ${\displaystyle {\big (}N_{f}{\big )}}$ ${\displaystyle Y={\text{constant}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle N_{f}}$

Caso II

El fenómeno del cierre de grietas tiene un efecto sobre la tasa de crecimiento de la grieta y podemos invocar la ecuación de Walker para calcular la vida útil por fatiga de una muestra antes de que alcance el tamaño crítico de grieta como ${\displaystyle R<0.7,}$ ${\displaystyle a_{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{da \over dN}&=C{\bigg (}{\frac {\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma }}}{\bigg )}^{m}={\frac {C}{(1-R)^{m(1-\gamma )}}}{\bigg (}\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}{\bigg )}^{m},\\\Rightarrow N_{f}&={\frac {(1-R)^{m(1-\gamma )}}{({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{(C{\sqrt {a}}\beta )^{m}}}.\end{aligned}}}$

Cálculo numérico

Figura 3: Representación esquemática del proceso de predicción de la vida por fatiga ^[28]

Este esquema es útil cuando depende del tamaño de la grieta . Se considera que el tamaño de la grieta inicial es . El factor de intensidad de tensión en el tamaño de grieta actual se calcula utilizando la tensión máxima aplicada como ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{max}}&=\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a}}.\end{aligned}}}$
Si es menor que la tenacidad a la fractura , la grieta no ha alcanzado su tamaño crítico y la simulación continúa con el tamaño de grieta actual para calcular la intensidad de tensión alterna como ${\displaystyle K_{\text{max}}}$ ${\displaystyle K_{\text{Ic}}}$ ${\displaystyle a_{c}}$

${\displaystyle \Delta K=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}.}$

Ahora, sustituyendo el factor de intensidad de tensión en la ecuación de París-Erdogan, el incremento en el tamaño de la grieta se calcula como ${\displaystyle \Delta a}$

${\displaystyle \Delta a=C(\Delta K)^{m}\Delta N,}$

donde es el tamaño del paso del ciclo. El nuevo tamaño de la grieta se convierte en ${\displaystyle \Delta N}$

${\displaystyle a_{i+1}=a_{i}+\Delta a,}$

donde el índice se refiere al paso de iteración actual. El nuevo tamaño de grieta se utiliza para calcular la intensidad de la tensión con la tensión máxima aplicada para la siguiente iteración. Este proceso iterativo continúa hasta ${\displaystyle i}$

${\displaystyle K_{\text{max}}\geq K_{\text{Ic}}.}$

Una vez que se cumple este criterio de fallo, se detiene la simulación.

La representación esquemática del proceso de predicción de la vida por fatiga se muestra en la figura 3.

Ejemplo

Figura 4: Representación geométrica de la muestra de prueba de tensión de entalla de un solo borde

El factor de intensidad de tensión en una muestra SENT (ver figura 4) bajo crecimiento de grietas por fatiga se da por ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{I}&=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}{\Bigg [}0.265{\bigg [}1-{\frac {a}{W}}{\bigg ]}^{4}+{\frac {0.857+0.265{\frac {a}{W}}}{{\big [}1-{\frac {a}{W}}{\big ]}^{\frac {3}{2}}}}{\Bigg ]},\\\Delta K_{I}&=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}.\end{aligned}}}$

Para el cálculo se consideran los siguientes parámetros

${\displaystyle a_{0}=5}$mm, mm, mm, , , ${\displaystyle W=100}$ ${\displaystyle h=200}$ ${\displaystyle K_{\text{Ic}}=30{\text{ MPa}}{\sqrt {\text{m}}}}$ ${\displaystyle R={\frac {K_{\text{min}}}{K_{\text{max}}}}=0.7}$

${\displaystyle \Delta \sigma =20}$MPa, , . ${\displaystyle C=4.6774\times 10^{-11}{\frac {\text{m}}{\text{cycle}}}{\frac {1}{({\text{MPa}}{\sqrt {\text{m}}})^{m}}}}$ ${\displaystyle m=3.874}$

La longitud crítica de grieta, , se puede calcular cuando : ${\displaystyle a=a_{c}}$ ${\displaystyle K_{\text{max}}=K_{\text{Ic}}}$

${\displaystyle a_{c}={\frac {1}{\pi }}{\Bigg (}{\frac {0.45}{\beta }}{\Bigg )}^{2}.}$

Resolviendo la ecuación anterior, la longitud crítica de grieta se obtiene como . ${\displaystyle a_{c}=26.7{\text{mm}}}$

Ahora, invocando la ecuación París-Erdogan obtenemos:

${\displaystyle N_{f}={\frac {1}{C(\Delta \sigma )^{m}({\sqrt {\pi }})^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{a^{\frac {m}{2}}{\Bigg [}0.265{\bigg [}1-{\frac {a}{W}}{\bigg ]}^{4}+{\frac {0.857+0.265{\frac {a}{W}}}{{\big [}1-{\frac {a}{W}}{\big ]}^{\frac {3}{2}}}}{\Bigg ]}^{m}}}}$

Mediante la integración numérica de la expresión anterior, el número total de ciclos de carga hasta el fallo se obtiene como . ${\displaystyle N_{f}=1.2085\times 10^{6}{\text{ cycles}}}$

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Enlaces externos

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