En física del estado sólido , la ecuación de Landau-Lifshitz ( LLE ), llamada así por Lev Landau y Evgeny Lifshitz , es una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal del magnetismo en sólidos, dependiendo de 1 variable de tiempo y 1, 2 o 3 variables espaciales. .
Ecuación de Landau-Lifshitz
El LLE describe un imán anisotrópico . La ecuación se describe en (Faddeev & Takhtajan 2007, capítulo 8) de la siguiente manera: Es una ecuación para un campo vectorial S , en otras palabras, una función en R 1+ n que toma valores en R 3 . La ecuación depende de una matriz J simétrica fija de 3 por 3 , que generalmente se supone que es diagonal ; eso es, . Está dada por la ecuación de movimiento de Hamilton para el hamiltoniano.![{\displaystyle J=\operatorname {diag} (J_ {1}, J_ {2}, J_ {3})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H={\frac {1}{2}}\int \left[\sum _{i}\left({\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial x_{i}}} \right)^{2}-J(\mathbf {S} )\right]\,dx\qquad (1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(donde J ( S ) es la forma cuadrática de J aplicada al vector S ) que es
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \sum _{i}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x_{i}^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S}.\qquad (2)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En dimensiones 1+1 esta ecuación es
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge {\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^ {2}}}+\mathbf {S} \cuña J\mathbf {S}.\qquad (3)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En 2+1 dimensiones esta ecuación toma la forma
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\ parcial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf { S} \qquad (4)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que es el LLE (2+1)-dimensional. Para el caso (3+1)-dimensional, LLE parece
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\ parcial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S } }{\partial z^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S}.\qquad (5)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Reducciones integrables
En el caso general LLE (2) no es integrable. Pero admite las dos reducciones integrables:
- a) en las dimensiones 1+1, es decir la Ec. (3), es integrable
- b) cuando . En este caso, el LLE (3) de dimensión (1+1) se convierte en la ecuación clásica continua del ferroimán de Heisenberg (ver, por ejemplo, el modelo de Heisenberg (clásico) ), que ya es integrable.
![{\displaystyle J=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- Faddeev, Ludwig D.; Takhtajan, Leon A. (2007), Métodos hamiltonianos en la teoría de solitones , Clásicos de las matemáticas, Berlín: Springer, págs. x+592, doi :10.1007/978-3-540-69969-9, ISBN 978-3-540-69843-2, señor 2348643
- Guo, Boling; Ding, Shijin (2008), Ecuaciones de Landau-Lifshitz , Fronteras de la investigación con la Academia de Ciencias de China, World Scientific Publishing Company, ISBN 978-981-277-875-8
- Kosevich AM , Ivanov BA, Kovalev AS Ondas de magnetización no lineales. Solitones dinámicos y topológicos. – Kiev: Naukova Dumka , 1988. – 192 p.