Dualidad Alvis-Curtis

En matemáticas , la dualidad Alvis-Curtis es una operación de dualidad sobre los caracteres de un grupo reductivo sobre un campo finito , introducida por Charles W. Curtis  (1980) y estudiada por su alumno Dean Alvis (1979). Kawanaka (1981, 1982) introdujo una operación de dualidad similar para las álgebras de Lie.

La dualidad Alvis-Curtis tiene orden 2 y es una isometría de caracteres generalizados.

Carter (1985, 8.2) analiza en detalle la dualidad Alvis-Curtis.

Definición

El dual ζ* de un carácter ζ de un grupo finito G con un par BN dividido se define como

${\displaystyle \zeta ^{*}=\sum _{J\subseteq R}(-1)^{\vert J\vert }\zeta _{P_{J}}^{G}}$

Aquí la suma es sobre todos los subconjuntos J del conjunto R de raíces simples del sistema Coxeter de G. El personaje ζ
_pj​es el truncamiento de ζ al subgrupo parabólico P _J del subconjunto J , dado al restringir ζ a P _J y luego tomar el espacio de invariantes del radical unipotente de P _J , y ζ^G
_{P J}es la representación inducida de G . (La operación de truncamiento es el funtor adjunto de la inducción parabólica ).

Ejemplos

• El dual del carácter trivial 1 es el carácter de Steinberg .
• Deligne y Lusztig (1983) demostraron que el dual de un carácter Deligne-Lusztig R^θ
  _Tes ε _G ε _T R^θ
  _T.
• El dual de un carácter cúspide χ es (–1) ^|Δ| χ, donde Δ es el conjunto de raíces simples.
• El dual del personaje Gelfand-Graev es el personaje que toma valor | Z ^F | l ^sobre los elementos unipotentes regulares y desapareciendo en otros lugares.

Referencias

• Alvis, Dean (1979), "La operación de dualidad en el anillo de caracteres de un grupo finito de Chevalley", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , Nueva Serie, 1 (6): 907–911, doi : 10.1090/S0273-0979-1979 -14690-1 , ISSN  0002-9904, SEÑOR  0546315
• Carter, Roger W. (1985), Grupos finitos de tipo Lie. Clases de conjugación y caracteres complejos., Matemáticas puras y aplicadas (Nueva York), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-90554-7, señor  0794307
• Curtis, Charles W. (1980), "Truncado y dualidad en el anillo de caracteres de un grupo finito de tipo Lie", Journal of Algebra , 62 (2): 320–332, doi : 10.1016/0021-8693(80)90185 -4 , ISSN  0021-8693, SEÑOR  0563231
• Deligne, Pierre ; Lusztig, George (1982), "Dualidad para representaciones de un grupo reductivo sobre un campo finito", Journal of Algebra , 74 (1): 284–291, doi : 10.1016/0021-8693(82)90023-0 , ISSN  0021 -8693, SEÑOR  0644236
• Deligne, Pierre ; Lusztig, George (1983), "Dualidad para representaciones de un grupo reductivo sobre un campo finito. II", Journal of Algebra , 81 (2): 540–545, doi : 10.1016/0021-8693(83)90202-8 , ISSN  0021-8693, SEÑOR  0700298
• Kawanaka, Noriaki (1981), "Transformadas de Fourier de funciones invariantes nilpotentemente soportadas en un álgebra de Lie finita y simple", Academia de Japón. Actas. Serie A. Ciencias Matemáticas , 57 (9): 461–464, doi : 10.3792/pjaa.57.461 , ISSN  0386-2194, MR  0637555
• Kawanaka, N. (1982), "Transformadas de Fourier de funciones invariantes nilpotentemente soportadas en un álgebra de Lie simple sobre un campo finito", Inventiones Mathematicae , 69 (3): 411–435, doi :10.1007/BF01389363, ISSN  0020-9910, SEÑOR  0679766, S2CID  119866092