División extraña

Método numérico para resolver ecuaciones diferenciales

En matemáticas aplicadas, la división de Strang es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales que se pueden descomponer en una suma de operadores diferenciales. Recibe su nombre en honor a Gilbert Strang . Se utiliza para acelerar el cálculo de problemas que involucran operadores en escalas de tiempo muy diferentes, por ejemplo, reacciones químicas en dinámica de fluidos, y para resolver ecuaciones diferenciales parciales multidimensionales reduciéndolas a una suma de problemas unidimensionales.

Métodos de pasos fraccionarios

Como precursor de la división de Strang, considere una ecuación diferencial de la forma

${\displaystyle {\frac {d{y}}{dt}}=L_{1}({y})+L_{2}({y})}$

donde , son operadores diferenciales . Si y fueran matrices de coeficientes constantes, entonces la solución exacta al problema de valor inicial asociado sería ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$

${\displaystyle y(t)=e^{(L_{1}+L_{2})t}y_{0}}$.

Si y conmutan, entonces por las leyes exponenciales esto es equivalente a ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$

${\displaystyle y(t)=e^{L_{1}t}e^{L_{2}t}y_{0}}$.

Si no es así, entonces mediante la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff todavía es posible reemplazar el exponencial de la suma por un producto de exponenciales a costa de un error de segundo orden:

${\displaystyle e^{(L_{1}+L_{2})t}y_{0}=e^{L_{1}t}e^{L_{2}t}y_{0}+{\mathcal {O}}(t^{2})}$.

Esto da lugar a un esquema numérico donde uno, en lugar de resolver el problema inicial original, resuelve ambos subproblemas alternando:

${\displaystyle {\tilde {y}}_{1}=e^{L_{1}\Delta t}y_{0}}$

${\displaystyle y_{1}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{1}}$

${\displaystyle {\tilde {y}}_{2}=e^{L_{1}\Delta t}y_{1}}$

${\displaystyle y_{2}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{2}}$

etc.

En este contexto, es un esquema numérico que resuelve el subproblema. ${\displaystyle e^{L_{1}\Delta t}}$

${\displaystyle {\frac {d{y}}{dt}}=L_{1}({y})}$

de primer orden. El enfoque no se limita a problemas lineales, es decir, puede ser cualquier operador diferencial. ${\displaystyle L_{1}}$

División extraña

La división de Strang extiende este enfoque al segundo orden al elegir otro orden de operaciones. En lugar de realizar pasos de tiempo completos con cada operador, se realizan pasos de tiempo de la siguiente manera:

${\displaystyle {\tilde {y}}_{1}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}y_{0}}$

${\displaystyle {\bar {y}}_{1}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{1}}$

${\displaystyle y_{1}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}{\bar {y}}_{1}}$

${\displaystyle {\tilde {y}}_{2}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}y_{1}}$

${\displaystyle {\bar {y}}_{2}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{2}}$

${\displaystyle y_{2}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}{\bar {y}}_{2}}$

etc.

Se puede demostrar que la división de Strang es de segundo orden utilizando la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, el análisis de árbol con raíz o una comparación directa de los términos de error utilizando la expansión de Taylor. Para que el esquema sea preciso en segundo orden, también debe haber una aproximación de segundo orden al operador de solución. ${\displaystyle e^{\cdots }}$

Véase también

• Lista de temas sobre división de operadores
• División de matriz

Referencias

• Strang, Gilbert. Sobre la construcción y comparación de esquemas diferenciales . Revista SIAM sobre análisis numérico 5.3 (1968): 506–517. doi :10.1137/0705041
• McLachlan, Robert I. y G. Reinout W. Quispel. Métodos de división. Acta Numérica 11 (2002): 341–434. doi :10.1017/S0962492902000053
• LeVeque, Randall J. , Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos. Vol. 31. Cambridge University Press, 2002. (pbk ISBN 0-521-00924-3 )