Distribución Maxwell-Jüttner

En física , la distribución de Maxwell-Jüttner , a veces llamada distribución de Jüttner-Synge , es la distribución de velocidades de las partículas en un hipotético gas de partículas relativistas. Similar a la distribución de Maxwell-Boltzmann , la distribución de Maxwell-Jüttner considera un gas ideal clásico donde las partículas están diluidas y no interactúan significativamente entre sí. La diferencia con el caso de Maxwell-Boltzmann es que se tienen en cuenta los efectos de la relatividad especial . En el límite de bajas temperaturas mucho menores que (donde es la masa del tipo de partícula que forma el gas, es la velocidad de la luz y es la constante de Boltzmann ), esta distribución se vuelve idéntica a la distribución de Maxwell-Boltzmann. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle mc^{2}/k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$

La distribución se puede atribuir a Ferencz Jüttner, quien la derivó en 1911. ^[1] Se la conoce como distribución de Maxwell-Jüttner por analogía con el nombre de distribución de Maxwell-Boltzmann que se usa comúnmente para referirse a la distribución de Maxwell o Maxwellian.

Definición

Distribución de Maxwell-Jüttner sobre el factor de Lorentz (Maxwell-Boltzmann relativista), para un gas a diferentes temperaturas. La velocidad se representa en términos del factor de Lorentz .

A medida que el gas se calienta y se acerca o supera , la distribución de probabilidad de en este gas maxwelliano relativista viene dada por la distribución de Maxwell-Jüttner: ^[2] ${\displaystyle k_{\text{B}}T}$ ${\displaystyle mc^{2}}$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

$${\displaystyle f(\gamma )={\frac {\gamma ^{2}\,\beta (\gamma )}{\theta \operatorname {K} _{2}\!\left({\frac {1}{\theta }}\right)}}e^{-{\gamma }/{\theta }}}$$

donde y es la función de Bessel modificada de segundo tipo. ${\textstyle \beta ={\frac {v}{c}}={\sqrt {1-1/\gamma ^{2}}},}$ ${\textstyle \theta ={\frac {k_{\text{B}}T}{mc^{2}}},}$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{2}}$

Alternativamente, esto se puede escribir en términos del impulso como

$${\displaystyle f(\mathbf {p} )={\frac {1}{4\pi m^{3}c^{3}\theta \operatorname {K} _{2}\!\left({\frac {1}{\theta }}\right)}}e^{-{\frac {\gamma (p)}{\theta }}}}$$

manifiesta^[3] ${\textstyle \gamma (p)={\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}}$

Gráfico de distribución de Jüttner

Una representación visual de la distribución de velocidades de partículas para plasmas a cuatro temperaturas diferentes: ^[4]

Donde el parámetro térmico se ha definido como . ${\textstyle \mu ={\frac {mc^{2}}{k_{\text{B}}T}}={\frac {1}{\theta }}}$

Los cuatro límites generales son:

• temperaturas ultrarelativistas ${\displaystyle \mu \ll 1\iff \theta \gg 1}$
• temperaturas relativistas: , ${\displaystyle \mu <1\iff \theta >1}$
• temperaturas débilmente (o levemente) relativistas: , ${\displaystyle \mu >1\iff \theta <1}$
• temperaturas bajas: , ${\displaystyle \mu \gg 1\iff \theta \ll 1}$

Limitaciones

Algunas limitaciones de las distribuciones de Maxwell-Jüttner se comparten con el gas ideal clásico: descuido de las interacciones y descuido de los efectos cuánticos. Una limitación adicional (no importante en el gas ideal clásico) es que la distribución de Maxwell-Jüttner ignora las antipartículas.

Si se permite la creación de partículas-antipartículas, entonces una vez que la energía térmica sea una fracción significativa de , se producirá la creación de partículas-antipartículas y comenzará a aumentar el número de partículas mientras se generan antipartículas (el número de partículas no se conserva, sino la cantidad conservada). es la diferencia entre el número de partículas y el número de antipartículas). La distribución térmica resultante dependerá del potencial químico relacionado con la diferencia conservada del número de partículas y antipartículas. Una consecuencia adicional de esto es que se hace necesario incorporar mecánica estadística para partículas indistinguibles, porque las probabilidades de ocupación para estados de baja energía cinética se vuelven de orden unidad. Para los fermiones es necesario utilizar la estadística de Fermi-Dirac y el resultado es análogo a la generación térmica de pares electrón- hueco en semiconductores . Para las partículas bosónicas , es necesario utilizar la estadística de Bose-Einstein . ^[5] ${\displaystyle k_{\text{B}}T}$ ${\displaystyle mc^{2}}$

Quizás lo más significativo es que la distribución básica tiene dos problemas principales: no se extiende a partículas que se mueven a velocidades relativistas y asume una temperatura anisotrópica (donde cada DoF no tiene la misma energía cinética de traslación). ^{[ aclaración necesaria ]} Si bien la distribución clásica de Maxwell-Jüttner se generaliza para el caso de la relatividad especial, no considera la descripción anisotrópica. ${\displaystyle {\text{MB}}}$

Derivación

La distribución de Maxwell-Boltzmann ( ) describe las velocidades o la energía cinética de las partículas en equilibrio térmico, lejos del límite de la velocidad de la luz, es decir: ${\displaystyle {\text{MB}}}$ ${\displaystyle \operatorname {pdf} _{\text{MB}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\textstyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}m\mathbf {u} ^{2}}$

${\textstyle \theta \equiv {\sqrt {2{k_{\text{B}}T}/{m}}},\ \ u\ll c}$

O, en términos de energía cinética:

${\displaystyle \varepsilon \ll mc^{2}}$

donde es la temperatura en dimensiones de velocidad, llamada velocidad térmica, y d denota los grados de libertad cinéticos de cada partícula. (Tenga en cuenta que la temperatura se define en el marco de reposo del fluido, donde la velocidad global es cero. En el caso no relativista, esto se puede mostrar usando . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{b}}$ ${\textstyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}m(\mathbf {u} -\mathbf {u} _{b})^{2}}$

La generalización relativista de la ecuación. (1a), es decir, la distribución de Maxwell-Jüttner ( ), viene dada por: ${\displaystyle {\text{MJ}}}$

dónde y . (Tenga en cuenta que la inversa de la temperatura sin unidades es la frialdad relativista , Rezzola y Zanotti, 2013). Esta distribución (Ec. 2) se puede derivar de la siguiente manera. Según el formalismo relativista para el momento y la energía de las partículas, se tiene ${\displaystyle \beta \equiv {\mathbf {u} }/{c}}$ ${\displaystyle \gamma (\beta )=(1-\beta ^{2})^{-{1}/{2}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \zeta }$

Mientras que la energía cinética está dada por . La distribución de Boltzmann de un hamiltoniano es: En ausencia de energía potencial, está dada simplemente por la energía de la partícula , así: ${\displaystyle \varepsilon =E-E_{0}=(\gamma -1)\,E_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(H)\propto e^{-{\frac {H}{k_{\text{B}}T}}}.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$

(Tenga en cuenta que es la suma de la energía cinética e inercial ). Entonces, cuando se incluye la densidad dimensional de estados: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\textstyle E_{0},{\frac {\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}={\frac {\gamma -\ 1}{\theta }}}$ ${\displaystyle d}$

De modo que:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\mathbf {p} )\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}&\propto \int e^{-{\frac {E(\mathbf {p} )}{k_{\text{B}}T}}}\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}\\[1ex]&=\int e^{-{\frac {E(\gamma \Omega _{d})}{k_{\text{B}}T}}}\mathrm {d} \Omega _{d}p^{d-1}\mathrm {d} p\\[1ex]&=\int \limits _{\Omega _{d}}e^{-{\frac {E(\gamma \Omega _{d})}{k_{\text{B}}T}}}\,\left(p(\gamma )^{d-1}{\frac {\mathrm {d} p(\gamma )}{\mathrm {d} \gamma }}\right)\mathrm {d} \Omega _{d}\mathrm {d} \gamma \end{aligned}}}$$

Donde denota el ángulo sólido dimensional. Para distribuciones isotrópicas, se tiene ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega _{d}}$ ${\displaystyle d}$

o

Entonces, para que: ${\displaystyle \mathrm {d} (\gamma \beta )=\gamma (\gamma ^{2}-1)^{-{\frac {1}{2}}}\mathrm {d} \gamma =\beta ^{-1}\mathrm {d} \gamma }$

O:

Ahora porque . Luego, se normaliza la distribución Ec. (7) . uno establece ${\displaystyle {\frac {E}{k_{\text{B}}T}}={\frac {\gamma }{\theta }}}$

Y la integración angular:

$${\displaystyle \mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}=B_{d}p^{d-1}\mathrm {d} p={\frac {1}{2}}B_{d}\left(mc\right)^{d}\left(\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}\right)^{{\frac {d}{2}}-1}\mathrm {d} \left({\frac {p}{mc}}\right)^{2},}$$

¿ Dónde está la superficie de la esfera unitaria d -dimensional? Entonces, usando la identidad que se tiene: ${\displaystyle B_{d}={\frac {2\pi ^{d}/{2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}}}$ ${\displaystyle \gamma ^{2}=\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}+1}$

y

Donde se ha definido la integral:

La función de Macdonald ( función de Bessel modificada del tipo II) (Abramowitz y Stegun, 1972, p.376) se define por:

De modo que al establecer se obtiene: ${\displaystyle n={\frac {d+1}{2}},\ z={\frac {1}{\theta }}}$

Por eso,

O

La inversa de la constante de normalización da la función de partición. ${\displaystyle Z\equiv {\frac {1}{N}}:}$

Por tanto, la distribución normalizada es:

O se puede derivar la distribución normalizada en términos de:

Tenga en cuenta que se puede demostrar que coincide con la definición termodinámica de temperatura. ${\displaystyle \theta }$

También es útil la expresión de la distribución en el espacio de velocidades. ^[6] Teniendo en cuenta que , se tiene: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (\beta \gamma )}{\mathrm {d} \beta }}=\gamma ^{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}=p^{d-1}\mathrm {d} p\mathrm {d} \Omega _{d}&=(mc)^{d}\gamma ^{d-1}\beta ^{d-1}{\frac {\mathrm {d} (\beta \gamma )}{\mathrm {d} \beta }}\mathrm {d} \beta \mathrm {d} \Omega _{d}\\&=(mc)^{d}\gamma ^{d+2}\beta ^{d-1}{\text{dβd}}\Omega _{d}\\[1ex]&=(mc)^{d}\gamma ^{d+2}\mathrm {d} \beta _{1}\cdots \mathrm {d} \beta _{d}\end{aligned}}}$$

Por eso

Tomemos (el “caso clásico” de nuestro mundo): ${\displaystyle d=3}$

Y

Tenga en cuenta que cuando la distribución se desvía claramente de la distribución de la misma temperatura y dimensionalidad, se puede malinterpretar y deducir una distribución diferente que dará una buena aproximación a la distribución. Esta nueva distribución puede ser: ${\displaystyle {\text{MB}}}$ ${\displaystyle {\text{MJ}}}$ ${\displaystyle {\text{MB}}}$ ${\displaystyle {\text{MJ}}}$ ${\displaystyle {\text{MB}}}$

• una distribución convectiva , es decir, una distribución con la misma dimensionalidad, pero con diferente temperatura y velocidad total (o energía total ) ${\displaystyle {\text{MB}}}$ ${\displaystyle {\text{MB}}}$ ${\displaystyle T_{\text{MB}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{b}}$ ${\textstyle E_{b}\equiv {\frac {1}{2}}m\left(\mathbf {u} +\mathbf {u} _{b}\right)^{2}}$
• una distribución con la misma velocidad aparente, pero con diferente temperatura y grados de libertad . Se ilustran estos dos tipos de aproximaciones. ${\displaystyle {\text{MB}}}$ ${\displaystyle T_{\text{MB}}}$ ${\displaystyle d_{\text{MB}}}$

Otras propiedades

La función de densidad de probabilidad viene dada por: ${\displaystyle {\text{MJ}}}$

$${\displaystyle \operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\gamma )={\frac {1}{\theta \operatorname {K} _{2}\!\left({\frac {1}{\theta }}\right)}}\gamma ^{2}\,\beta (\gamma )e^{-{\gamma }/{\theta }}}$$

Esto significa que una partícula relativista no cuántica con parámetro tiene una probabilidad de tener su factor de Lorentz en el intervalo . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\gamma )\mathrm {d} \gamma }$ ${\displaystyle [\gamma ,\gamma +\mathrm {d} \gamma ]}$

La función de distribución acumulativa viene dada por: ${\displaystyle {\text{MJ}}}$

$${\displaystyle \operatorname {cdf} _{\text{MJ}}(\gamma )={\frac {1}{\theta \operatorname {K} _{2}\left({\dfrac {1}{\theta }}\right)}}\int _{1}^{\gamma }{\gamma ^{\prime }}^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{{\gamma ^{\prime }}^{2}}}}}\,e^{-\gamma '/\theta }\mathrm {d} \gamma '}$$

Eso tiene una expansión en serie en : ${\displaystyle \gamma =1}$

$${\displaystyle \operatorname {cdf} _{\text{MJ}}(\gamma )={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\frac {e^{-{1}/{\theta }}}{\theta \operatorname {K} _{2}\left({\frac {1}{\theta }}\right)}}{\sqrt {\gamma -1}}^{3}+{\frac {1}{5{\sqrt {2}}}}{\frac {(5\theta -4)e^{-{1}/{\theta }}}{\theta ^{2}\operatorname {K} _{2}\left({\frac {1}{\theta }}\right)}}{\sqrt {\gamma -1}}^{5}+{\mathcal {O}}\left({\sqrt {\gamma -1}}^{7}\right)}$$

Por definición , independientemente del parámetro . ${\displaystyle \lim _{\gamma \to \infty }\operatorname {cdf} _{\text{MJ}}(\gamma )=1}$ ${\displaystyle \theta }$

Para encontrar la velocidad promedio, se debe calcular donde es la velocidad en términos de su factor de Lorentz. La integral se simplifica a la expresión en forma cerrada: ${\displaystyle \langle v\rangle _{\text{MJ}}}$ ${\textstyle \int _{1}^{\infty }\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\gamma )\,v(\gamma )\,\mathrm {d} \gamma }$ ${\textstyle v(\gamma )=c{\sqrt {1-{1}/{\gamma ^{2}}}}}$

$${\displaystyle \langle v\rangle _{\text{MJ}}=2c{\frac {\theta (\theta +1)e^{-{1}/{\theta }}}{\operatorname {K} _{2}\left({\frac {1}{\theta }}\right)}}}$$

Esta fórmula cerrada tiene una expansión en serie en : ${\displaystyle \langle v\rangle _{\text{MJ}}}$ ${\displaystyle \theta =0}$

$${\displaystyle {\frac {1}{c}}\langle v\rangle _{\text{MJ}}={\sqrt {\frac {8}{\pi }}}{\sqrt {\theta }}-{\frac {7}{2{\sqrt {2\pi }}}}{\sqrt {\theta }}^{3}+{\mathcal {O}}\left({\sqrt {\theta }}^{5}\right)}$$

O sustituyendo la definición del parámetro  : ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \langle v\rangle _{\text{MJ}}={\sqrt {{\frac {8}{\pi }}{\frac {k_{\text{B}}T}{m}}\;}}-{\frac {7}{2{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {1}{c^{2}}}{\sqrt {{\frac {k_{\text{B}}T}{m}}\;}}^{3}+\cdots }$$

Donde el primer término de la expansión, que es independiente de , corresponde a la velocidad promedio en la distribución de Maxwell-Boltzmann, , mientras que los siguientes son correcciones relativistas. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \langle v\rangle _{\text{MB}}={\sqrt {{\frac {8}{\pi }}{\frac {k_{\text{B}}T}{m}}\;}}}$

Esta fórmula cerrada tiene una expansión en serie en : ${\displaystyle \langle v\rangle _{\text{MJ}}}$ ${\displaystyle \theta =\infty }$

$${\displaystyle {\frac {1}{c}}\langle v\rangle _{\text{MJ}}=1-{\frac {1}{4}}{\frac {1}{\theta ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\theta ^{3}}}\right)}$$

O sustituyendo la definición del parámetro : ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \langle v\rangle _{\text{MJ}}=c-{\frac {1}{4}}c^{5}{\frac {m^{2}}{{k_{\text{B}}}^{2}T^{2}}}+\cdots }$$

De donde se deduce que hay un límite superior para la velocidad de la partícula, algo que sólo está presente en un contexto relativista, y no en la distribución de Maxwell-Boltzmann. ${\displaystyle c}$

Referencias

 Este artículo incorpora texto de George Livadiotis disponible bajo la licencia CC BY 3.0.

1. Jüttner, F. (1911). "Das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung in der Relativtheorie". Annalen der Physik . 339 (5): 856–882. Código bibliográfico : 1911AnP...339..856J. doi : 10.1002/andp.19113390503.
2. Synge, JL (1957). El gas relativista . Serie en física. Holanda del Norte . LCCN  57003567.
3. Chacón-Acosta, Guillermo; Dagdug, Leonardo; Morales-Tecotl, Hugo A. (2009). "Sobre el teorema de equipartición y distribución de Jüttner manifiestamente covariante". Revisión física E. 81 (2 parte 1): 021126. arXiv : 0910.1625 . Código bibliográfico : 2010PhRvE..81b1126C. doi : 10.1103/PhysRevE.81.021126. PMID  20365549. S2CID  39195896.
4. Lázaro, M.; Stockem, A.; Schlickeiser, R. (3 de diciembre de 2010). "Hacia una caracterización relativistamente correcta de los plasmas de contracorriente. I. Funciones de distribución". La revista abierta de física del plasma . 3 (1).
5. Consulte los primeros párrafos en [1] para una discusión más amplia.
6. Dunkel, Jörn; Talkner, Peter; Hanggi, Peter (22 de mayo de 2007). "Entropía relativa, medidas de Haar y distribuciones de velocidad canónicas relativistas". Nueva Revista de Física . 9 (5): 144. arXiv : cond-mat/0610045 . Código bibliográfico : 2007NJPh....9..144D. doi :10.1088/1367-2630/9/5/144. ISSN  1367-2630. S2CID  15896453.