Distribución asintótica

Distribución de probabilidad a la que "convergen" las variables o distribuciones aleatorias

En matemáticas y estadística , una distribución asintótica es una distribución de probabilidad que, en cierto sentido, es la distribución "límite" de una secuencia de distribuciones. Uno de los principales usos de la idea de una distribución asintótica es proporcionar aproximaciones a las funciones de distribución acumulativa de los estimadores estadísticos .

Definición

Una secuencia de distribuciones corresponde a una secuencia de variables aleatorias Z _i para i = 1, 2, ..., I . En el caso más simple, existe una distribución asintótica si la distribución de probabilidad de Z _i converge a una distribución de probabilidad (la distribución asintótica) a medida que i aumenta: consulte convergencia en distribución . Un caso especial de una distribución asintótica es cuando la secuencia de variables aleatorias siempre es cero o Z _i = 0 a medida que i se acerca al infinito. Aquí la distribución asintótica es una distribución degenerada , que corresponde al valor cero.

Sin embargo, el sentido más habitual en el que se utiliza el término distribución asintótica surge cuando las variables aleatorias Z _i son modificadas por dos secuencias de valores no aleatorios. Por lo tanto, si

${\displaystyle Y_{i}={\frac {Z_{i}-a_{i}}{b_{i}}}}$

converge en distribución a una distribución no degenerada para dos secuencias { a _i } y { b _i }, entonces se dice que Z _i tiene esa distribución como su distribución asintótica. Si la función de distribución de la distribución asintótica es F , entonces, para n grande , se cumplen las siguientes aproximaciones

${\displaystyle P\left({\frac {Z_{n}-a_{n}}{b_{n}}}\leq x\right)\approx F(x),}$

${\displaystyle P(Z_{n}\leq z)\approx F\left({\frac {z-a_{n}}{b_{n}}}\right).}$

Si existe una distribución asintótica, no es necesariamente cierto que cualquier resultado de la secuencia de variables aleatorias sea una secuencia convergente de números. Es la secuencia de distribuciones de probabilidad la que converge.

Teorema del límite central

Quizás la distribución más común que surge como distribución asintótica es la distribución normal . En particular, el teorema del límite central proporciona un ejemplo en el que la distribución asintótica es la distribución normal .

Teorema del límite central

Supongamos que es una secuencia de variables aleatorias iid con y . Sea el promedio de . Entonces, a medida que se acerca al infinito, las variables aleatorias convergen en distribución a una normal : ^[1] ${\displaystyle \{X_{1},X_{2},\dots \}}$ ${\displaystyle \mathrm {E} [X_{i}]=\mu }$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}(S_{n}-\mu )}$ ${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$

El teorema del límite central sólo proporciona una distribución asintótica. Como aproximación para un número finito de observaciones, proporciona una aproximación razonable sólo cuando está cerca del pico de la distribución normal; requiere un número muy grande de observaciones para llegar a las colas.

Normalidad asintótica local

La normalidad asintótica local es una generalización del teorema del límite central. Es una propiedad de una secuencia de modelos estadísticos que permite que esta secuencia se aproxime asintóticamente mediante un modelo de ubicación normal , después de un reescalado del parámetro. Un ejemplo importante en el que se cumple la normalidad asintótica local es en el caso de un muestreo independiente e idénticamente distribuido a partir de un modelo paramétrico regular ; esto es simplemente el teorema del límite central.

Barndorff-Nielson y Cox proporcionan una definición directa de normalidad asintótica. ^[2]

Véase también

• Análisis asintótico
• Teoría asintótica (estadística)
• Teorema de De Moivre-Laplace
• Limitación de la densidad de puntos discretos
• Método delta

Referencias

1. Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida (tercera edición). John Wiley & Sons . pág. 357. ISBN 0-471-00710-2.
2. Barndorff-Nielsen, OE ; Cox, DR (1989). Técnicas asintóticas para uso en estadística. Chapman y Hall . ISBN 0-412-31400-2.