Desigualdad de Samuelson

Concepto en estadística

En estadística , la desigualdad de Samuelson , llamada así en honor al economista Paul Samuelson , ^[1] también llamada desigualdad de Laguerre-Samuelson , ^{[2] [3]} en honor al matemático Edmond Laguerre , establece que cada uno de cualquier conjunto x ₁ , ...,  x _n , está dentro de √ n  − 1 desviaciones estándar muestrales no corregidas de su media muestral.

Enunciado de la desigualdad

Si lo dejamos

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

sea ​​la media de la muestra y

${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$

sea ​​la desviación estándar de la muestra, entonces

${\displaystyle {\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}\qquad {\text{for }}j=1,\dots ,n.}$^[4]

La igualdad se cumple a la izquierda (o derecha) si y solo si todos los n  − 1 distintos de son iguales entre sí y mayores (menores) que ^[2] ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle x_{j}.}$

Si en cambio defines , la desigualdad aún se aplica y se puede ajustar ligeramente a ${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}}$ ${\displaystyle {\overline {x}}-s{\tfrac {n-1}{\sqrt {n}}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\tfrac {n-1}{\sqrt {n}}}.}$

Comparación con la desigualdad de Chebyshev

La desigualdad de Chebyshev ubica una determinada fracción de los datos dentro de ciertos límites, mientras que la desigualdad de Samuelson ubica todos los puntos de datos dentro de ciertos límites.

Los límites dados por la desigualdad de Chebyshev no se ven afectados por el número de puntos de datos, mientras que en el caso de la desigualdad de Samuelson los límites se relajan a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Por lo tanto, para conjuntos de datos lo suficientemente grandes, la desigualdad de Chebyshev es más útil.

Aplicaciones

La desigualdad de Samuelson tiene varias aplicaciones en estadística y matemáticas . Es útil en la studentización de residuos , lo que demuestra una razón por la cual este proceso debería realizarse externamente para comprender mejor la dispersión de residuos en el análisis de regresión .

En teoría de matrices , la desigualdad de Samuelson se utiliza para localizar los valores propios de ciertas matrices y tensores.

Además, las generalizaciones de esta desigualdad se aplican a datos complejos y variables aleatorias en un espacio de probabilidad . ^{[5] [6]}

Relación con polinomios

Samuelson no fue el primero en describir esta relación: el primero fue probablemente Laguerre en 1880 mientras investigaba las raíces (ceros) de los polinomios . ^{[2] [7]}

Consideremos un polinomio con todas las raíces reales:

${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0}$

Sin pérdida de generalidad, dejemos y dejemos ${\displaystyle a_{0}=1}$

${\displaystyle t_{1}=\sum x_{i}}$y ${\displaystyle t_{2}=\sum x_{i}^{2}}$

Entonces

${\displaystyle a_{1}=-\sum x_{i}=-t_{1}}$

y

${\displaystyle a_{2}=\sum x_{i}x_{j}={\frac {t_{1}^{2}-t_{2}}{2}}\qquad {\text{ where }}i<j}$

En términos de los coeficientes

${\displaystyle t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}}$

Laguerre demostró que las raíces de este polinomio estaban limitadas por

${\displaystyle -a_{1}/n\pm b{\sqrt {n-1}}}$

dónde

${\displaystyle b={\frac {\sqrt {nt_{2}-t_{1}^{2}}}{n}}={\frac {\sqrt {na_{1}^{2}-a_{1}^{2}-2na_{2}}}{n}}}$

La inspección muestra que es la media de las raíces y que b es la desviación estándar de las raíces. ${\displaystyle -{\tfrac {a_{1}}{n}}}$

Laguerre no se percató de esta relación con las medias y las desviaciones típicas de las raíces, ya que estaba más interesado en los límites en sí. Esta relación permite una estimación rápida de los límites de las raíces y puede ser útil para localizarlas.

Cuando los coeficientes y son ambos cero, no se puede obtener información sobre la ubicación de las raíces, porque no todas las raíces son reales (como se puede ver en la regla de los signos de Descartes ) a menos que el término constante también sea cero. ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$

Referencias

1. Samuelson, Paul (1968). "¿Hasta qué punto se puede ser desviado?". Journal of the American Statistical Association . 63 (324): 1522–1525. doi :10.2307/2285901. JSTOR  2285901.
2. Jensen, Shane Tyler (1999). La desigualdad de Laguerre-Samuelson con extensiones y aplicaciones en estadística y teoría de matrices (PDF) (MSc). Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad McGill .
3. Jensen, Shane T.; Styan, George PH (1999). "Algunos comentarios y una bibliografía sobre la desigualdad de Laguerre-Samuelson con extensiones y aplicaciones en estadística y teoría de matrices". Desigualdades analíticas y geométricas y aplicaciones . págs. 151–181. doi :10.1007/978-94-011-4577-0_10. ISBN 978-94-010-5938-1.
4. Barnett, Neil S.; Dragomir, Sever Silvestru (2008). Avances en desigualdades desde la teoría de la probabilidad y la estadística . Nova Publishers. pág. 164. ISBN 978-1-60021-943-6.
5. JIN, HONGWEI; BEN´ITEZ, JULIO (2017). "Algunas generalizaciones y versiones probabilísticas de la desigualdad de Samuelson" (PDF) . Mathematical Inequalities & Applications : 1–12. doi :10.7153/mia-20-01 . Consultado el 4 de septiembre de 2024 .
6. Demuynck, Thomas; Hjertstrand, Per (2019). "El enfoque de Samuelson sobre la teoría de la preferencia revelada: algunos avances recientes" (PDF) . Paul Samuelson . Remaking Economics: Eminent Post-War Economists. págs. 193-227. doi :10.1057/978-1-137-56812-0_9. ISBN 978-1-137-56811-3.
7. Laguerre E. (1880) Mémoire pour obtenir par approximation les racines d'une équation algébrique qui a toutes les racines réelles. Nouv Ann Math 2 ^y serie, 19, 161–172, 193–202