Desigualdad de Bendixson

En matemáticas, la desigualdad de Bendixson es un resultado cuantitativo en el campo de las matrices derivado por Ivar Bendixson en 1902. ^{[1] [2]} La desigualdad pone límites a las partes imaginarias y reales de las raíces características (valores propios) de matrices reales. ^[3] Un caso especial de esta desigualdad conduce al resultado de que las raíces características de una matriz simétrica real son siempre reales.

La desigualdad relativa a las partes imaginarias de las raíces características de matrices reales (Teorema I en ^[1] ) se enuncia como:

Sea una matriz real y . Si es cualquier raíz característica de , entonces ${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \alpha =\max _{1\leq i,j\leq n}{\frac {1}{2}}\left|a_{ij}-a_{ji}\right|}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left|\operatorname {Im} (\lambda )\right|\leq \alpha {\sqrt {\frac {n(n-1)}{2}}}.\,{}}$^[4]

Si es simétrico entonces y en consecuencia la desigualdad implica que debe ser real. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \lambda }$

La desigualdad relativa a las partes reales de las raíces características de las matrices reales (Teorema II en ^[1] ) se enuncia como:

Sean y las raíces características más pequeñas y más grandes de , entonces ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tfrac {A+A^{H}}{2}}}$

${\displaystyle m\leq \operatorname {Re} (\lambda )\leq M}$.

Véase también

• Teorema del círculo de Gershgorin

Referencias

1. Bendixson, Ivar (1902). "Sur les racines d'une équation fondamentale". Acta Matemática . 25 : 359–365. doi : 10.1007/bf02419030 . ISSN  0001-5962. S2CID  121330188.
2. Mirsky, L. (3 de diciembre de 2012). Introducción al álgebra lineal. Courier Corporation. pág. 210. ISBN 9780486166445. Recuperado el 14 de octubre de 2018 .
3. Farnell, AB (1944). "Límites para las raíces características de una matriz". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 50 (10): 789–794. doi : 10.1090/s0002-9904-1944-08239-6 . ISSN  0273-0979.
4. Axelsson, Owe (29 de marzo de 1996). Métodos de solución iterativos. Cambridge University Press. pág. 633. ISBN 9780521555692. Recuperado el 14 de octubre de 2018 .