La curiosa identidad del sol

Identidad que involucra coeficientes binomiales, establecida por primera vez por Zhi-Wei Sun en 2002

En combinatoria , la curiosa identidad de Sun es la siguiente identidad que involucra coeficientes binomiales , establecida por primera vez por Zhi-Wei Sun en 2002:

${\displaystyle (x+m+1)\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}{\dbinom {x+y+i}{m-i}}{\dbinom {y+2i}{i}}-\sum _{i=0}^{m}{\dbinom {x+i}{m-i}}(-4)^{i}=(x-m){\dbinom {x}{m}}.}$

Pruebas

Después de que Sun publicara esta identidad en 2002, varios matemáticos obtuvieron otras cinco pruebas:

• Prueba de Panholzer y Prodinger mediante funciones generadoras ;
• Prueba de Merlini y Sprugnoli utilizando matrices de Riordan ;
• Prueba de Ekhad y Mohammed por el método WZ ;
• Prueba de Chu y Claudio con la ayuda de la fórmula de Jensen ;
• Prueba combinatoria de Callan que involucra dominós y coloraciones.

Referencias

• Callan, D. (2004), "Una prueba combinatoria de la 'curiosa' identidad de Sun" (PDF) , INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory , 4 : A05, arXiv : math.CO/0401216 , Bibcode :2004math......1216C.

• Chu, W.; Claudio, LVD (2003), "Prueba de Jensen de una curiosa identidad binomial" (PDF) , INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory , 3 : A20.

• Ekhad, SB ; Mohammed, M. (2003), "Una prueba WZ de una identidad 'curiosa'" (PDF) , INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory , 3 : A06.

• Merlini, D.; Sprugnoli, R. (2002), "Una prueba de matriz de Riordan de una identidad curiosa" (PDF) , INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory , 2 : A08.

• Panholzer, A.; Prodinger, H. (2002), "Una prueba de funciones generadoras de una identidad curiosa" (PDF) , INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory , 2 : A06.

• Sun, Zhi-Wei (2002), "Una identidad curiosa que involucra coeficientes binomiales" (PDF) , INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory , 2 : A04.

• Sun, Zhi-Wei (2008), "Sobre sumas de coeficientes binomiales y sus aplicaciones", Discrete Mathematics , 308 (18): 4231–4245, arXiv : math.NT/0404385 , doi :10.1016/j.disc.2007.08.046, S2CID  14089498.