Coeficiente de correlación de rangos de Spearman

Medida no paramétrica de correlación de rangos

Una correlación de Spearman de resultados se produce cuando las dos variables que se comparan están relacionadas de forma monótona, incluso si su relación no es lineal. Esto significa que todos los puntos de datos con valores mayores que el de un punto de datos dado también tendrán valores mayores. Por el contrario, esto no da una correlación de Pearson perfecta. ${\textstyle 1}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$

Cuando los datos están distribuidos de forma aproximadamente elíptica y no hay valores atípicos prominentes, la correlación de Spearman y la correlación de Pearson dan valores similares.

La correlación de Spearman es menos sensible que la correlación de Pearson a los valores atípicos fuertes que se encuentran en las colas de ambas muestras. Esto se debe a que la ρ de Spearman limita el valor atípico al valor de su rango.

En estadística , el coeficiente de correlación de rango de Spearman o ρ de Spearman , llamado así por Charles Spearman ^[1] y a menudo denotado por la letra griega (rho) o como , es una medida no paramétrica de correlación de rango ( dependencia estadística entre las clasificaciones de dos variables ). Evalúa qué tan bien se puede describir la relación entre dos variables utilizando una función monótona . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r_{s}}$

La correlación de Spearman entre dos variables es igual a la correlación de Pearson entre los valores de rango de esas dos variables; mientras que la correlación de Pearson evalúa las relaciones lineales, la correlación de Spearman evalúa las relaciones monótonas (sean lineales o no). Si no hay valores de datos repetidos, se produce una correlación de Spearman perfecta de +1 o -1 cuando cada una de las variables es una función monótona perfecta de la otra.

Intuitivamente, la correlación de Spearman entre dos variables será alta cuando las observaciones tengan un rango similar (o idéntico para una correlación de 1) (es decir, etiqueta de posición relativa de las observaciones dentro de la variable: 1.º, 2.º, 3.º, etc.) entre las dos variables, y baja cuando las observaciones tengan un rango diferente (o completamente opuesto para una correlación de -1) entre las dos variables.

El coeficiente de Spearman es apropiado tanto para variables ordinales continuas como discretas . ^{[2] [3]} Tanto el de Spearman como el de Kendall pueden formularse como casos especiales de un coeficiente de correlación más general . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \tau }$

Aplicaciones

El coeficiente se puede utilizar para determinar qué tan bien se ajustan los datos a un modelo, ^[4] como cuando se determina la similitud de documentos de texto. ^[5]

Definición y cálculo

El coeficiente de correlación de Spearman se define como el coeficiente de correlación de Pearson entre las variables de rango . ^[6]

Para una muestra de tamaño, los pares de puntuaciones brutas se convierten en rangos y se calculan como ${\displaystyle \ n\ ,}$ ${\displaystyle \ n\ }$ ${\displaystyle \ \left(X_{i},Y_{i}\right)\ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {R} [{X_{i}}],\operatorname {R} [{Y_{i}}]\ ,}$ ${\displaystyle \ r_{s}\ }$

${\displaystyle r_{s}=\operatorname {\rho } {\bigl [}\ \operatorname {R} [X],\operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}={\frac {\ \operatorname {\mathsf {cov}} {\bigl [}\ \operatorname {R} [X],\operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}\ }{\ \sigma _{\operatorname {R} [X]}\ \sigma _{\operatorname {R} [Y]}\ }},}$

dónde

${\displaystyle \operatorname {\rho } \ }$denota el operador de coeficiente de correlación de Pearson convencional , pero aplicado a las variables de rango,

${\displaystyle \operatorname {\mathsf {cov}} {\bigl [}\ \operatorname {R} [X],\operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}\ }$es la covarianza de las variables de rango,

${\displaystyle \sigma _{\operatorname {R} [X]}\ }$y son las desviaciones estándar de las variables de rango. ${\displaystyle \ \sigma _{\operatorname {R} [Y]}\ }$

Sólo cuando todos los rangos son números enteros distintos (sin empates), se puede calcular utilizando la fórmula popular ${\displaystyle \ n\ }$

${\displaystyle r_{s}=1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{\ n\left(n^{2}-1\right)\ }}\ ,}$

dónde

${\displaystyle d_{i}\equiv \operatorname {R} [X_{i}]-\operatorname {R} [Y_{i}]\ }$es la diferencia entre los dos rangos de cada observación,

${\displaystyle \ n\ }$es el número de observaciones.

[Prueba]

Considere una muestra bivariada con pares de rangos correspondientes. Entonces, el coeficiente de correlación de Spearman de es ${\displaystyle \ (X_{i},Y_{i})\ ,\ i=1,\ldots \ n\ }$ ${\displaystyle \ \left(\operatorname {R} [X_{i}],\operatorname {R} [Y_{i}]\right)=(R_{i},S_{i})~.}$ ${\displaystyle \ (X,Y)\ }$

${\displaystyle r_{s}={\frac {{\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}R_{i}\ S_{i}-{\overline {R}}\ {\overline {S}}}{\sigma _{R}\sigma _{S}}}\ ,}$

donde, como de costumbre,

${\displaystyle {\overline {R}}=\textstyle {\frac {\ 1\ }{n}}\ \textstyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}\ ,}$

${\displaystyle {\overline {S}}=\textstyle {\frac {\ 1\ }{n}}\ \textstyle \sum _{i=1}^{n}S_{i}\ ,}$

${\displaystyle \sigma _{R}^{2}=\textstyle {\frac {\ 1\ }{n}}\ \textstyle \sum _{i=1}^{n}\left(R_{i}-{\overline {R}}\right)^{2}\ ,}$

y

${\displaystyle \sigma _{S}^{2}=\textstyle {\frac {\ 1\ }{n}}\ \textstyle \sum _{i=1}^{n}\left(S_{i}-{\overline {S}}\right)^{2}~.}$

Demostraremos que puede expresarse puramente en términos de siempre que supongamos que no hay vínculos dentro de cada muestra. ${\displaystyle \ r_{s}\ }$ ${\displaystyle \ d_{i}\equiv R_{i}-S_{i}\ ,}$

Bajo este supuesto, tenemos que pueden verse como variables aleatorias distribuidas como una variable aleatoria discreta uniformemente distribuida, en Por lo tanto y donde ${\displaystyle \ R,S\ }$ ${\displaystyle \ U\ ,}$ ${\displaystyle \ \{\ 1,2,\ \ldots ,\ n\ \}~.}$ ${\displaystyle \ {\overline {R}}={\overline {S}}=\operatorname {\mathbb {E} } \left[\ U\ \right]\ }$ ${\displaystyle \ \sigma _{R}^{2}=\sigma _{S}^{2}=\operatorname {\mathsf {Var}} \left[\ U\ \right]=\operatorname {\mathbb {E} } \left[\ U^{2}\ \right]-\operatorname {\mathbb {E} } \left[\ U\ \right]^{2}\ ,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[\ U\ \right]=\textstyle {\frac {\ 1\ }{n}}\ \textstyle \sum _{i=1}^{n}i=\textstyle {\frac {\ n+1\ }{2}}\ ,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[\ U^{2}\ \right]=\textstyle {\frac {\ 1\ }{n}}\ \textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=\textstyle {\frac {\ \left(n+1\right)\left(2n+1\right)\ }{6}}\ ,}$

y por lo tanto

${\displaystyle \operatorname {\mathsf {var}} \left[\ U\right]=\textstyle {\frac {\ \left(n+1\right)\ \left(2n+1\right)\ }{6}}-\left(\textstyle {\frac {\ n+1\ }{2}}\right)^{2}=\textstyle {\frac {\ n^{2}-1\ }{12}}~.}$

(Estas sumas se pueden calcular utilizando las fórmulas para los números triangulares y los números piramidales cuadrados , o los resultados de suma básica del cálculo umbral ).

Observe ahora que

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\ 1\ }{n}}\ &\sum _{i=1}^{n}R_{i}S_{i}-{\overline {R}}{\overline {S}}\\&={\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}{\frac {\ 1\ }{2}}\left(R_{i}^{2}+S_{i}^{2}-d_{i}^{2}\right)-{\overline {R}}^{2}\\&={\frac {\ 1\ }{2}}{\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}+{\frac {\ 1\ }{2}}{\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}S_{i}^{2}-{\frac {\ 1\ }{2n}}\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}-{\overline {R}}^{2}\\&=\left({\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}-{\overline {R}}^{2}\right)-{\frac {\ 1\ }{2n}}\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\&=\sigma _{R}^{2}-{\frac {\ 1\ }{2n}}\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\&=\sigma _{R}\ \sigma _{S}-{\frac {\ 1\ }{2n}}\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\\end{aligned}}}$

Juntando todo esto obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{s}&={\frac {\ \sigma _{R}\ \sigma _{S}-{\frac {\ 1\ }{2n}}\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\ }{\sigma _{R}\ \sigma _{S}}}\\&=1-{\frac {\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\ }{2n\cdot {\frac {\ n^{2}-1\ }{12}}}}\\&=1-{\frac {\ 6\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{\ n(n^{2}-1)\ }}~.\end{aligned}}}$

A los valores idénticos se les asignan generalmente ^[7] rangos fraccionarios iguales al promedio de sus posiciones en el orden ascendente de los valores, lo que equivale a promediar todas las permutaciones posibles.

Si hay empates en el conjunto de datos, la fórmula simplificada anterior arroja resultados incorrectos: solo si en ambas variables todos los rangos son distintos, entonces (calculado de acuerdo con la varianza sesgada). La primera ecuación (normalización por la desviación estándar) puede utilizarse incluso cuando los rangos están normalizados a [0, 1] ("rangos relativos") porque es insensible tanto a la traducción como al escalamiento lineal. ${\displaystyle \ \sigma _{\operatorname {R} [X]}\ \sigma _{\operatorname {R} [Y]}=}$ ${\displaystyle \ \operatorname {{\mathsf {v}}ar} {\bigl [}\ \operatorname {R} [X]\ {\bigr ]}=}$ ${\displaystyle \ \operatorname {{\mathsf {v}}ar} {\bigl [}\ \operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}=}$ ${\displaystyle \ {\tfrac {\ 1\ }{12}}\left(n^{2}-1\right)\ }$

El método simplificado tampoco debe utilizarse en casos en que el conjunto de datos esté truncado; es decir, cuando se desea el coeficiente de correlación de Spearman para los X registros principales (ya sea por rango previo al cambio o por rango posterior al cambio, o ambos), el usuario debe utilizar la fórmula del coeficiente de correlación de Pearson indicada anteriormente. ^[8]

Cantidades relacionadas

Existen otras medidas numéricas que cuantifican el grado de dependencia estadística entre pares de observaciones. La más común de ellas es el coeficiente de correlación producto-momento de Pearson , que es un método de correlación similar al rango de Spearman, que mide las relaciones “lineales” entre los números brutos en lugar de entre sus rangos.

Un nombre alternativo para la correlación de rangos de Spearman es “correlación de grado”; ^[9] en este caso, el “rango” de una observación se reemplaza por el “grado”. En distribuciones continuas, el grado de una observación es, por convención, siempre la mitad menor que el rango, y por lo tanto las correlaciones de grado y rango son las mismas en este caso. De manera más general, el “grado” de una observación es proporcional a una estimación de la fracción de una población menor que un valor dado, con el ajuste de la mitad de la observación en los valores observados. Por lo tanto, esto corresponde a un posible tratamiento de los rangos empatados. Si bien es inusual, el término “correlación de grado” todavía se usa. ^[10]

Interpretación

Correlaciones de rangos de Spearman positivas y negativas

El signo de la correlación de Spearman indica la dirección de asociación entre X (la variable independiente) e Y (la variable dependiente). Si Y tiende a aumentar cuando X aumenta, el coeficiente de correlación de Spearman es positivo. Si Y tiende a disminuir cuando X aumenta, el coeficiente de correlación de Spearman es negativo. Una correlación de Spearman de cero indica que no hay tendencia a que Y aumente o disminuya cuando X aumenta. La correlación de Spearman aumenta en magnitud a medida que X e Y se acercan a ser funciones perfectamente monótonas entre sí. Cuando X e Y están perfectamente relacionadas de manera monótona, el coeficiente de correlación de Spearman se convierte en 1. Una relación creciente perfectamente monótona implica que para dos pares cualesquiera de valores de datos X _i , Y _i y X _j , Y _j , que X _i − X _j y Y _i − Y _j siempre tienen el mismo signo. Una relación decreciente perfectamente monótona implica que estas diferencias siempre tienen signos opuestos.

El coeficiente de correlación de Spearman se describe a menudo como "no paramétrico". Esto puede tener dos significados. En primer lugar, una correlación de Spearman perfecta resulta cuando X e Y están relacionados por cualquier función monótona . Compárese esto con la correlación de Pearson, que solo da un valor perfecto cuando X e Y están relacionados por una función lineal . El otro sentido en el que la correlación de Spearman es no paramétrica es que su distribución de muestreo exacta se puede obtener sin requerir conocimiento (es decir, conocer los parámetros) de la distribución de probabilidad conjunta de X e Y.

Ejemplo

En este ejemplo, los datos brutos arbitrarios de la tabla siguiente se utilizan para calcular la correlación entre el coeficiente intelectual de una persona y el número de horas que pasa frente al televisor por semana [se utilizan valores ficticios].

En primer lugar, evalúe . Para ello, siga los pasos que se indican a continuación, reflejados en la tabla siguiente. ${\displaystyle d_{i}^{2}}$

1. Ordena los datos por la primera columna ( ). Crea una nueva columna y asígnale los valores clasificados 1, 2, 3, ..., n . ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$
2. A continuación, ordena los datos aumentados (con ) por la segunda columna ( ). Crea una cuarta columna y asígnale de manera similar los valores clasificados 1, 2, 3, ..., n . ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$
3. Crea una quinta columna para contener las diferencias entre las dos columnas de rango ( y ). ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$
4. Crea una columna final para contener el valor de la columna al cuadrado. ${\displaystyle d_{i}^{2}}$ ${\displaystyle d_{i}}$

Con encontrado, súmelos para encontrar . El valor de n es 10. Ahora, estos valores se pueden sustituir nuevamente en la ecuación. ${\displaystyle d_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \sum d_{i}^{2}=194}$

${\displaystyle \rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}}$

dar

${\displaystyle \rho =1-{\frac {6\times 194}{10(10^{2}-1)}},}$

que evalúa a ρ = −29/165 = −0,175757575... con un valor p = 0,627188 (usando la distribución t ).

Gráfica de los datos presentados. Se puede observar que podría existir una correlación negativa, pero que la relación no parece definitiva.

El hecho de que el valor sea cercano a cero muestra que la correlación entre el CI y las horas dedicadas a ver televisión es muy baja, aunque el valor negativo sugiere que cuanto mayor es el tiempo dedicado a ver televisión, menor es el CI. En caso de empates en los valores originales, no se debe utilizar esta fórmula; en su lugar, se debe calcular el coeficiente de correlación de Pearson sobre los rangos (donde los empates reciben rangos, como se ha descrito anteriormente).

Intervalos de confianza

Los intervalos de confianza para ρ de Spearman se pueden obtener fácilmente utilizando el enfoque de verosimilitud euclidiana de Jackknife en de Carvalho y Marques (2012). ^[11] El intervalo de confianza con nivel se basa en un teorema de Wilks dado en el último artículo, y se da por ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \left\{\theta :{\frac {\{\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-\theta )\}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-\theta )^{2}}}\leq \chi _{1,\alpha }^{2}\right\},}$

donde es el cuartil de una distribución de chi-cuadrado con un grado de libertad, y son pseudovalores de tipo jackknife. Este enfoque se implementa en el paquete R spearmanCI. ${\displaystyle \chi _{1,\alpha }^{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle Z_{i}}$

Determinación de la importancia

Un método para comprobar si un valor observado de ρ es significativamente diferente de cero ( r siempre mantendrá −1 ≤ r ≤ 1 ) es calcular la probabilidad de que sea mayor o igual que el r observado , dada la hipótesis nula , mediante una prueba de permutación . Una ventaja de este método es que tiene en cuenta automáticamente la cantidad de valores de datos empatados en la muestra y la forma en que se tratan al calcular la correlación de rango.

Otro enfoque es paralelo al uso de la transformación de Fisher en el caso del coeficiente de correlación producto-momento de Pearson. Es decir, los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis relacionadas con el valor de la población ρ se pueden realizar utilizando la transformación de Fisher:

${\displaystyle F(r)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+r}{1-r}}=\operatorname {arctanh} r.}$

Si F ( r ) es la transformación de Fisher de r , el coeficiente de correlación de rango de Spearman de la muestra, y n es el tamaño de la muestra, entonces

${\displaystyle z={\sqrt {\frac {n-3}{1.06}}}F(r)}$

es una puntuación z para r , que sigue aproximadamente una distribución normal estándar bajo la hipótesis nula de independencia estadística ( ρ = 0 ). ^{[12] [13]}

También se puede probar la significancia usando

${\displaystyle t=r{\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}},}$

que se distribuye aproximadamente como una distribución t de Student con n − 2 grados de libertad bajo la hipótesis nula . ^[14] Una justificación para este resultado se basa en un argumento de permutación. ^[15]

Una generalización del coeficiente de Spearman es útil en situaciones en las que hay tres o más condiciones, se observa a varios sujetos en cada una de ellas y se predice que las observaciones tendrán un orden particular. Por ejemplo, se puede dar a varios sujetos tres ensayos de la misma tarea y se predice que el desempeño mejorará de ensayo en ensayo. EB Page ^[16] desarrolló una prueba de la significancia de la tendencia entre condiciones en esta situación , que generalmente se conoce como prueba de tendencia de Page para alternativas ordenadas.

Análisis de correspondencia basado en Spearmanρ

El análisis de correspondencias clásico es un método estadístico que otorga una puntuación a cada valor de dos variables nominales, de esta forma se maximiza el coeficiente de correlación de Pearson entre ellas.

Existe un equivalente de este método, llamado análisis de correspondencia de grados, que maximiza el ρ de Spearman o el τ de Kendall . ^[17]

Aproximación de SpearmanρDe un arroyo

Existen dos enfoques existentes para aproximar el coeficiente de correlación de rango de Spearman a partir de datos de streaming. ^{[18] [19]} El primer enfoque ^[18] implica hacer más gruesa la distribución conjunta de . Para valores continuos: se seleccionan puntos de corte para y respectivamente, discretizando estas variables aleatorias. Los puntos de corte predeterminados se agregan en y . Luego se construye una matriz de conteo de tamaño , denotada , donde almacena el número de observaciones que caen en la celda bidimensional indexada por . Para datos de streaming, cuando llega una nueva observación, se incrementa el elemento apropiado. Luego se puede calcular la correlación de rango de Spearman, en función de la matriz de conteo , utilizando operaciones de álgebra lineal (Algoritmo 2 ^[18] ). Tenga en cuenta que para variables aleatorias discretas, no es necesario ningún procedimiento de discretización. Este método es aplicable a datos de streaming estacionarios, así como a grandes conjuntos de datos. Para datos de streaming no estacionarios, donde el coeficiente de correlación de rango de Spearman puede cambiar con el tiempo, se puede aplicar el mismo procedimiento, pero a una ventana móvil de observaciones. Al utilizar una ventana móvil, los requisitos de memoria crecen linealmente con el tamaño de ventana elegido. ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle (m_{1}+1)\times (m_{2}+1)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M[i,j]}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle M[i,j]}$ ${\displaystyle M}$

El segundo enfoque para aproximar el coeficiente de correlación de rango de Spearman a partir de datos de transmisión implica el uso de estimadores basados ​​en series de Hermite. ^[19] Estos estimadores, basados ​​en polinomios de Hermite , permiten la estimación secuencial de la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa en casos univariados y bivariados. Los estimadores de densidad de series de Hermite bivariados y los estimadores de función de distribución acumulativa basados ​​en series de Hermite univariadas se conectan a una versión de muestra grande del estimador del coeficiente de correlación de rango de Spearman, para dar un estimador de correlación de Spearman secuencial. Este estimador está expresado en términos de operaciones de álgebra lineal para eficiencia computacional (ecuación (8) y algoritmo 1 y 2 ^[19] ). Estos algoritmos solo son aplicables a datos de variables aleatorias continuas, pero tienen ciertas ventajas sobre el enfoque de matriz de conteo en este entorno. La primera ventaja es una precisión mejorada cuando se aplica a grandes cantidades de observaciones. La segunda ventaja es que el coeficiente de correlación de rango de Spearman se puede calcular en flujos no estacionarios sin depender de una ventana móvil. En cambio, el estimador basado en la serie de Hermite utiliza un esquema de ponderación exponencial para rastrear la correlación de rango de Spearman que varía con el tiempo a partir de datos de flujo, que tiene requisitos de memoria constantes con respecto al tamaño "efectivo" de la ventana móvil. Existe una implementación de software de estos algoritmos basados ​​en la serie de Hermite ^[20] y se analiza en Implementaciones de software.

Implementaciones de software

• El paquete base de estadísticas de Rcor(x, y, method = "spearman") implementa la prueba cor.test(x, y, method = "spearman") en su paquete "stats" (también funcionará. El paquete spearmanCI calcula intervalos de confianza. El paquete hermiter ^[20] calcula estimaciones rápidas por lotes de la correlación de Spearman junto con estimaciones secuenciales (es decir, estimaciones que se actualizan de manera en línea/incremental a medida que se incorporan nuevas observaciones).
• Implementación de Stata : calcula todos los coeficientes de correlación por pares para todas las variables en varlist . spearman varlist
• Implementación de MATLAB : [r,p] = corr(x,y,'Type','Spearman')donde res el coeficiente de correlación de rango de Spearman, pes el valor p y xy yson vectores. ^[21]
• Python tiene muchas implementaciones diferentes de la estadística de correlación de Spearman: se puede calcular con la función spearmanr del scipy.statsmódulo, así como con el DataFrame.corr(method='spearman')método de la biblioteca pandas y la corr(x, y, method='spearman')función del paquete estadístico pingouin.

Véase también

• Portal de matemáticas

• Coeficiente de correlación de rango tau de Kendall
• Desigualdad de suma de Chebyshev , desigualdad de reordenamiento (Estos dos artículos pueden arrojar luz sobre las propiedades matemáticas de  ρ de Spearman ).
• Correlación de distancia
• Correlación policórica

Referencias

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2. Tipos de escala .
3. Lehman, Ann (2005). Jmp para estadísticas univariadas y multivariadas básicas: una guía paso a paso . Cary, NC: SAS Press. p. 123. ISBN 978-1-59047-576-8.
4. Royal Geographic Society. "Una guía para el rango de Spearman" (PDF) .
5. Nino Arsov; Milan Dukovski; Milan Dukovski; Blagoja Evkoski (noviembre de 2019). "Una medida de similitud en datos textuales utilizando el coeficiente de correlación de rangos de Spearman".
6. Myers, Jerome L.; Well, Arnold D. (2003). Diseño de investigación y análisis estadístico (2.ª ed.). Lawrence Erlbaum. pp. 508. ISBN 978-0-8058-4037-7.
7. Esquivar, Yadolah, ed. (2010). La enciclopedia concisa de estadística . Nueva York, Nueva York: Springer-Verlag. pag. 502.ISBN​ 978-0-387-31742-7.
8. Al Jaber, Ahmed Odeh; Elayyan, Haifaa Omar (2018). Hacia la garantía de calidad y la excelencia en la educación superior . River Publishers. pág. 284. ISBN 978-87-93609-54-9.
9. Yule, GU; Kendall, MG (1968) [1950]. Introducción a la teoría de la estadística (14.ª ed.). Charles Griffin & Co., pág. 268.
10. Piantadosi, J.; Howlett, P.; Boland, J. (2007). "Coincidencia del coeficiente de correlación de grado utilizando una cópula con máximo desorden". Journal of Industrial and Management Optimization . 3 (2): 305–312. doi : 10.3934/jimo.2007.3.305 .
11. de Carvalho, M.; Marques, F. (2012). "Inferencia basada en verosimilitud euclidiana de Jackknife para rho de Spearman" (PDF) . Revista Actuarial de América del Norte . 16 (4): 487‒492. doi :10.1080/10920277.2012.10597644. S2CID  55046385.
12. Choi, SC (1977). "Pruebas de igualdad de coeficientes de correlación dependientes". Biometrika . 64 (3): 645–647. doi :10.1093/biomet/64.3.645.
13. Fieller, EC; Hartley, HO; Pearson, ES (1957). "Pruebas para coeficientes de correlación de rangos. I". Biometrika . 44 (3–4): 470–481. CiteSeerX 10.1.1.474.9634 . doi :10.1093/biomet/44.3-4.470. 
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19. Stephanou, Michael; Varughese, Melvin (julio de 2021). "Estimación secuencial de la correlación de rangos de Spearman utilizando estimadores de series de Hermite". Revista de análisis multivariante . 186 : 104783. arXiv : 2012.06287 . doi :10.1016/j.jmva.2021.104783. S2CID:  235742634.
20. Stephanou, M. y Varughese, M (2023). "Hermiter: paquete R para estimación secuencial no paramétrica". Estadística computacional . arXiv : 2111.14091 . doi :10.1007/s00180-023-01382-0. S2CID  244715035.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
21. "Correlación lineal o de rango - MATLAB corr". www.mathworks.com .

Lectura adicional

• Corder, G. W. y Foreman, D. I. (2014). Estadísticas no paramétricas: un enfoque paso a paso, Wiley. ISBN 978-1118840313 . 
• Daniel, Wayne W. (1990). "Coeficiente de correlación de rangos de Spearman". Applied Nonparametric Statistics (2.ª ed.). Boston: PWS-Kent. págs. 358–365. ISBN 978-0-534-91976-4.
• Spearman C. (1904). "La prueba y medición de la asociación entre dos cosas". Revista Americana de Psicología . 15 (1): 72–101. doi :10.2307/1412159. JSTOR  1412159.
• Bonett DG, Wright, TA (2000). "Requisitos de tamaño de muestra para las correlaciones de Pearson, Kendall y Spearman". Psychometrika . 65 : 23–28. doi :10.1007/bf02294183. S2CID  120558581.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Kendall MG (1970). Métodos de correlación de rangos (4.ª ed.). Londres: Griffin. ISBN 978-0-852-6419-96.OCLC 136868  .
• Hollander M., Wolfe DA (1973). Métodos estadísticos no paramétricos . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-40635-8.OCLC 520735  .
• Caruso JC, Cliff N. (1997). "Tamaño empírico, cobertura y potencia de los intervalos de confianza para la Rho de Spearman". Medición educativa y psicológica . 57 (4): 637–654. doi :10.1177/0013164497057004009. S2CID  120481551.

Enlaces externos

• Tabla de valores críticos de ρ para significación con muestras pequeñas
• Coeficiente de correlación de rango de Spearman – Guía de Excel: datos de muestra y fórmulas para Excel, desarrollado por la Royal Geographical Society .