Conversión de coordenadas geográficas

Descripción general de las fórmulas de conversión de GPS

En geodesia , la conversión entre diferentes sistemas de coordenadas geográficas se hace necesaria debido a los diferentes sistemas de coordenadas geográficas que se utilizan en todo el mundo y a lo largo del tiempo. La conversión de coordenadas se compone de varios tipos diferentes de conversión: cambio de formato de coordenadas geográficas, conversión de sistemas de coordenadas o transformación a diferentes datos geodésicos . La conversión de coordenadas geográficas tiene aplicaciones en cartografía , topografía , navegación y sistemas de información geográfica .

En geodesia, la conversión de coordenadas geográficas se define como la traducción entre diferentes formatos de coordenadas o proyecciones de mapas, todos referenciados al mismo datum geodésico. ^{[1] Una} transformación de coordenadas geográficas es una traducción entre diferentes datos geodésicos. En este artículo se considerarán tanto la conversión como la transformación de coordenadas geográficas.

Este artículo supone que los lectores ya están familiarizados con el contenido de los artículos sistema de coordenadas geográficas y datum geodésico .

Cambio de unidades y formato

De manera informal, especificar una ubicación geográfica generalmente significa dar la latitud y longitud de la ubicación . Los valores numéricos de latitud y longitud pueden aparecer en varias unidades o formatos diferentes: ^[2]

• grado sexagesimal : grados , minutos y segundos  : 40° 26′ 46″ N 79° 58′ 56″ W
• grados y minutos decimales: 40° 26.767′ N 79° 58.933′ W
• grados decimales: +40.446 -79.982

Hay 60 minutos en un grado y 60 segundos en un minuto. Por lo tanto, para convertir de un formato de grados minutos segundos a un formato de grados decimales, se puede usar la fórmula

${\displaystyle {\rm {{decimal\ degrees}={\rm {{degrees}+{\frac {\rm {minutes}}{60}}+{\frac {\rm {seconds}}{3600}}}}}}}$.

Para volver a convertir del formato de grados decimales al formato de grados minutos segundos,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {absDegrees}}&=|{\rm {{decimal\ degrees}|}}\\{\rm {floorAbsDegrees}}&=\lfloor {\rm {{absDegrees}\rfloor }}\\{\rm {degrees}}&=\operatorname {sgn}({\rm {{decimal\ degrees})\times {\rm {floorAbsDegrees}}}}\\{\rm {minutes}}&=\lfloor 60\times ({\rm {{absDegrees}-{\rm {{floorAbsDegrees})\rfloor }}}}\\{\rm {seconds}}&=3600\times ({\rm {{absDegrees}-{\rm {{floorAbsDegrees})-60\times {\rm {minutes}}}}}}\\\end{aligned}}}$

donde y son solo variables temporales para manejar adecuadamente los valores positivos y negativos. ${\displaystyle {\rm {absDegrees}}}$ ${\displaystyle {\rm {floorAbsDegrees}}}$

Conversión del sistema de coordenadas

Una conversión de sistema de coordenadas es una conversión de un sistema de coordenadas a otro, donde ambos sistemas de coordenadas se basan en el mismo datum geodésico. Las tareas de conversión comunes incluyen la conversión entre coordenadas geodésicas y fijas y centradas en la Tierra ( ECEF ) y la conversión de un tipo de proyección cartográfica a otro.

De coordenadas geodésicas a ECEF

La longitud PQ, llamada radio vertical primo , es . El coeficiente intelectual de longitud es igual a . . ${\displaystyle N(\phi )}$ ${\displaystyle \,e^{2}N(\phi )}$ ${\displaystyle R=(X,\,Y,\,Z)}$

Las coordenadas geodésicas (latitud , longitud , altura ) se pueden convertir en coordenadas ECEF utilizando la siguiente ecuación: ^[3] ${\displaystyle \ \phi }$ ${\displaystyle \ \lambda }$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\cos {\lambda }\\Y&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\sin {\lambda }\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-e^{2})N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-f)^{2}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle N(\phi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}},}$

y y son el radio ecuatorial ( semieje mayor ) y el radio polar ( semieje menor ), respectivamente. es el cuadrado de la primera excentricidad numérica del elipsoide. es el aplanamiento del elipsoide. El radio de curvatura vertical principal es la distancia desde la superficie al eje Z a lo largo de la normal del elipsoide. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$ ${\displaystyle f=1-{\frac {b}{a}}}$ ${\displaystyle \,N(\phi )}$

Propiedades

La siguiente condición se cumple para la longitud de la misma manera que en el sistema de coordenadas geocéntricas:

${\displaystyle {\frac {X}{\cos \lambda }}-{\frac {Y}{\sin \lambda }}=0.}$

Y lo siguiente es válido para la latitud:

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}-{\frac {Z}{\sin \phi }}-e^{2}N(\phi )=0,}$

donde , como el parámetro se elimina restando ${\displaystyle p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}=N+h}$

y

${\displaystyle {\frac {Z}{\sin \phi }}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}N+h.}$

Además:

${\displaystyle \tan \phi =(Z/p)/((1-e^{2})N+h)/(N+h)).}$

Ortogonalidad

La ortogonalidad de las coordenadas se confirma mediante diferenciación:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}dX\\dY\\dZ\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}},\\[3pt]{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N(\phi )+h\right)\cos \phi &0&0\\0&M(\phi )+h&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\lambda \\d\phi \\dh\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle M(\phi )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}}$

(ver también " Arco meridiano en el elipsoide ").

Del ECEF a las coordenadas geodésicas

La conversión de coordenadas ECEF a longitud es:

${\displaystyle \lambda =\operatorname {atan2} (Y,X)}$.

donde atan2 es la función arcotangente de resolución de cuadrantes. La longitud geocéntrica y la longitud geodésica tienen el mismo valor; esto es cierto para la Tierra y otros planetas de formas similares porque tienen una gran cantidad de simetría rotacional alrededor de su eje de giro (ver longitud elipsoidal triaxial para una generalización).

La conversión de latitud y altura implica una relación circular que involucra N , que es función de la latitud:

${\displaystyle \phi =\arctan \left((Z/p)/((1-e^{2})N+h)/(N+h))\right)}$,

${\displaystyle h={\frac {p}{\cos \phi }}-N}$.

Se puede resolver de forma iterativa, ^{[4] [5]} por ejemplo, comenzando con una primera estimación h ≈0 y luego actualizando N . A continuación se muestran métodos más elaborados. Sin embargo, el procedimiento es sensible a una precisión pequeña debido a que tal vez estén separados por 10 ⁶ . ^{[6] [7]} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h}$

Método de Newton-Raphson

La siguiente ecuación irracional de latitud geodésica de Bowring, ^[8] derivada simplemente de las propiedades anteriores, se puede resolver mediante el método de iteración de Newton-Raphson : ^{[9] [10]}

${\displaystyle \kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa ^{2}}}}=0,}$

donde y como antes. La altura se calcula como: ${\displaystyle \kappa ={\frac {p}{Z}}\tan \phi }$ ${\displaystyle p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=e^{-2}\left(\kappa ^{-1}-{\kappa _{0}}^{-1}\right){\sqrt {p^{2}+Z^{2}\kappa ^{2}}},\\\kappa _{0}&=\left(1-e^{2}\right)^{-1}.\end{aligned}}}$

La iteración se puede transformar en el siguiente cálculo:

${\displaystyle \kappa _{i+1}={\frac {c_{i}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}}=1+{\frac {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}},}$

dónde ${\displaystyle c_{i}={\frac {\left(p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{ae^{2}}}.}$

La constante es un buen valor inicial para la iteración cuando . Bowring demostró que una única iteración produce una solución suficientemente precisa. Usó funciones trigonométricas adicionales en su formulación original. ${\displaystyle \,\kappa _{0}}$ ${\displaystyle h\approx 0}$

La solución de Ferrari

La ecuación de cuarto grado de , derivada de lo anterior, se puede resolver mediante la solución de Ferrari ^{[11] [12]} para producir: ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=\left(1-e^{2}\right){\frac {z^{2}}{a^{2}}},\\[4pt]\rho &={\frac {1}{6}}\left({\frac {p^{2}}{a^{2}}}+\zeta -e^{4}\right),\\[4pt]s&={\frac {e^{4}\zeta p^{2}}{4\rho ^{3}a^{2}}},\\[4pt]t&={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt {s(s+2)}}}},\\[4pt]u&=\rho \left(t+1+{\frac {1}{t}}\right),\\[4pt]v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta }},\\[4pt]w&=e^{2}{\frac {u+v-\zeta }{2v}},\\[4pt]\kappa &=1+e^{2}{\frac {{\sqrt {u+v+w^{2}}}+w}{u+v}}.\end{aligned}}}$

La aplicación de la solución de Ferrari

Hay varias técnicas y algoritmos disponibles, pero el más preciso, según Zhu ^[13] , es el siguiente procedimiento establecido por Heikkinen, ^[14] citado por Zhu. Se supone que se conocen los parámetros geodésicos. ${\displaystyle \{a,\,b,\,e\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=6378137.0{\text{ m. Earth Equatorial Radius}}\\[3pt]b&=6356752.3142{\text{ m. Earth Polar Radius}}\\[3pt]e^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\\[3pt]e'^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\\[3pt]p&={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\\[3pt]F&=54b^{2}Z^{2}\\[3pt]G&=p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}-e^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\\[3pt]c&={\frac {e^{4}Fp^{2}}{G^{3}}}\\[3pt]s&={\sqrt[{3}]{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c}}}}\\[3pt]k&=s+1+{\frac {1}{s}}\\[3pt]P&={\frac {F}{3k^{2}G^{2}}}\\[3pt]Q&={\sqrt {1+2e^{4}P}}\\[3pt]r_{0}&={\frac {-Pe^{2}p}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}\left(1+{\frac {1}{Q}}\right)-{\frac {P\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}{Q(1+Q)}}-{\frac {1}{2}}Pp^{2}}}\\[3pt]U&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+Z^{2}}}\\[3pt]V&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}}\\[3pt]z_{0}&={\frac {b^{2}Z}{aV}}\\[3pt]h&=U\left(1-{\frac {b^{2}}{aV}}\right)\\[3pt]\phi &=\arctan \left[{\frac {Z+e'^{2}z_{0}}{p}}\right]\\[3pt]\lambda &=\operatorname {arctan2} [Y,\,X]\end{aligned}}}$

Nota: arctan2 [Y, X] es la función tangente inversa de cuatro cuadrantes.

Serie de potencia

Para e pequeño ² la serie de potencias

${\displaystyle \kappa =\sum _{i\geq 0}\alpha _{i}e^{2i}}$

comienza con

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{0}&=1;\\\alpha _{1}&={\frac {a}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}};\\\alpha _{2}&={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}+2a^{2}p^{2}}{2\left(Z^{2}+p^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Geodésicas hacia/desde coordenadas ENU

La conversión de coordenadas geodésicas a coordenadas del plano tangente local ( ENU ) es un proceso de dos etapas:

1. Convertir coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF
2. Convertir coordenadas ECEF a coordenadas ENU locales

De ECEF a ENU

Para transformar de coordenadas ECEF a coordenadas locales necesitamos un punto de referencia local. Normalmente, esta podría ser la ubicación de un radar. Si un radar está ubicado en y una aeronave en , entonces el vector que apunta desde el radar a la aeronave en el marco ENU es ${\displaystyle \left\{X_{r},\,Y_{r},\,Z_{r}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{X_{p},\,Y_{p},\,Z_{p}\right\}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&\cos \lambda _{r}&0\\-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\\\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}}$

Nota: es la latitud geodésica ; la latitud geocéntrica no es apropiada para representar la dirección vertical del plano tangente local y debe convertirse si es necesario. ${\displaystyle \ \phi }$

De la ENU a la ECEF

Esta es solo la inversión de la transformación ECEF a ENU, por lo que

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{p}\\Y_{p}\\Z_{p}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}\\\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}\\0&\cos \phi _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}}$

Conversión entre proyecciones de mapas

La conversión de coordenadas y posiciones de mapas entre diferentes proyecciones de mapas con referencia al mismo dato se puede lograr mediante fórmulas de traducción directa de una proyección a otra, o convirtiendo primero de una proyección a un sistema de coordenadas intermedio, como ECEF, y luego convirtiendo de ECEF. a la proyección . Las fórmulas involucradas pueden ser complejas y en algunos casos, como en la conversión de ECEF a geodésica anterior, la conversión no tiene una solución de forma cerrada y se deben usar métodos aproximados. Referencias como el Manual técnico de DMA 8358.1 ^[15] y el documento Map Projections: A Working Manual del USGS ^[16] contienen fórmulas para la conversión de proyecciones cartográficas. Es común utilizar programas informáticos para realizar tareas de conversión de coordenadas, como el programa GEOTRANS compatible con DoD y NGA. ^[17] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Transformaciones de datos

Los diferentes caminos posibles para transformar coordenadas geográficas de datum a datum ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Las transformaciones entre datos de referencia se pueden lograr de varias maneras. Existen transformaciones que convierten directamente coordenadas geodésicas de un datum a otro. Hay transformaciones más indirectas que convierten de coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF, transforman las coordenadas ECEF de un datum a otro y luego transforman las coordenadas ECEF del nuevo datum nuevamente a coordenadas geodésicas. También hay transformaciones basadas en cuadrículas que transforman directamente de un par (dato, proyección de mapa) a otro par (dato, proyección de mapa).

transformación de helmert

El uso de la transformada de Helmert en la transformación de coordenadas geodésicas de referencia a coordenadas geodésicas de referencia se produce en el contexto de un proceso de tres pasos: ^[18] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

1. Convertir de coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF para datum ${\displaystyle A}$
2. Aplique la transformación Helmert, con los parámetros de transformación apropiados, para transformar de coordenadas ECEF de referencia a coordenadas ECEF de referencia ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
3. Convertir de coordenadas ECEF a coordenadas geodésicas para datos de referencia ${\displaystyle B}$

En términos de vectores ECEF XYZ, la transformada de Helmert tiene la forma (convención de transformación de vectores de posición y simplificación de ángulos de rotación muy pequeños) ^[18]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+\left(1+s\times 10^{-6}\right){\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}.}$

La transformada de Helmert es una transformación de siete parámetros con tres parámetros de traducción (desplazamiento) , tres parámetros de rotación y un parámetro de escala (dilatación) . La transformada de Helmert es un método aproximado que es preciso cuando los parámetros de la transformada son pequeños en relación con las magnitudes de los vectores ECEF. En estas condiciones, la transformada se considera reversible. ^[19] ${\displaystyle c_{x},\,c_{y},\,c_{z}}$ ${\displaystyle r_{x},\,r_{y},\,r_{z}}$ ${\displaystyle s}$

Se puede utilizar una transformada de Helmert de catorce parámetros, con dependencia lineal del tiempo para cada parámetro, ^{[19] : 131-133} para capturar la evolución temporal de las coordenadas geográficas debido a procesos geomórficos , como la deriva continental ^[20] y los terremotos. ^[21] Esto se ha incorporado en software, como la herramienta de posicionamiento horizontal dependiente del tiempo (HTDP) del NGS de EE. UU. ^[22]

Transformación Molodensky-Badekas

Para eliminar el acoplamiento entre las rotaciones y traslaciones de la transformada de Helmert, se pueden introducir tres parámetros adicionales para dar un nuevo centro de rotación XYZ más cercano a las coordenadas que se están transformando. Este modelo de diez parámetros se llama transformación de Molodensky-Badekas y no debe confundirse con la transformada de Molodensky más básica. ^{[19] : 133-134}

Al igual que la transformada de Helmert, utilizar la transformada de Molodensky-Badekas es un proceso de tres pasos:

1. Convertir de coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF para datum ${\displaystyle A}$
2. Aplique la transformación Molodensky-Badekas, con los parámetros de transformación apropiados, para transformar de coordenadas ECEF de referencia a coordenadas ECEF de referencia ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
3. Convertir de coordenadas ECEF a coordenadas geodésicas para datos de referencia ${\displaystyle B}$

La transformación tiene la forma ^[23]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Delta X_{A}\\\Delta Y_{A}\\\Delta Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}+\Delta S{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}.}$

donde es el origen de las transformaciones de rotación y escala y es el factor de escala. ${\displaystyle \left(X_{A}^{0},\,Y_{A}^{0},\,Z_{A}^{0}\right)}$ ${\displaystyle \Delta S}$

La transformada de Molodensky-Badekas se utiliza para transformar datos geodésicos locales en un datum geodésico global, como WGS 84. A diferencia de la transformada de Helmert, la transformada de Molodensky-Badekas no es reversible debido a que el origen rotacional está asociado con el datum original. ^{[19] : 134}

Transformación de Molodensky

La transformación de Molodensky convierte directamente entre sistemas de coordenadas geodésicas de diferentes datos sin el paso intermedio de convertir a coordenadas geocéntricas (ECEF). ^[24] Requiere los tres desplazamientos entre los centros de referencia y las diferencias entre los semiejes mayores del elipsoide de referencia y los parámetros de aplanamiento.

La transformada de Molodensky es utilizada por la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial (NGA) en su estándar TR8350.2 y el programa GEOTRANS respaldado por la NGA. ^[25] El método Molodensky era popular antes de la llegada de las computadoras modernas y el método es parte de muchos programas geodésicos.

Método basado en cuadrícula

Magnitud del cambio de posición entre los datos NAD27 y NAD83 en función de la ubicación.

Las transformaciones basadas en cuadrículas convierten directamente las coordenadas del mapa de un par (mapa-proyección, datum geodésico) a coordenadas de mapa de otro par (mapa-proyección, datum geodésico). Un ejemplo es el método NADCON para transformar del datum norteamericano (NAD) 1927 al datum NAD 1983. ^[26] La Red de referencia de alta precisión (HARN), una versión de alta precisión de las transformadas NADCON, tiene una precisión de aproximadamente 5 centímetros. La versión 2 de National Transformation ( NTv2 ) es una versión canadiense de NADCON para la transformación entre NAD 1927 y NAD 1983. Los HARN también se conocen como NAD 83/91 y High Precision Grid Networks (HPGN). ^[27] Posteriormente, Australia y Nueva Zelanda adoptaron el formato NTv2 para crear métodos basados ​​en cuadrículas para transformar entre sus propios datos locales.

Al igual que la transformación de ecuaciones de regresión múltiple, los métodos basados ​​en cuadrículas utilizan un método de interpolación de bajo orden para convertir las coordenadas del mapa, pero en dos dimensiones en lugar de tres. La NOAA proporciona una herramienta de software (como parte del kit de herramientas geodésicas de NGS) para realizar transformaciones NADCON. ^{[28] [29]}

Ecuaciones de regresión múltiple

Se crearon transformaciones de datos mediante el uso de métodos empíricos de regresión múltiple para lograr resultados de mayor precisión en regiones geográficas pequeñas que las transformaciones estándar de Molodensky. Las transformaciones MRE se utilizan para transformar datos locales en regiones del tamaño de un continente o más pequeñas en datos globales, como WGS 84. ^[30] El estándar NIMA TM 8350.2, Apéndice D, ^[31] enumera las transformaciones MRE de varios datos locales a WGS 84, con precisiones de unos 2 metros. ^[32]

Los MRE son una transformación directa de coordenadas geodésicas sin ningún paso ECEF intermedio. Las coordenadas geodésicas en el nuevo datum se modelan como polinomios de hasta el noveno grado en las coordenadas geodésicas del datum original . Por ejemplo, el cambio en podría parametrizarse como (mostrando solo términos cuadráticos) ^{[30] : 9} ${\displaystyle \phi _{B},\,\lambda _{B},\,h_{B}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi _{A},\,\lambda _{A},\,h_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$

${\displaystyle \Delta \phi =a_{0}+a_{1}U+a_{2}V+a_{3}U^{2}+a_{4}UV+a_{5}V^{2}+\cdots }$

dónde

${\displaystyle a_{i},}$parámetros ajustados por regresión múltiple

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=K(\phi _{A}-\phi _{m})\\V&=K(\lambda _{A}-\lambda _{m})\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle K,}$factor de escala

${\displaystyle \phi _{m},\,\lambda _{m},}$origen del dato, ${\displaystyle A.}$

con ecuaciones similares para y . Dado un número suficiente de pares de coordenadas para puntos de referencia en ambos puntos de referencia para obtener buenas estadísticas, se utilizan métodos de regresión múltiple para ajustar los parámetros de estos polinomios. Los polinomios, junto con los coeficientes ajustados, forman las ecuaciones de regresión múltiple. ${\displaystyle \Delta \lambda }$ ${\displaystyle \Delta h}$ ${\displaystyle (A,\,B)}$

Ver también

• Sistema de coordenadas Gauss-Krüger
• Lista de proyecciones cartográficas
• Sistema de referencia espacial
• Sistema de coordenadas topocéntrico
• Sistema de coordenadas estereográficas polares universales
• Sistema de coordenadas universal transversal de Mercator

Referencias

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