Consecuencia mirabilis

Patrón de razonamiento en lógica proposicional

Consequentia mirabilis ( en latín "consecuencia admirable"), también conocida como Ley de Clavius , se utiliza en la lógica tradicional y clásica para establecer la verdad de una proposición a partir de la inconsistencia de su negación. ^[1] Por lo tanto, está relacionado con la reductio ad absurdum , pero puede probar una proposición utilizando simplemente su propia negación y el concepto de consistencia. Para una formulación más concreta, afirma que si una proposición es consecuencia de su negación, entonces es verdadera, por coherencia. En notación formal:

${\displaystyle (\neg A\to A)\to A}$.

Las variantes más débiles del principio son demostrables en lógica mínima , pero el principio completo en sí no es demostrable ni siquiera en lógica intuicionista .

Historia

Consequentia mirabilis fue un patrón de argumentación popular en la Europa del siglo XVII que apareció por primera vez en un fragmento del Protrepticus de Aristóteles : "Si debemos filosofar, entonces debemos filosofar; y si no debemos filosofar, entonces debemos filosofar ( es decir, para justificar esta opinión); en cualquier caso, por lo tanto, debemos filosofar." ^[2]

Barnes afirma de paso que el término consequentia mirabilis se refiere sólo a la inferencia de la proposición a partir de la inconsistencia de su negación, y que el término Lex Clavia (o Ley de Clavius) se refiere a la inferencia de la negación de la proposición a partir de la inconsistencia de la proposición. . ^[3]

Derivaciones

Lógica mínima

A continuación se muestra qué formas débiles de la ley todavía se mantienen en la lógica mínima, a la que le faltan tanto el tercero excluido como el principio de explosión .

Variantes más débiles

Estados del teorema de Frege

${\displaystyle {\big (}B\rightarrow (C\to D){\big )}\to {\Big (}(B\rightarrow C)\to (B\to D){\Big )}}$

Porque esta es una forma de introducción a la negación , y luego para y usando la ley de identidad , se reduce a ${\displaystyle D=\bot }$ ${\displaystyle B=C}$

${\displaystyle {\big (}B\rightarrow \neg B{\big )}\rightarrow \neg B}$

Ahora bien , se deduce que ${\displaystyle B=\neg A}$

${\displaystyle (\neg A\to \neg \neg A)\to \neg \neg A}$

Opcionalmente, también se puede eliminar la primera doble negación, debilitando la afirmación. Como siempre es equivalente en lógica mínima, lo anterior también establece constructivamente la doble negación de la consequentia mirabilis. ${\displaystyle E\to \neg \neg A}$ ${\displaystyle \neg \neg (E\to A)}$

Por lo tanto, Consequentia mirabilis se mantiene siempre que . Al adoptar el principio de eliminación de la doble negación para todas las proposiciones, se sigue simplemente que este último devuelve la lógica mínima a la lógica clásica completa. ${\displaystyle \neg \neg A\leftrightarrow A}$

También se puede considerar que la forma débil es equivalente al principio de no contradicción . Con este fin, primero tenga en cuenta que utilizando el modus ponens y la introducción de implicaciones , el principio es equivalente a . La afirmación ahora se deriva de , es decir, del hecho de que existen caracterizaciones equivalentes de dos proposiciones que son mutuamente excluyentes. ${\displaystyle (\neg A\to A)\to \neg (\neg A)}$ ${\displaystyle \neg {\big (}A\land \neg A{\big )}}$ ${\displaystyle \neg {\big (}(\neg A\to A)\land (\neg A){\big )}}$ ${\displaystyle (B\to \neg C)\leftrightarrow \neg (B\land C)}$

Entonces, la lógica mínima valida que eso se cumple exactamente cuando está implícito en ambos y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \neg \neg A}$ ${\displaystyle \neg A}$

Equivalencia al medio excluido

La negación de cualquier disyunción media excluida implica la disyunción misma. De la forma débil anterior, se deduce que la declaración media excluida doblemente negada es válida, en lógica mínima. Asimismo, este argumento muestra cómo la consequentia mirabilis plena implica un tercero excluido.

El siguiente argumento muestra que lo contrario también es válido. Un principio relacionado con el análisis de casos puede formularse como sigue: si ambos y cada uno implican y cualquiera de ellos debe cumplirse, entonces se sigue. Formalmente, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\big (}(B\to A)\land (C\to A)\land (B\lor C){\big )}\to A}$

Para y , el principio de identidad ahora implica ${\displaystyle B=A}$ ${\displaystyle C=\neg A}$

${\displaystyle {\big (}(\neg A\to A)\land (A\lor \neg A){\big )}\to A}$

Lógica intuicionista

Se tiene eso implica . Por eliminación de conjunciones , esto es de hecho una equivalencia. En particular, uno tiene ${\displaystyle (A\to B)\to A}$ ${\displaystyle (A\to B)\to (A\land B)}$

${\displaystyle {\big (}\neg A\to A{\big )}\leftrightarrow {\big (}\neg A\to (A\land \bot ){\big )}}$

La mano derecha de esto también implica , lo que da otra demostración de cómo la eliminación por doble negación implica consequentia mirabilis, en lógica mínima. ${\displaystyle \neg \neg A}$

Para demostrar que los principios son de hecho equivalentes en la lógica intuicionista, es necesario demostrar que sus antecedentes son totalmente equivalentes. Por tanto, lo que hay que probar es . Esto es válido porque el principio de explosión en sí puede formularse como . ${\displaystyle \bot \leftrightarrow (A\land \bot )}$ ${\displaystyle \bot \to (A\land \bot )}$

Lógica clásica

Se estableció cómo la consequentia mirabilis se deriva de la eliminación de la doble negación en la lógica mínima y cómo equivale al tercero excluido. De hecho, también puede establecerse utilizando la forma proposicional clásicamente válida del silogismo disyuntivo inverso encadenado con el principio de eliminación de doble negación en la forma . ${\displaystyle (B\to A)\to (\neg B\lor A)}$ ${\displaystyle (\neg \neg A\lor A)\to A}$

En relación con la última derivación intuicionista dada anteriormente, las consequentia mirabilis también siguen como el caso especial de la ley de Pierce.

${\displaystyle {\big (}(A\to B)\to A{\big )}\to A}$

para . Ese artículo se puede consultar para más equivalencias relacionadas. ${\displaystyle B=\bot }$

Ver también

• Ex falso quodlibet
• Tertium no datur
• ley de peirce

Referencias

1. Sainsbury, Richard. Paradojas . Prensa de la Universidad de Cambridge, 2009, pág. 128.
2. Kneale, William (1957). "Aristóteles y la Consequentia Mirabilis". La Revista de Estudios Helénicos . 77 (1): 62–66. doi :10.2307/628635. JSTOR  628635. S2CID  163283107.
3. Barnes, Jonathan. Los filósofos presocráticos: los argumentos de los filósofos . Routledge, 1982, pág. 217 (p. 277 en la edición de 1979).