la conjetura de leopoldt

En teoría algebraica de números , la conjetura de Leopoldt , introducida por H.-W. Leopoldt  (1962, 1975), afirma que el regulador p-ádico de un campo numérico no desaparece. El regulador p-ádico es un análogo del regulador habitual definido utilizando logaritmos p-ádicos en lugar de los logaritmos habituales, introducidos por H.-W. Leopoldt  (1962).

Formulación

Sea K un cuerpo numérico y para cada primo P de K por encima de algún primo racional fijo p , sea U _P las unidades locales en P y sea U _{1, P} el subgrupo de unidades principales en U _P. Colocar

${\displaystyle U_{1}=\prod _{P|p}U_{1,P}.}$

Entonces, sea E 1 _el conjunto de unidades globales ε que se asignan a U ₁ mediante la incrustación diagonal de las unidades globales en  E.

Dado que es un subgrupo de índice finito de unidades globales, es un grupo abeliano de rango , donde es el número de incrustaciones reales de y el número de pares de incrustaciones complejas. La conjetura de Leopoldt establece que el rango del módulo del cierre de incrustados diagonalmente también es ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle r_{1}+r_{2}-1}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle r_{1}+r_{2}-1.}$

La conjetura de Leopoldt se conoce en el caso especial en el que hay una extensión abeliana o una extensión abeliana de un campo numérico cuadrático imaginario : Ax (1965) redujo el caso abeliano a una versión p-ádica del teorema de Baker , que fue demostrado poco después por Brumer. (1967). Mihăilescu  (2009, 2011) ha anunciado una prueba de la conjetura de Leopoldt para todas las extensiones CM de . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Colmez  (1988) expresó el residuo de la función zeta de Dedekind p -ádica de un campo totalmente real en s  = 1 en términos del regulador p -ádico. Como consecuencia, la conjetura de Leopoldt para esos campos es equivalente a que sus funciones zeta p -ádicas de Dedekind tengan un polo simple en s  = 1.

Referencias

• Ax, James (1965), "Sobre las unidades de un campo numérico algebraico", Illinois Journal of Mathematics , 9 (4): 584–589, doi : 10.1215/ijm/1256059299 , ISSN  0019-2082, MR  0181630, Zbl  0132.28303
• Brumer, Armand (1967), "Sobre las unidades de los campos numéricos algebraicos", Mathematika , 14 (2): 121–124, doi :10.1112/S0025579300003703, ISSN  0025-5793, MR  0220694, Zbl  0171.01105
• Colmez, Pierre (1988), "Résidu en s=1 des fonctions zêta p-adiques", Inventiones Mathematicae , 91 (2): 371–389, Bibcode :1988InMat..91..371C, doi :10.1007/BF01389373, ISSN  0020-9910, SEÑOR  0922806, S2CID  118434651, Zbl  0651.12010
• Kolster, M. (2001) [1994], "La conjetura de Leopoldt", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1962), "Zur Arithmetik in abelschen Zahlkörpern", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1962 (209): 54–71, doi :10.1515/crll.1962.209.54, ISSN  0075-4102, SEÑOR  0139602, S2CID  117123955, Zbl  0204.07101
• Leopoldt, HW (1975), "Eine p-adische Theorie der Zetawerte II", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1975 (274/275): 224–239, doi :10.1515/crll.1975.274-275.224, S2CID  118013793, Zbl  0309.12009.
• Mihăilescu, Preda (2009), Los componentes T y T* de Λ - módulos y la conjetura de Leopoldt , arXiv : 0905.1274 , Bibcode :2009arXiv0905.1274M
• Mihăilescu, Preda (2011), Conjetura de Leopoldt para campos CM , arXiv : 1105.4544 , Bibcode :2011arXiv1105.4544M
• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2008), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323 (Segunda ed.), Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-37888-4, SEÑOR  2392026, Zbl  1136.11001
• Washington, Lawrence C. (1997), Introducción a los campos ciclotómicos (Segunda ed.), Nueva York: Springer, ISBN 0-387-94762-0, Zbl  0966.11047.