Conjunto completo de observables de desplazamientos

En mecánica cuántica , un conjunto completo de observables conmutativos (CSCO) es un conjunto de operadores conmutativos cuyos vectores propios comunes pueden usarse como base para expresar cualquier estado cuántico . En el caso de operadores con espectros discretos, un CSCO es un conjunto de observables conmutativos cuyos espacios propios simultáneos abarcan el espacio de Hilbert, de modo que los vectores propios están especificados de manera única por los conjuntos correspondientes de valores propios.

En algunos casos simples, como los problemas de estados ligados en una dimensión, el espectro de energía no es degenerado y la energía se puede utilizar para etiquetar de forma única los estados propios. En problemas más complicados, el espectro de energía es degenerado y se necesitan observables adicionales para distinguir entre los estados propios. ^[1]

Como cada par de observables del conjunto conmuta, todos los observables son compatibles, de modo que la medición de un observable no tiene efecto sobre el resultado de la medición de otro observable del conjunto. Por lo tanto, no es necesario especificar el orden en el que se miden los diferentes observables. La medición del conjunto completo de observables constituye una medición completa, en el sentido de que proyecta el estado cuántico del sistema sobre un vector único y conocido en la base definida por el conjunto de operadores. Es decir, para preparar el estado completamente especificado, tenemos que tomar cualquier estado arbitrariamente, y luego realizar una sucesión de mediciones correspondientes a todos los observables del conjunto, hasta que se convierta en un vector único especificado en el espacio de Hilbert (hasta una fase).

El teorema de compatibilidad

Consideremos dos observables, y , representados por los operadores y . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

1. ${\displaystyle A}$y son observables compatibles. ${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle {\hat {A}}}$y tienen una base propia común. ${\displaystyle {\hat {B}}}$
3. Los operadores y conmutan , es decir , . ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}=0}$

Pruebas

Prueba de que una base propia común implica conmutación

Sea un conjunto de estados ortonormales (es decir, ) que forman una base propia completa para cada uno de los dos observables compatibles y representados por los operadores autoadjuntos y con valores propios (reales) correspondientes y , respectivamente. Esto implica que ${\displaystyle \{|\psi _{n}\rangle \}}$ ${\displaystyle \langle \psi _{m}|\psi _{n}\rangle =\delta _{m,n}^{\,}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}|\psi _{n}\rangle ={\hat {A}}b_{n}|\psi _{n}\rangle =a_{n}b_{n}|\psi _{n}\rangle =b_{n}a_{n}|\psi _{n}\rangle ={\hat {B}}{\hat {A}}|\psi _{n}\rangle ,}$

para cada estado propio mutuo . Como la base propia es completa, podemos expandir un estado arbitrario según ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{n}c_{n}|\psi _{n}\rangle ,}$

donde . Los resultados anteriores implican que ${\displaystyle c_{n}=\langle \psi _{n}|\Psi \rangle }$

${\displaystyle ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})|\Psi \rangle =\sum _{n}c_{n}({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})|\psi _{n}\rangle =0,}$

para cualquier estado . Por lo tanto, , lo que significa que los dos operadores conmutan. ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}=[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}$

Prueba de que los observables conmutativos poseen un conjunto completo de funciones propias comunes

---

Cuando tiene ${\displaystyle A}$ valores propios no degenerados :

---

Sea un conjunto completo de autokets ortonormales del operador autoadjunto correspondiente al conjunto de autovalores reales . Si los operadores autoadjuntos y conmutan, podemos escribir ${\displaystyle \{|\psi _{n}\rangle \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A(B|\psi _{n}\rangle )=BA|\psi _{n}\rangle =a_{n}(B|\psi _{n}\rangle )}$

Por lo tanto, si , podemos decir que es un eigenket de correspondiente al autovalor . Dado que tanto y son eigenkets asociados con el mismo autovalor no degenerado , pueden diferir como máximo en una constante multiplicativa. Llamamos a esta constante . Por lo tanto, ${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle \neq 0}$ ${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle }$,

lo que significa que es un eigenket de , y por lo tanto de y simultáneamente . En el caso de , el vector distinto de cero es un eigenket de con el valor propio . ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle =0}$ ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b_{n}=0}$

---

Cuando tiene ${\displaystyle A}$ valores propios degenerados :

---

Supongamos que cada uno es degenerado en un orden de magnitud. Sean los correspondientes cationes propios ortonormales . Como , razonamos como antes para encontrar que es un catione propio de correspondiente al valor propio degenerado . Por lo tanto, podemos desarrollar en base a los cationes propios degenerados de : ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |\psi _{nr}\rangle ,r\in \{1,2,\dots ,g\}}$ ${\displaystyle [A,B]=0}$ ${\displaystyle B|\psi _{nr}\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle B|\psi _{nr}\rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle B|\psi _{nr}\rangle =\sum _{s=1}^{g}c_{rs}|\psi _{ns}\rangle }$

Son los coeficientes de expansión. Los coeficientes forman una matriz autoadjunta, ya que . El siguiente paso sería diagonalizar la matriz . Para ello, sumamos todas las constantes . Por lo tanto, ${\displaystyle c_{rs}}$ ${\displaystyle c_{rs}}$ ${\displaystyle \langle \psi _{ns}|B|\psi _{nr}\rangle =c_{rs}}$ ${\displaystyle c_{rs}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d_{r}}$

${\displaystyle B\sum _{r=1}^{g}d_{r}|\psi _{nr}\rangle =\sum _{r=1}^{g}\sum _{s=1}^{g}d_{r}c_{rs}|\psi _{ns}\rangle }$

Entonces, será un eigenket con el valor propio si tenemos ${\displaystyle \sum _{r=1}^{g}d_{r}|\psi _{nr}\rangle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b_{n}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{g}d_{r}c_{rs}=b_{n}d_{s},s=1,2,...g}$

Esto constituye un sistema de ecuaciones lineales para las constantes . Existe una solución no trivial si ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d_{r}}$

${\displaystyle \det[c_{rs}-b_{n}\delta _{rs}]=0}$

Esta es una ecuación de orden en , y tiene raíces. Para cada raíz tenemos una solución no trivial , digamos, . Debido al autoadjunto de , todas las soluciones son linealmente independientes. Por lo tanto, forman la nueva base ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle b_{n}=b_{n}^{(k)},k=1,2,...g}$ ${\displaystyle d_{r}}$ ${\displaystyle d_{r}^{(k)}}$ ${\displaystyle c_{rs}}$

${\displaystyle |\phi _{n}^{(k)}\rangle =\sum _{r=1}^{g}d_{r}^{(k)}|\psi _{nr}\rangle }$

${\displaystyle |\phi _{n}^{(k)}\rangle }$es simultáneamente un autoket de y con valores propios y respectivamente. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}^{(k)}}$

Discusión

Consideramos los dos observables anteriores y . Supongamos que existe un conjunto completo de kets cuyo cada elemento es simultáneamente un eigenket de y . Entonces decimos que y son compatibles . Si denotamos los valores propios de y correspondientes a respectivamente por y , podemos escribir ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{|\psi _{n}\rangle \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

${\displaystyle A|\psi _{n}\rangle =a_{n}|\psi _{n}\rangle }$

${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle }$

Si el sistema se encuentra en uno de los estados propios, por ejemplo, , entonces tanto y pueden medirse simultáneamente con cualquier nivel arbitrario de precisión, y obtendremos los resultados y respectivamente. Esta idea puede extenderse a más de dos observables. ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

Ejemplos de observables compatibles

Los componentes cartesianos del operador de posición son , y . Estos componentes son todos compatibles. De manera similar, los componentes cartesianos del operador de momento , es decir , y también son compatibles. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle p_{x}}$ ${\displaystyle p_{y}}$ ${\displaystyle p_{z}}$

Definición formal

Un conjunto de observables se denomina CSCO si: ^[2] ${\displaystyle A,B,C...}$

1. Todos los observables viajan en pares.
2. Si especificamos los valores propios de todos los operadores en el CSCO, identificamos un vector propio único (hasta una fase) en el espacio de Hilbert del sistema.

Si se nos da un CSCO, podemos elegir una base para el espacio de estados formado por vectores propios comunes de los operadores correspondientes. Podemos identificar de forma única cada vector propio (hasta una fase) por el conjunto de valores propios al que corresponde.

Discusión

Supongamos que tenemos un operador de un observable , que tiene todos los valores propios no degenerados . Como resultado, hay un único estado propio correspondiente a cada valor propio, lo que nos permite etiquetarlos por sus respectivos valores propios. Por ejemplo, el estado propio de correspondiente al valor propio puede etiquetarse como . Un observable de este tipo es en sí mismo un CSCO autosuficiente. ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle |a_{n}\rangle }$

Sin embargo, si algunos de los valores propios de son degenerados (por ejemplo, si tienen niveles de energía degenerados ), entonces el resultado anterior ya no se cumple. En tal caso, necesitamos distinguir entre las funciones propias correspondientes al mismo valor propio. Para ello, se introduce un segundo observable (llamémoslo ), que es compatible con . El teorema de compatibilidad nos dice que se puede encontrar una base común de funciones propias de y . Ahora bien, si cada par de valores propios especifica de forma única un vector de estado de esta base, afirmamos haber formado un CSCO: el conjunto . La degeneración en se elimina por completo. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle (a_{n},b_{n})}$ ${\displaystyle \{A,B\}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

Puede suceder, no obstante, que la degeneración no se elimine por completo. Es decir, existe al menos un par que no identifica de forma única un vector propio. En este caso, repetimos el proceso anterior añadiendo otro observable , que es compatible con ambos y . Si la base de las funciones propias comunes de , y es única, es decir, está especificada de forma única por el conjunto de valores propios , entonces hemos formado un CSCO: . Si no es así, añadimos un observable compatible más y continuamos el proceso hasta obtener un CSCO. ${\displaystyle (a_{n},b_{n})}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle (a_{n},b_{n},c_{n})}$ ${\displaystyle \{A,B,C\}}$

El mismo espacio vectorial puede tener conjuntos completos distintos de operadores conmutativos.

Supongamos que se nos da un CSCO finito . Entonces podemos desarrollar cualquier estado general en el espacio de Hilbert como ${\displaystyle \{A,B,C,...,\}}$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i,j,k,...}{\mathcal {C}}_{i,j,k,...}|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle }$

donde son los eigenkets de los operadores y forman un espacio base. Es decir, ${\displaystyle |a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle =a_{i}|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle }$, etc

Si medimos en el estado entonces la probabilidad de que midamos simultáneamente está dada por . ${\displaystyle A,B,C,...}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle a_{i},b_{j},c_{k},...}$ ${\displaystyle |{\mathcal {C}}_{i,j,k,...}|^{2}}$

Para un conjunto completo de operadores conmutativos, podemos encontrar una transformación unitaria que diagonalizará simultáneamente a todos ellos.

Ejemplos

El átomo de hidrógeno sin espín de electrón o protón

Dos componentes del operador de momento angular no conmutan, pero satisfacen las relaciones de conmutación: ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}$

Por lo tanto, cualquier CSCO no puede involucrar más de un componente de . Se puede demostrar que el cuadrado del operador de momento angular, , conmuta con . ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle [L_{x},L^{2}]=0,[L_{y},L^{2}]=0,[L_{z},L^{2}]=0}$

Además, el hamiltoniano es una función de solamente y tiene invariancia rotacional, donde es la masa reducida del sistema. Como los componentes de son generadores de rotación, se puede demostrar que ${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {Ze^{2}}{r}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle [\mathbf {L} ,H]=0,[L^{2},H]=0}$

Por lo tanto, un conjunto conmutativo consta de , un componente de (que se toma como ) y . La solución del problema nos dice que, sin tener en cuenta el espín de los electrones, el conjunto forma un CSCO. Sea cualquier estado base en el espacio de Hilbert del átomo hidrogénico. Entonces ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{H,L^{2},L_{z}\}}$ ${\displaystyle |E_{n},l,m\rangle }$

${\displaystyle H|E_{n},l,m\rangle =E_{n}|E_{n},l,m\rangle }$

${\displaystyle L^{2}|E_{n},l,m\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|E_{n},l,m\rangle }$

${\displaystyle L_{z}|E_{n},l,m\rangle =m\hbar |E_{n},l,m\rangle }$

Es decir, el conjunto de valores propios o, más simplemente, especifica completamente un estado propio único del átomo de hidrógeno. ${\displaystyle \{E_{n},l,m\}}$ ${\displaystyle \{n,l,m\}}$

La partícula libre

Para una partícula libre , el hamiltoniano es invariante bajo traslaciones. La traslación conmuta con el hamiltoniano: . Sin embargo, si expresamos el hamiltoniano en base al operador de traslación, encontraremos que tiene valores propios doblemente degenerados. Se puede demostrar que para hacer el CSCO en este caso, necesitamos otro operador llamado operador de paridad , tal que . forma un CSCO. ${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$ ${\displaystyle [H,\mathbf {\hat {T}} ]=0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle [H,\Pi ]=0}$ ${\displaystyle \{H,\Pi \}}$

De nuevo, sean y los estados propios degenerados del valor propio correspondiente , es decir ${\displaystyle |k\rangle }$ ${\displaystyle |-k\rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{k}={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}}$

${\displaystyle H|k\rangle ={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}|k\rangle }$

${\displaystyle H|-k\rangle ={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}|-k\rangle }$

La degeneración en se elimina mediante el operador de momento . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} |k\rangle =k|k\rangle }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} |-k\rangle =-k|-k\rangle }$

Así se forma un CSCO. ${\displaystyle \{\mathbf {\hat {p}} ,H\}}$

Adición de momentos angulares

Consideramos el caso de dos sistemas, 1 y 2, con operadores de momento angular respectivos y . Podemos escribir los estados propios de y como y de y como . ${\displaystyle \mathbf {J_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {J_{2}} }$ ${\displaystyle J_{1}^{2}}$ ${\displaystyle J_{1z}}$ ${\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle }$ ${\displaystyle J_{2}^{2}}$ ${\displaystyle J_{2z}}$ ${\displaystyle |j_{2}m_{2}\rangle }$

${\displaystyle J_{1}^{2}|j_{1}m_{1}\rangle =j_{1}(j_{1}+1)\hbar ^{2}|j_{1}m_{1}\rangle }$

${\displaystyle J_{1z}|j_{1}m_{1}\rangle =m_{1}\hbar |j_{1}m_{1}\rangle }$

${\displaystyle J_{2}^{2}|j_{2}m_{2}\rangle =j_{2}(j_{2}+1)\hbar ^{2}|j_{2}m_{2}\rangle }$

${\displaystyle J_{2z}|j_{2}m_{2}\rangle =m_{2}\hbar |j_{2}m_{2}\rangle }$

Entonces los estados base del sistema completo están dados por ${\displaystyle |j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle }$

${\displaystyle |j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle =|j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle }$

Por lo tanto, para el sistema completo, el conjunto de valores propios especifica completamente un estado base único y forma un CSCO. De manera equivalente, existe otro conjunto de estados base para el sistema, en términos del operador de momento angular total . Los valores propios de son donde toman los valores , y los de son donde . Los estados base de los operadores y son . Por lo tanto, también podemos especificar un estado base único en el espacio de Hilbert del sistema completo mediante el conjunto de valores propios , y el CSCO correspondiente es . ${\displaystyle \{j_{1},m_{1},j_{2},m_{2}\}}$ ${\displaystyle \{J_{1}^{2},J_{1z},J_{2}^{2},J_{2z}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J_{1}} +\mathbf {J_{2}} }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle j(j+1)\hbar ^{2}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,...,|j_{1}-j_{2}|}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=-j,-j+1,...j-1,j}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle |j_{1}j_{2};jm\rangle }$ ${\displaystyle \{j_{1},j_{2},j,m\}}$ ${\displaystyle \{J_{1}^{2},J_{2}^{2},J^{2},J_{z}\}}$

Véase también

• Número cuántico
  • Buen número cuántico
• Niveles de energía degenerados
• Estructura matemática de la mecánica cuántica
• Operadores en mecánica cuántica
• Relación de conmutación canónica
• Medición en mecánica cuántica
• Colapso de la función de onda
• Momento angular (mecánica cuántica)

Referencias

1. Zwiebach, Barton (2022). "Capítulo 15.8: Conjunto completo de observables conmutativos". Dominar la mecánica cuántica: aspectos esenciales, teoría y aplicaciones . Cambridge, Mass.: The MIT press. ISBN 978-0262366892.
2. Cohen-Tannoudji, Claude ; Diu, Bernardo; Laloë, Franck (1977). Mecánica cuántica . vol. 1. Nueva York: Wiley. págs. 143-144. ISBN 978-0-471-16433-3.OCLC 2089460  .

Lectura adicional

• Gasiorowicz, Stephen (1974), Física cuántica , Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-29281-4.
• Cohen-Tannoudji, Claude ; Diu, Bernardo; Laloë, Franck (1977). Mecánica cuántica . vol. 1. Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-16433-3.OCLC 2089460  .
• Cohen-Tannoudji, Claude ; Diu, Bernardo; Laloë, Franck (1977). Mecánica cuántica . vol. 2. Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-16435-7.OCLC 45727993  .
• Dirac, PAM (1958). Los principios de la mecánica cuántica . Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851208-0.OCLC 534829  .
• RP Feynman, RB Leighton y M. Sands: Las conferencias Feynman sobre física , Addison-Wesley, 1965
• R Shankar, Principios de mecánica cuántica , segunda edición, Springer (1994).
• JJ Sakurai, Mecánica cuántica moderna , edición revisada, Pearson (1994).
• BH Bransden y CJ Joachain, Mecánica cuántica , segunda edición, Pearson Education Limited, 2000.
• Para una discusión sobre el Teorema de Compatibilidad, Apuntes de la Facultad de Física y Astronomía de la Universidad de Edimburgo. http://www2.ph.ed.ac.uk/~ldeldebb/docs/QM/lect2.pdf.
• Diapositiva sobre CSCO en las notas de la clase del profesor S. Gupta, Instituto Tata de Investigación Fundamental, Mumbai. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand3.pdf
• Una sección sobre la partícula libre en las notas de la clase del profesor S. Gupta, Instituto Tata de Investigación Fundamental, Mumbai. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand6.pdf