Elemento compacto

En el área matemática de la teoría del orden , los elementos compactos o elementos finitos de un conjunto parcialmente ordenado son aquellos elementos que no pueden ser subsumidos por un supremo de cualquier conjunto dirigido no vacío que no contenga ya miembros por encima del elemento compacto. Esta noción de compacidad generaliza simultáneamente las nociones de conjuntos finitos en la teoría de conjuntos , conjuntos compactos en topología y módulos finitamente generados en álgebra . (Existen otras nociones de compacidad en matemáticas).

Definición formal

En un conjunto parcialmente ordenado ( P ,≤) un elemento c se llama compacto (o finito ) si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:

Para cada subconjunto dirigido D de P , si D tiene un sup supremo D y c ≤ sup D entonces c ≤ d para algún elemento d de D .
Para cada ideal I de P , si I tiene un supremo sup I y c ≤ sup I entonces c es un elemento de I .

Si el conjunto poset P además es un semirretículo de unión (es decir, si tiene supremacía binaria), entonces estas condiciones son equivalentes a la siguiente afirmación:

Para cada subconjunto S de P , si S tiene un supremo sup S y c ≤ sup S , entonces c ≤ sup T para algún subconjunto finito T de S .

En particular, si c = sup S , entonces c es el supremo de un subconjunto finito de S .

Estas equivalencias se verifican fácilmente a partir de las definiciones de los conceptos involucrados. Para el caso de un semirretículo de unión, cualquier conjunto puede convertirse en un conjunto dirigido con el mismo supremo cerrando bajo un supremo finito (no vacío).

Al considerar órdenes parciales completos dirigidos o retículos completos, se pueden obviar, por supuesto, los requisitos adicionales de que exista el supremo especificado. Un semirretículo de unión que es completo dirigido es casi un retículo completo (posiblemente sin un elemento mínimo ); consulte completitud (teoría del orden) para obtener más detalles.

Ejemplos

El ejemplo más básico se obtiene considerando el conjunto potencia de algún conjunto A , ordenado por inclusión de subconjuntos . Dentro de esta red completa, los elementos compactos son exactamente los subconjuntos finitos de A . Esto justifica el nombre de "elemento finito".
El término "compacto" se inspira en la definición de subconjuntos (topológicamente) compactos de un espacio topológico T . Un conjunto Y es compacto si para cada colección de conjuntos abiertos S , si la unión sobre S incluye a Y como subconjunto, entonces Y se incluye como subconjunto de la unión de una subcolección finita de S . Considerando el conjunto potencia de T como un retículo completo con el orden de inclusión de subconjuntos, donde el supremo de una colección de conjuntos está dado por su unión, la condición topológica para la compacidad imita la condición para la compacidad en semirretículos de unión, pero para el requisito adicional de apertura.
Si existe, el elemento más pequeño de un conjunto parcial siempre es compacto. Puede ser que sea el único elemento compacto, como lo demuestra el ejemplo del intervalo unitario real [0,1] (con el ordenamiento estándar heredado de los números reales).
Cada elemento completamente unido-primario de una red es compacto.

Poets algebraicos

Un conjunto ordenado en el que cada elemento es el supremo del conjunto dirigido formado por los elementos compactos que se encuentran debajo de él se denomina conjunto ordenado algebraico . Los conjuntos ordenados por orden de magnitud se utilizan mucho en la teoría de dominios .

Como caso especial importante, una red algebraica es una red completa L donde cada elemento x de L es el supremo de los elementos compactos debajo de x .

Un ejemplo típico (que sirvió de motivación para el nombre "algebraico") es el siguiente:

Para cualquier álgebra A (por ejemplo, un grupo, un anillo, un cuerpo, una red, etc.; o incluso un mero conjunto sin ninguna operación), sea Sub( A ) el conjunto de todas las subestructuras de A , es decir, de todos los subconjuntos de A que están cerrados bajo todas las operaciones de A (suma de grupos, suma de anillos y multiplicación, etc.). Aquí la noción de subestructura incluye la subestructura vacía en caso de que el álgebra A no tenga operaciones nularias.

Entonces:

El conjunto Sub( A ), ordenado por inclusión de conjuntos, es una red.
El mayor elemento de Sub( A ) es el propio conjunto A.
Para cualquier S , T en Sub( A ), el límite inferior máximo de S y T es la intersección teórica de conjuntos de S y T ; el límite superior mínimo es el subálgebra generado por la unión de S y T .
El conjunto Sub( A ) es incluso una red completa. El límite inferior máximo de cualquier familia de subestructuras es su intersección (o A si la familia está vacía).
Los elementos compactos de Sub( A ) son exactamente las subestructuras finitamente generadas de A .
Cada subestructura es la unión de sus subestructuras generadas finitamente; por lo tanto, Sub( A ) es una red algebraica.

Además, se cumple una especie de recíproco: toda red algebraica es isomorfa a Sub( A ) para algún álgebra A .

Hay otra red algebraica que juega un papel importante en el álgebra universal : para cada álgebra A, sea Con( A ) el conjunto de todas las relaciones de congruencia en A . Cada congruencia en A es una subálgebra del álgebra producto A x A , por lo que Con( A ) ⊆ Sub( A x A ). Nuevamente tenemos

Con( A ), ordenado por inclusión de conjuntos, es una red.
El mayor elemento de Con( A ) es el conjunto A x A , que es la congruencia correspondiente al homomorfismo constante. La congruencia más pequeña es la diagonal de A x A , correspondiente a los isomorfismos.
Con( A ) es una red completa.
Los elementos compactos de Con( A ) son exactamente las congruencias finitamente generadas.
Con( A ) es una red algebraica.

Nuevamente hay una relación inversa: por un teorema de George Grätzer y ET Schmidt, toda red algebraica es isomorfa a Con( A ) para algún álgebra A .

Aplicaciones

Los elementos compactos son importantes en informática en el enfoque semántico llamado teoría de dominios , donde se los considera como una especie de elemento primitivo : la información representada por elementos compactos no se puede obtener mediante ninguna aproximación que no contenga ya este conocimiento. Los elementos compactos no se pueden aproximar mediante elementos estrictamente inferiores a ellos. Por otro lado, puede suceder que todos los elementos no compactos se puedan obtener como supremacía dirigida de elementos compactos. Esta es una situación deseable, ya que el conjunto de elementos compactos suele ser más pequeño que el conjunto original; los ejemplos anteriores lo ilustran.

Literatura