Cohomología de Alexander-Spanier

Teoría de cohomología para espacios topológicos

En matemáticas , particularmente en topología algebraica , la cohomología de Alexander-Spanier es una teoría de cohomología para espacios topológicos .

Historia

Fue introducido por James W. Alexander  (1935) para el caso especial de espacios métricos compactos , y por Edwin H. Spanier  (1948) para todos los espacios topológicos, basado en una sugerencia de Alexander D. Wallace .

Definición

Si X es un espacio topológico y G es un módulo R donde R es un anillo con unidad, entonces existe un complejo de cocadena C cuyo término p -ésimo es el conjunto de todas las funciones desde hasta G con diferencial dada por ${\displaystyle C^{p}}$ ${\displaystyle X^{p+1}}$ ${\displaystyle d\colon C^{p-1}\to C^{p}}$

${\displaystyle df(x_{0},\ldots ,x_{p})=\sum _{i}(-1)^{i}f(x_{0},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{p}).}$

El complejo de cocadena definido no depende de la topología de . De hecho, si es un espacio no vacío, donde es un módulo graduado cuyo único módulo no trivial está en el grado 0. ^[1] ${\displaystyle C^{*}(X;G)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\simeq H^{*}(C^{*}(X;G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Se dice que un elemento es localmente cero si existe una cobertura de por conjuntos abiertos tales que se anula en cualquier -tupla de que se encuentre en algún elemento de (es decir, se anula en ). El subconjunto de que consiste en funciones localmente cero es un submódulo, denotado por . es un subcomplejo de cocadena de por lo que definimos un complejo de cocadena cociente . Los grupos de cohomología de Alexander-Spanier se definen como los grupos de cohomología de . ${\displaystyle \varphi \in C^{p}(X)}$ ${\displaystyle \{U\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (p+1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U\}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \bigcup _{U\in \{U\}}U^{p+1}}$ ${\displaystyle C^{p}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}^{p}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}^{*}(X)=\{C_{0}^{p}(X),d\}}$ ${\displaystyle C^{*}(X)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X)=C^{*}(X)/C_{0}^{*}(X)}$ ${\displaystyle {\bar {H}}^{p}(X,G)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X)}$

Homomorfismo inducido

Dada una función que no es necesariamente continua, existe un mapa de cocadena inducido ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f^{\sharp }:C^{*}(Y;G)\to C^{*}(X;G)}$

definido por ${\displaystyle (f^{\sharp }\varphi )(x_{0},...,x_{p})=(\varphi f)(x_{0},...,x_{p}),\ \varphi \in C^{p}(Y);\ x_{0},...,x_{p}\in X}$

Si es continua, hay un mapa de cocadena inducido ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f^{\sharp }:{\bar {C}}^{*}(Y;G)\to {\bar {C}}^{*}(X;G)}$

Módulo de cohomología relativa

Si es un subespacio de y es una función de inclusión, entonces hay un epimorfismo inducido . El núcleo de es un subcomplejo de cocadena de cuyo se denota por . Si denota el subcomplejo de de funciones que son localmente cero en , entonces . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:A\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle i^{\sharp }:{\bar {C}}^{*}(X;G)\to {\bar {C}}^{*}(A;G)}$ ${\displaystyle i^{\sharp }}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X;G)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X,A;G)}$ ${\displaystyle C^{*}(X,A)}$ ${\displaystyle C^{*}(X)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X,A)=C^{*}(X,A)/C_{0}^{*}(X)}$

El módulo relativo se define como el módulo de cohomología de . ${\displaystyle {\bar {H}}^{*}(X,A;G)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X,A;G)}$

${\displaystyle {\bar {H}}^{q}(X,A;G)}$Se denomina módulo de cohomología de Alexander de grado con coeficientes ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle G}$ y este módulo satisface todos los axiomas de cohomología. La teoría de cohomología resultante se denomina teoría de cohomología de Alexander (o de Alexander-Spanier).

Axiomas de la teoría de la cohomología

• (Axioma de dimensión) Si es un espacio de un punto, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\simeq {\bar {H}}^{*}(X;G)}$
• (Axioma de exactitud) Si es un par topológico con mapas de inclusión y , existe una secuencia exacta ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle i:A\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle j:X\hookrightarrow (X,A)}$ $${\displaystyle \cdots \to {\bar {H}}^{q}(X,A;G)\xrightarrow {j^{*}} {\bar {H}}^{q}(X;G)\xrightarrow {i^{*}} {\bar {H}}^{q}(A;G)\xrightarrow {\delta ^{*}} {\bar {H}}^{q+1}(X,A;G)\to \cdots }$$
• (Axioma de escisión) Para el par topológico , si es un subconjunto abierto de tal que , entonces . ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\bar {U}}\subset \operatorname {int} A}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X,A)\simeq {\bar {C}}^{*}(X-U,A-U)}$
• (Axioma de homotopía) Si son homotópicos, entonces ${\displaystyle f_{0},f_{1}:(X,A)\to (Y,B)}$ ${\displaystyle f_{0}^{*}=f_{1}^{*}:H^{*}(Y,B;G)\to H^{*}(X,A;G)}$

Cohomología de Alexander con soportes compactos

Se dice que un subconjunto está colimitado si está acotado, es decir, su cierre es compacto. ${\displaystyle B\subset X}$ ${\displaystyle X-B}$

De manera similar a la definición del módulo de cohomología de Alexander, se puede definir el módulo de cohomología de Alexander con soportes compactos de un par agregando la propiedad que es localmente cero en algún subconjunto colimitado de . ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle \varphi \in C^{q}(X,A;G)}$ ${\displaystyle X}$

Formalmente, se puede definir de la siguiente manera: para un par topológico dado , el submódulo de consiste en tal que es localmente cero en algún subconjunto colimitado de . ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle C_{c}^{q}(X,A;G)}$ ${\displaystyle C^{q}(X,A;G)}$ ${\displaystyle \varphi \in C^{q}(X,A;G)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$

De manera similar al módulo de cohomología de Alexander, se puede obtener un complejo de cocadena y un complejo de cocadena . ${\displaystyle C_{c}^{*}(X,A;G)=\{C_{c}^{q}(X,A;G),\delta \}}$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{c}^{*}(X,A;G)=C_{c}^{*}(X,A;G)/C_{0}^{*}(X;G)}$

El módulo de cohomología inducido a partir del complejo de cocadena se denomina cohomología de Alexander con soportes compactos y se denota por . El homomorfismo inducido de esta cohomología se define como la teoría de cohomología de Alexander. ${\displaystyle {\bar {C}}_{c}^{*}}$ ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle {\bar {H}}_{c}^{*}(X,A;G)}$

Según esta definición, podemos modificar el axioma de homotopía para cohomología a un axioma de homotopía propio si definimos un homomorfismo cofronterizo solo cuando es un subconjunto cerrado . De manera similar, el axioma de escisión puede modificarse a un axioma de escisión propio , es decir, la función de escisión es una función propia. ^[2] ${\displaystyle \delta ^{*}:{\bar {H}}_{c}^{q}(A;G)\to {\bar {H}}_{c}^{q+1}(X,A;G)}$ ${\displaystyle A\subset X}$

Propiedad

Una de las propiedades más importantes de este módulo de cohomología de Alexander con soporte compacto es el siguiente teorema:

• Si es un espacio de Hausdorff localmente compacto y es la compactificación de un punto de , entonces hay un isomorfismo ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\bar {H}}_{c}^{q}(X;G)\simeq {\tilde {\bar {H}}}^{q}(X^{+};G).}$$

Ejemplo

${\displaystyle {\bar {H}}_{c}^{q}(\mathbb {R} ^{n};G)\simeq {\begin{cases}0&q\neq n\\G&q=n\end{cases}}}$

como . Por lo tanto, si , y no son del mismo tipo de homotopía propio . ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{+}\cong S^{n}}$ ${\displaystyle n\neq m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Relación con la tensión

• Del hecho de que un subespacio cerrado de un espacio de Hausdorff paracompacto es un subespacio tenso en relación con la teoría de cohomología de Alexander ^[3] y la primera propiedad básica de tensidad , si donde es un espacio de Hausdorff paracompacto y y son subespacios cerrados de , entonces es un par tenso en en relación con la teoría de cohomología de Alexander. ${\displaystyle B\subset A\subset X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle X}$

Utilizando esta propiedad de tensión, se pueden demostrar los dos hechos siguientes: ^[4]

• ( Propiedad de escisión fuerte ) Sean y pares con y Hausdorff paracompacto y y cerrado. Sea una función continua cerrada tal que induce una función biunívoca de sobre . Entonces, para todos y todos , ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle (Y,B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X-A}$ ${\displaystyle Y-B}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle f^{*}:{\bar {H}}^{q}(Y,B;G)\xrightarrow {\sim } {\bar {H}}^{q}(X,A;G)}$$
• ( Propiedad de continuidad débil ) Sea una familia de pares de Hausdorff compactos en algún espacio, dirigidos hacia abajo por inclusión, y sea . Las funciones de inclusión inducen un isomorfismo ${\displaystyle \{(X_{\alpha },A_{\alpha })\}_{\alpha }}$ ${\textstyle (X,A)=(\bigcap X_{\alpha },\bigcap A_{\alpha })}$ ${\displaystyle i_{\alpha }:(X,A)\to (X_{\alpha },A_{\alpha })}$

  ${\displaystyle \{i_{\alpha }^{*}\}:\varinjlim {\bar {H}}^{q}(X_{\alpha },A_{\alpha };M)\xrightarrow {\sim } {\bar {H}}^{q}(X,A;M)}$.

Diferencia con la teoría de la cohomología singular

Recordemos que el módulo de cohomología singular de un espacio es el producto directo de los módulos de cohomología singulares de sus componentes de trayectoria.

Un espacio no vacío es conexo si y solo si . Por lo tanto, para cualquier espacio conexo que no esté conexo por caminos , la cohomología singular y la cohomología de Alexander difieren en grado 0. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\simeq {\bar {H}}^{0}(X;G)}$

Si es una cubierta abierta de por conjuntos disjuntos por pares, entonces existe un isomorfismo natural . ^[5] En particular, si es la colección de componentes de un espacio localmente conexo , existe un isomorfismo natural . ${\displaystyle \{U_{j}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle {\bar {H}}^{q}(X;G)\simeq \prod _{j}{\bar {H}}^{q}(U_{j};G)}$ ${\displaystyle \{C_{j}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle {\bar {H}}^{q}(X;G)\simeq \prod _{j}{\bar {H}}^{q}(C_{j};G)}$

Variantes

También es posible definir la homología de Alexander-Spanier ^[6] y la cohomología de Alexander-Spanier con soportes compactos. (Bredon 1997)

Conexión con otras cohomologías

Los grupos de cohomología de Alexander-Spanier coinciden con los grupos de cohomología de Čech para espacios de Hausdorff compactos y coinciden con los grupos de cohomología singulares para complejos localmente finitos.

Referencias

1. Spanier, Edwin H. (1966). Topología algebraica . Springer. pág. 307. ISBN. 978-0387944265.
2. Spanier, Edwin H. (1966). Topología algebraica . Springer. pp. 320, 322. ISBN. 978-0387944265.
3. Deo, Satya (197). "Sobre la propiedad de tensión de la cohomología de Alexander-Spanier". American Mathematical Society . 52 : 441–442.
4. Spanier, Edwin H. (1966). Topología algebraica . Springer. pág. 318. ISBN. 978-0387944265.
5. Spanier, Edwin H. (1966). Topología algebraica . Springer. pág. 310. ISBN. 978-0387944265.
6. Massey 1978a.

Bibliografía

• Alexander, James W. (1935), "Sobre las cadenas de un complejo y sus duales", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 21 (8), National Academy of Sciences: 509–511, Bibcode :1935PNAS...21..509A, doi : 10.1073/pnas.21.8.509 , ISSN  0027-8424, JSTOR  86360, PMC  1076641 , PMID  16577676
• Bredon, Glen E. (1997), Teoría de haces , Graduate Texts in Mathematics, vol. 170 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0647-7, ISBN 978-0-387-94905-5, Sr.  1481706
• Massey, William S. (1978), "Cómo dar una exposición de la teoría de homología de tipos de Čech-Alexander-Spanier", The American Mathematical Monthly , 85 (2): 75–83, doi :10.2307/2321782, ISSN  0002-9890, JSTOR  2321782, MR  0488017
• Massey, William S. (1978), Teoría de homología y cohomología. Un enfoque basado en cocadenas de Alexander-Spanier. , Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, vol. 46, Nueva York: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-6662-7, Sr.  0488016
• Spanier, Edwin H. (1948), "Teoría de la cohomología para espacios generales", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 49 (2): 407–427, doi :10.2307/1969289, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969289, MR  0024621
• Spanier, Edwin H. (1966), Topología algebraica , Springer, ISBN 978-0387944265