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Clase pseudoelemental

En lógica , una clase pseudoelemental es una clase de estructuras derivadas de una clase elemental (una definible en lógica de primer orden ) omitiendo algunos de sus tipos y relaciones. Es la contraparte lógica matemática de la noción en teoría de categorías de (el codominio de) un funtor olvidadizo , y en física de teorías de variables ocultas (hipótesis) que pretenden explicar la mecánica cuántica . Las clases elementales son (vacuamente) pseudoelementales, pero lo inverso no siempre es cierto; sin embargo, las clases pseudoelementales comparten algunas de las propiedades de las clases elementales, como estar cerradas bajo ultraproductos .

Definición

Una clase pseudoelemental es una reducción de una clase elemental , es decir, se obtiene omitiendo algunos de los tipos y relaciones de una clase elemental (multiordenada).

Ejemplos

  1. La teoría con igualdad de conjuntos bajo unión e intersección, cuyas estructuras son de la forma ( W , ∪, ∩), puede ser entendida ingenuamente como la clase pseudoelemental formada a partir de la clase elemental de dos clases de estructuras de la forma ( A , W , ∪, ∩, ∈) donde ∈ ⊆ A × W y ∪ y ∩ son operaciones binarias ( relaciones cuaternarias ) sobre W . La teoría de la última clase está axiomatizada por
    ∀ X,Y ∈ W .∀ a ∈ A .[ a ∈ X ∪ Y   ⇔   a ∈ X ∨ a ∈ Y ]
    ∀ X,Y ∈ W .∀ a ∈ A .[ a ∈ X ∩ Y   ⇔   a ∈ X ∧ a ∈ Y ]
    ∀ X,Y ∈ W .[ (∀ a ∈ A .[ a ∈ X   ⇔   a ∈ Y ]) → X = Y ]
    En la interpretación pretendida, A es un conjunto de átomos a,b ,..., W es un conjunto de conjuntos de átomos X,Y,... y ∈ es la relación de pertenencia entre átomos y conjuntos. Las consecuencias de estos axiomas incluyen todas las leyes de los retículos distributivos . Puesto que las últimas leyes no hacen mención de los átomos, siguen siendo significativas para las estructuras obtenidas a partir de los modelos de la teoría anterior al omitir el tipo A de átomos y la relación de pertenencia ∈. Todos los retículos distributivos son representables como conjuntos de conjuntos bajo unión e intersección, por lo que esta clase pseudoelemental es de hecho una clase elemental, es decir, la variedad de los retículos distributivos. En este ejemplo, ambas clases (respectivamente antes y después de la omisión) son clases elementales finitamente axiomatizables. Pero mientras que el enfoque estándar para axiomatizar la última clase utiliza nueve ecuaciones para axiomatizar una red distributiva, la primera clase solo requiere los tres axiomas anteriores, lo que hace que sea más rápido definir la última clase como una reducción de la primera que directamente de la manera habitual.
  2. La teoría con igualdad de relaciones binarias bajo unión R ∪ S , intersección R ∩ S , complemento R − , composición relacional R ; S , y recíproco relacional R , cuyas estructuras son de la forma ( W , ∪, ∩, −, ;, ), puede entenderse como la clase pseudoelemental formada a partir de la clase elemental triordenada de estructuras de la forma ( A , P , W , ∪, ∩, −, ;, , λ, ρ, π, ∈). La interpretación pretendida de las tres clases son átomos, pares de átomos y conjuntos de pares de átomos, π: A ×; A → P y λ,ρ: P → A son los constructores y destructores de emparejamiento evidentes, y ∈ ⊆ P ×; W es la relación de pertenencia entre pares y relaciones (como conjuntos de pares). Por analogía con el Ejemplo 1, los conectivos puramente relacionales definidos en W pueden axiomatizarse ingenuamente en términos de átomos y pares de átomos de la manera habitual en los textos introductorios. La teoría pura de relaciones binarias puede entonces obtenerse como la teoría de la clase pseudoelemental de reducciones de modelos de esta clase elemental obtenida omitiendo las clases de átomos y pares y todas las relaciones que involucran las clases omitidas. En este ejemplo ambas clases son elementales, pero solo la primera clase es finitamente axiomatizable, aunque Tarski demostró en 1955 que la última clase (la reducción) era, no obstante, una variedad , a saber, RRA , las álgebras de relación representables .
  3. Un anillo primitivo es una generalización de la noción de anillo simple . Es definible en lenguaje elemental (de primer orden) en términos de los elementos e ideales de un anillo, dando lugar a una clase elemental de estructuras de dos tipos que comprenden anillos e ideales. La clase de anillos primitivos se obtiene a partir de esta clase elemental omitiendo los tipos y el lenguaje asociados con los ideales, y es, por lo tanto, una clase pseudoelemental. En este ejemplo, queda abierta la cuestión de si esta clase pseudoelemental es elemental.
  4. La clase de campos exponencialmente cerrados es una clase pseudoelemental que no es elemental.

Aplicaciones

Una cuasivariedad definida lógicamente como la clase de modelos de una teoría universal de Horn puede definirse de manera equivalente algebraica como una clase de estructuras cerradas bajo isomorfismos , subálgebras y productos reducidos . Dado que la noción de producto reducido es más intrincada que la de producto directo , a veces es útil combinar las caracterizaciones lógicas y algebraicas en términos de clases pseudoelementales. Una de esas definiciones combinadas caracteriza una cuasivariedad como una clase pseudoelemental cerrada bajo isomorfismos, subálgebras y productos directos (la propiedad pseudoelemental permite simplificar "reducido" a "directo").

Un corolario de esta caracterización es que se puede probar (de manera no constructiva) la existencia de una axiomatización universal de Horn de una clase axiomatizando primero alguna expansión de la estructura con clases y relaciones auxiliares y luego mostrando que la clase pseudoelemental obtenida al eliminar las construcciones auxiliares está cerrada bajo subálgebras y productos directos. Esta técnica funciona para el Ejemplo 2 porque las subálgebras y los productos directos de las álgebras de relaciones binarias son en sí mismas álgebras de relaciones binarias, lo que muestra que la clase RRA de las álgebras de relaciones representables es una cuasivariedad (y a fortiori una clase elemental). Esta prueba corta es una aplicación efectiva del sinsentido abstracto ; el resultado más fuerte de Tarski de que RRA es de hecho una variedad requirió un trabajo más honesto.

Referencias