Categoría distributiva

En matemáticas , una categoría es distributiva si tiene productos finitos y coproductos finitos y tal que para cada elección de objetos , la función canónica ${\displaystyle A,B,C}$

${\displaystyle [{\mathit {id}}_{A}\times \iota _{1},{\mathit {id}}_{A}\times \iota _{2}]:A\!\times \!B\,+A\!\times \!C\to A\!\times \!(B+C)}$

es un isomorfismo , y para todos los objetos , el mapa canónico es un isomorfismo (donde 0 denota el objeto inicial ). De manera equivalente, si para cada objeto el endofunctor definido por preserva los coproductos hasta los isomorfismos . ^[1] Se deduce que y los mapas canónicos antes mencionados son iguales para cada elección de objetos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\to A\times 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times -}$ ${\displaystyle B\mapsto A\times B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

En particular, si el funtor tiene un adjunto derecho (es decir, si la categoría es cartesiana cerrada ), necesariamente preserva todos los colimites y, por lo tanto, cualquier categoría cartesiana cerrada con coproductos finitos (es decir, cualquier categoría bicartesiana cerrada ) es distributiva. ${\displaystyle A\times -}$

Ejemplo

La categoría de conjuntos es distributiva. Sean A , B y C conjuntos . Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}A\times (B\amalg C)&=\{(a,d)\mid a\in A{\text{ and }}d\in B\amalg C\}\\&\cong \{(a,d)\mid a\in A{\text{ and }}d\in B\}\amalg \{(a,d)\mid a\in A{\text{ and }}d\in C\}\\&=(A\times B)\amalg (A\times C)\end{aligned}}}$

donde denota el coproducto en el conjunto , es decir, la unión disjunta , y denota una biyección . En el caso en que A , B y C sean conjuntos finitos , este resultado refleja la propiedad distributiva : los conjuntos anteriores tienen cada uno cardinalidad . ${\displaystyle \amalg }$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle |A|\cdot (|B|+|C|)=|A|\cdot |B|+|A|\cdot |C|}$

Las categorías Grp y Ab no son distributivas, aunque tienen productos y coproductos.

Una categoría aún más simple que tiene tanto productos como coproductos pero no es distributiva es la categoría de conjuntos puntiagudos . ^[2]

Referencias

1. Taylor, Paul (1999). Fundamentos prácticos de las matemáticas . Cambridge University Press. pág. 275.
2. FW Lawvere; Stephen Hoel Schanuel (2009). Matemáticas conceptuales: una primera introducción a las categorías (2.ª ed.). Cambridge University Press. pp. 296–298. ISBN 978-0-521-89485-2.

Lectura adicional

• Cockett, JRB (1993). "Introducción a las categorías distributivas". Estructuras matemáticas en informática . 3 (3): 277–307. doi : 10.1017/S0960129500000232 .
• Carboni, Aurelio (1993). "Introducción a las categorías extensivas y distributivas". Journal of Pure and Applied Algebra . 84 (2): 145–158. doi : 10.1016/0022-4049(93)90035-R .