La cúpula de Norton es un experimento mental que muestra un sistema no determinista dentro de los límites de la mecánica newtoniana . Fue ideado por John D. Norton en 2003. [1] [2] Es un caso límite especial de una clase más general de ejemplos de 1997 debido a Sanjay Bhat y Dennis Bernstein. [3] El problema de la cúpula de Norton puede considerarse un problema de física, matemáticas y filosofía. [4] [5] [6] [7]
El modelo consiste en una partícula idealizada que inicialmente se encuentra inmóvil en el vértice de una cúpula sin fricción idealizada, radialmente simétrica, descrita por la ecuación [6] [7]
donde h es el desplazamiento vertical desde la parte superior del domo hasta un punto del domo, r es la distancia geodésica desde el vértice del domo hasta ese punto (en otras palabras, una coordenada radial r está "inscrita" en la superficie), g es la aceleración debida a la gravedad y b es una constante de proporcionalidad. [6]
Según la segunda ley de Newton , la componente tangente de la aceleración sobre una masa puntual que descansa sin fricción sobre la superficie es . [6]
Norton muestra que existen dos clases de soluciones matemáticas para esta ecuación. En el primero, la partícula permanece en el vértice de la cúpula para siempre. En el segundo, la partícula se sienta en el vértice de la cúpula por un tiempo y luego, después de un período de tiempo arbitrario, comienza a deslizarse hacia abajo por la cúpula en una dirección arbitraria. La aparente paradoja en este segundo caso es que esto parecería ocurrir sin razón discernible, y sin que ninguna otra entidad ejerza sobre él ninguna fuerza radial, aparentemente contrario tanto a la intuición física como a los conceptos intuitivos normales de causa y efecto , sin embargo, la El movimiento sigue siendo totalmente consistente con las matemáticas de las leyes del movimiento de Newton . [ cita necesaria ]
Para ver que todas estas ecuaciones de movimiento son soluciones físicamente posibles, resulta útil utilizar la reversibilidad temporal de la mecánica newtoniana. Es posible hacer rodar una bola por la cúpula de tal manera que alcance el vértice en un tiempo finito y con energía cero, y se detenga allí. Por inversión del tiempo, es una solución válida que la pelota descanse en la parte superior por un tiempo y luego ruede hacia abajo en cualquier dirección. Sin embargo, el mismo argumento aplicado a los tipos habituales de cúpulas (por ejemplo, un hemisferio) falla, porque una bola lanzada con la energía justa para llegar a la cima y permanecer allí tardaría en realidad un tiempo infinito en lograrlo. [8] [ se necesita fuente no primaria ]
Si bien se han hecho muchas críticas al experimento mental de Norton, como que es una violación del principio de continuidad de Lipschitz (la fuerza que aparece en la segunda ley de Newton no es una función continua de Lipschitz de la trayectoria de la partícula; esto permite evadir el experimento mental local) . teorema de unicidad para soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias), o en violación de los principios de simetría física , o que de alguna otra manera es "no físico", no hay consenso entre sus críticos sobre por qué lo consideran inválido.
Sin embargo, una solución simple del experimento mental es la siguiente:
Todo el argumento depende del comportamiento de la partícula en el punto , durante un período de tiempo en el que tiene velocidad cero. La mecánica newtoniana tradicional diría que la posición de la partícula sería, infinitesimalmente,
durante algún tiempo , pero como la segunda derivada de la superficie no existe en este punto, la fuerza es indeterminada. Por tanto, es perfectamente comprensible que el movimiento infinitesimal del objeto también sea indeterminado.
Esto lleva la paradoja a la cuestión de si una superficie sin segunda derivada no es física.
