Suma indefinida

En cálculo discreto, el operador suma indefinida (también conocido como operador antidiferencia ), denotado por o , ^{[1] [2]} es el operador lineal , inverso del operador diferencia hacia adelante . Se relaciona con el operador diferencia hacia adelante como la integral indefinida se relaciona con la derivada . Por lo tanto ${\textstyle \sum _{x}}$ ${\displaystyle \Delta ^{-1}}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta \sum _{x}f(x)=f(x)\,.}$

Más explícitamente, si , entonces ${\textstyle \sum _{x}f(x)=F(x)}$

${\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x)\,.}$

Si F ( x ) es una solución de esta ecuación funcional para una f ( x ) dada, entonces también lo es F ( x )+ C ( x ) para cualquier función periódica C ( x ) con período 1. Por lo tanto, cada suma indefinida representa en realidad una familia de funciones. Sin embargo, debido al teorema de Carlson , la solución igual a su desarrollo en serie de Newton es única hasta una constante aditiva C . Esta solución única puede representarse mediante la forma formal de serie de potencias del operador de antidiferencia: . ${\displaystyle \Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1}}}$

Teorema fundamental del cálculo discreto

Las sumas indefinidas se pueden utilizar para calcular sumas definidas con la fórmula: ^[3]

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b}f(k)=\Delta ^{-1}f(b+1)-\Delta ^{-1}f(a)}$

Definiciones

Fórmula de suma de Laplace

La fórmula de suma de Laplace permite escribir la suma indefinida como la integral indefinida más los términos de corrección obtenidos al iterar el operador de diferencia , aunque originalmente se desarrolló para el proceso inverso de escribir una integral como una suma indefinida más los términos de corrección. Como es habitual con las sumas indefinidas y las integrales indefinidas, es válida hasta una elección arbitraria de la constante de integración . El uso del álgebra de operadores evita saturar la fórmula con copias repetidas de la función sobre la que se va a operar: ^[4]

$${\displaystyle \sum _{x}=\int {}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{12}}\Delta +{\frac {1}{24}}\Delta ^{2}-{\frac {19}{720}}\Delta ^{3}+{\frac {3}{160}}\Delta ^{4}-\cdots }$$

En esta fórmula, por ejemplo, el término representa un operador que divide la función dada por dos. Los coeficientes , , etc., que aparecen en esta fórmula son los coeficientes de Gregory , también llamados números de Laplace. El coeficiente en el término es ^[4] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n-1}}$

$${\displaystyle {\frac {{\mathcal {C}}_{n}}{n!}}=\int _{0}^{1}{\binom {x}{n}}\,dx}$$

donde el numerador del lado izquierdo se llama número de Cauchy de primer tipo, aunque este nombre a veces se aplica a los propios coeficientes de Gregory. ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$

Fórmula de Newton

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\binom {x}{k}}\Delta ^{k-1}[f]\left(0\right)+C=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k-1}[f](0)}{k!}}(x)_{k}+C}$

¿Dónde está el factorial descendente ? ${\displaystyle (x)_{k}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}}$

La fórmula de Faulhaber

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n-1)}(0)}{n!}}B_{n}(x)+C\,,}$

La fórmula de Faulhaber establece que el lado derecho de la ecuación converge.

La fórmula de Mueller

Si entonces ^[5] ${\displaystyle \lim _{x\to {+\infty }}f(x)=0,}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(f(n)-f(n+x)\right)+C.}$

Fórmula de Euler-Maclaurin

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt-{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)+C}$

Elección del término constante

A menudo la constante C en suma indefinida se fija a partir de la siguiente condición.

Dejar

${\displaystyle F(x)=\sum _{x}f(x)+C}$

Entonces la constante C se fija a partir de la condición

${\displaystyle \int _{0}^{1}F(x)\,dx=0}$

o

${\displaystyle \int _{1}^{2}F(x)\,dx=0}$

Alternativamente, se puede utilizar la suma de Ramanujan:

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-f(0)-F(0)}$

o a la 1

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-F(1)}$

respectivamente ^{[6] [7]}

Suma por partes

Suma indefinida por partes:

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)+\sum _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}\Delta f(x)\Delta g(x)}$

Suma definitiva por partes:

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}f(i)\Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum _{i=a}^{b}g(i+1)\Delta f(i)}$

Reglas del período

Si es un periodo de función entonces ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=xf(Tx)+C}$

Si es un antiperiodo de la función , entonces es ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x+T)=-f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=-{\frac {1}{2}}f(Tx)+C}$

Uso alternativo

Algunos autores utilizan la frase "suma indefinida" para describir una suma en la que no se da el valor numérico del límite superior:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k).}$

En este caso, una expresión de forma cerrada F ( k ) para la suma es una solución de

${\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x+1)}$

que se denomina ecuación telescópica. ^[8] Es la inversa del operador de diferencia hacia atrás . Está relacionada con el operador de antidiferencia hacia adelante utilizando el teorema fundamental del cálculo discreto descrito anteriormente. ${\displaystyle \nabla }$

Lista de sumas indefinidas

Esta es una lista de sumas indefinidas de varias funciones. No todas las funciones tienen una suma indefinida que pueda expresarse en términos de funciones elementales.

Antidiferencias de funciones racionales

${\displaystyle \sum _{x}a=ax+C}$

De la cual se puede factorizar, quedando 1, con la forma alternativa . De ahí, tenemos: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x^{0}}$

${\displaystyle \sum _{x}x^{0}=\ x}$

Para la suma a continuación, recuerda ${\displaystyle x=x^{1}}$

${\displaystyle \sum _{x}x={\frac {x(x+1)}{2}}+C}$

Para exponentes enteros positivos se puede utilizar la fórmula de Faulhaber . Para exponentes enteros negativos,

${\displaystyle \sum _{x}{\frac {1}{x^{a}}}={\frac {(-1)^{a+1}\psi ^{(a+1)}(x)}{a!}}+C,\,a\in \mathbb {Z} }$

donde se puede utilizar la función poligamma . ${\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}$

De manera más general,

${\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\begin{cases}-\zeta (-a,x+1)+C_{1},&{\text{if }}a\neq -1\\\psi (x+1)+C_{2},&{\text{if }}a=-1\end{cases}}}$

donde es la función zeta de Hurwitz y es la función Digamma . y son constantes que normalmente se establecerían en (donde es la función zeta de Riemann ) y la constante de Euler–Mascheroni respectivamente. Al reemplazar la variable con , se convierte en el número armónico generalizado . Para la relación entre las funciones zeta de Hurwitz y poligamma , consulte Función poligamma balanceada y Función zeta de Hurwitz#Casos especiales y generalizaciones . ${\displaystyle \zeta (s,a)}$ ${\displaystyle \psi (z)}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle \zeta (-a)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

A partir de esto, utilizando , se puede obtener otra forma: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}\zeta (s,a)=-s\zeta (s+1,a)}$

${\displaystyle \sum _{x}x^{a}=\int _{0}^{x}-a\zeta (1-a,u+1)du+C,{\text{ if }}a\neq -1}$

${\displaystyle \sum _{x}B_{a}(x)=(x-1)B_{a}(x)-{\frac {a}{a+1}}B_{a+1}(x)+C}$

Antidiferencias de funciones exponenciales

${\displaystyle \sum _{x}a^{x}={\frac {a^{x}}{a-1}}+C}$

Particularmente,

${\displaystyle \sum _{x}2^{x}=2^{x}+C}$

Antidiferencias de funciones logarítmicas

${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}x=\log _{b}(x!)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}ax=\log _{b}(x!a^{x})+C}$

Antidiferencias de funciones hiperbólicas

${\displaystyle \sum _{x}\sinh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\cosh \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\cosh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\sinh \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\tanh ax={\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x-{\frac {i\pi }{2a}}\right)+{\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x+{\frac {i\pi }{2a}}\right)-x+C}$

¿Dónde está la función q-digamma ? ${\displaystyle \psi _{q}(x)}$

Antidiferencias de funciones trigonométricas

${\displaystyle \sum _{x}\sin ax=-{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\cos ax={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\sin \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\sin ^{2}ax={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\cos ^{2}ax={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\tan ax=ix-{\frac {1}{a}}\psi _{e^{2ia}}\left(x-{\frac {\pi }{2a}}\right)+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}$

¿Dónde está la función q-digamma ? ${\displaystyle \psi _{q}(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}\tan x=ix-\psi _{e^{2i}}\left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)+C=-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1-x\right)+\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+x\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\cot ax=-ix-{\frac {i\psi _{e^{2ia}}(x)}{a}}+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}$

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sinc} x=\operatorname {sinc} (x-1)\left({\frac {1}{2}}+(x-1)\left(\ln(2)+{\frac {\psi ({\frac {x-1}{2}})+\psi ({\frac {1-x}{2}})}{2}}-{\frac {\psi (x-1)+\psi (1-x)}{2}}\right)\right)+C}$

donde es la función sinc normalizada . ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$

Antidiferencias de funciones hiperbólicas inversas

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {artanh} \,ax={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma \left(x+{\frac {1}{a}}\right)}{\Gamma \left(x-{\frac {1}{a}}\right)}}\right)+C}$

Antidiferencias de funciones trigonométricas inversas

${\displaystyle \sum _{x}\arctan ax={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma (x+{\frac {i}{a}})}{\Gamma (x-{\frac {i}{a}})}}\right)+C}$

Antidiferencias de funciones especiales

${\displaystyle \sum _{x}\psi (x)=(x-1)\psi (x)-x+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\Gamma (x)=(-1)^{x+1}\Gamma (x){\frac {\Gamma (1-x,-1)}{e}}+C}$

¿Dónde está la función gamma incompleta ? ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

${\displaystyle \sum _{x}(x)_{a}={\frac {(x)_{a+1}}{a+1}}+C}$

¿Dónde está el factorial descendente ? ${\displaystyle (x)_{a}}$

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sexp} _{a}(x)=\ln _{a}{\frac {(\operatorname {sexp} _{a}(x))'}{(\ln a)^{x}}}+C}$

(ver función superexponencial )

Véase también

• Producto indefinido
• Cálculo de escala de tiempo
• Lista de derivadas e integrales en cálculos alternativos

Referencias

1. Man, Yiu-Kwong (1993), "Sobre el cálculo de formas cerradas para sumas indefinidas", Journal of Symbolic Computation , 16 (4): 355–376, doi :10.1006/jsco.1993.1053, MR  1263873
2. Goldberg, Samuel (1958), Introducción a las ecuaciones diferenciales, con ejemplos ilustrativos de economía, psicología y sociología, Wiley, Nueva York, y Chapman & Hall, Londres, pág. 41, ISBN 978-0-486-65084-5, MR  0094249, Si es una función cuya primera diferencia es la función , entonces se llama suma indefinida de y se denota por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Delta ^{-1}y}$; reimpreso por Dover Books, 1986
3. "Manual de matemáticas discretas y combinatorias", Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1 
4. Merlini, Donatella; Sprugnoli, Renzo; Verri, M. Cecilia (2006), "Los números de Cauchy", Matemáticas discretas , 306 (16): 1906–1920, doi :10.1016/j.disc.2006.03.065, SEÑOR  2251571
5. Markus Müller. Cómo sumar un número no entero de términos y cómo producir sumas infinitas inusuales Archivado el 17 de junio de 2011 en Wayback Machine (nótese que en su trabajo utiliza una definición ligeramente alternativa de suma fraccionaria, es decir, inversa a la diferencia hacia atrás, de ahí que 1 sea el límite inferior en su fórmula)
6. Bruce C. Berndt, Cuadernos de notas de Ramanujan Archivado el 12 de octubre de 2006 en Wayback Machine , Ramanujan's Theory of Divergent Series , Capítulo 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), págs. 133-149.
7. Éric Delabaere, Resumen de Ramanujan, Seminario de algoritmos 2001-2002 , F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), págs.
8. Algoritmos para ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior, Manuel Kauers

Lectura adicional

• "Ecuaciones diferenciales: una introducción con aplicaciones", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001, ISBN 0-12-403330-X 
• Markus Müller. Cómo sumar un número no entero de términos y cómo producir sumas infinitas inusuales
• Markus Müller, Dierk Schleicher. Sumas fraccionarias e identidades tipo Euler
• S. P. Polyakov. Suma indefinida de funciones racionales con minimización adicional de la parte sumable. Programmirovanie, 2008, vol. 34, n.º 2.
• "Ecuaciones y simulaciones de diferencias finitas", Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968