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ley de poco

En la teoría matemática de colas , la ley de Little (también resultado , teorema , lema o fórmula [1] [2] ) es un teorema de John Little que establece que el número promedio a largo plazo L de clientes en un sistema estacionario es igual al tasa de llegada efectiva promedio a largo plazo λ multiplicada por el tiempo promedio W que pasa un cliente en el sistema. Expresada algebraicamente la ley es

La relación no está influenciada por la distribución del proceso de llegada, la distribución del servicio, el pedido del servicio o prácticamente cualquier otra cosa. En la mayoría de los sistemas de colas, el tiempo de servicio es el cuello de botella que crea la cola. [3]

El resultado se aplica a cualquier sistema y, en particular, se aplica a sistemas dentro de sistemas. [4] Por ejemplo, en una sucursal bancaria, la línea de clientes podría ser un subsistema y cada uno de los cajeros otro subsistema, y ​​el resultado de Little podría aplicarse a cada uno, así como a todo el conjunto. Los únicos requisitos son que el sistema sea estable y no preventivo [ vago ] Los únicos requisitos son que el sistema sea estable y no preventivo ; esto descarta estados de transición como el inicio o el apagado inicial.

En algunos casos, es posible no sólo relacionar matemáticamente el número promedio en el sistema con la espera promedio , sino incluso relacionar toda la distribución de probabilidad (y los momentos) del número en el sistema con la espera. [5]

Historia

En un artículo de 1954, se asumió que la ley de Little era cierta y se utilizó sin pruebas. [6] [7] La ​​forma L  =  λW fue publicada por primera vez por Philip M. Morse , donde desafió a los lectores a encontrar una situación en la que la relación no se mantuviera. [6] [8] Little publicó en 1961 su prueba de la ley, demostrando que tal situación no existía. [9] La prueba de Little fue seguida por una versión más simple de Jewell [10] y otra de Eilon. [11] Shaler Stidham publicó una prueba diferente y más intuitiva en 1972. [12] [13]

Ejemplos

Encontrar el tiempo de respuesta

Imagine una aplicación que no tuviera una forma sencilla de medir el tiempo de respuesta . Si se conocen el número medio en el sistema y el rendimiento, el tiempo de respuesta promedio se puede encontrar usando la Ley de Little:

tiempo medio de respuesta = número medio en el sistema / rendimiento medio

Por ejemplo: un medidor de profundidad de cola muestra un promedio de nueve trabajos en espera de ser atendidos. Agregue uno para el trabajo que se está atendiendo, de modo que haya un promedio de diez trabajos en el sistema. Otro medidor muestra un rendimiento medio de 50 por segundo. El tiempo medio de respuesta se calcula como 0,2 segundos = 10/50 por segundo.

Clientes en la tienda

Imagina una pequeña tienda con un único mostrador y una zona para curiosear, donde sólo puede estar una persona a la vez en el mostrador y nadie se va sin comprar algo. Entonces el sistema es:

entrada → navegación → contador → salida

Si la velocidad a la que las personas entran a la tienda (llamada tasa de llegada) es la velocidad a la que salen (llamada tasa de salida), el sistema es estable. Por el contrario, una tasa de llegada superior a la tasa de salida representaría un sistema inestable, donde el número de clientes en espera en la tienda aumentaría gradualmente hasta el infinito.

La Ley de Little nos dice que el número promedio de clientes en la tienda L , es la tasa efectiva de llegada  λ , multiplicada por el tiempo promedio que pasa un cliente en la tienda W , o simplemente:

Supongamos que los clientes llegan a un ritmo de 10 por hora y permanecen un promedio de 0,5 horas. Esto significa que debemos encontrar que el número promedio de clientes en la tienda en cualquier momento es 5.

Ahora suponga que la tienda está considerando hacer más publicidad para aumentar la tasa de llegada a 20 por hora. La tienda debe estar preparada para albergar un promedio de 10 ocupantes o debe reducir el tiempo que cada cliente pasa en la tienda a 0,25 horas. La tienda podría lograr esto último cobrando la factura más rápido o agregando más mostradores.

Podemos aplicar la Ley de Little a los sistemas dentro de la tienda. Por ejemplo, considere el mostrador y su cola. Supongamos que notamos que hay en promedio 2 clientes en la cola y en el mostrador. Sabemos que la tasa de llegadas es de 10 por hora, por lo que los clientes deben dedicar 0,2 horas en promedio a realizar el check-out.

Incluso podemos aplicar la Ley de Little al propio mostrador. El número promedio de personas en el mostrador estaría en el rango (0, 1), ya que no puede haber más de una persona en el mostrador a la vez. En ese caso, el número promedio de personas en el mostrador también se conoce como utilización del mostrador.

Sin embargo, debido a que una tienda en realidad generalmente tiene una cantidad limitada de espacio, eventualmente puede volverse inestable. Si la tasa de llegada es mucho mayor que la tasa de salida, la tienda eventualmente comenzará a desbordarse y, por lo tanto, cualquier nuevo cliente que llegue simplemente será rechazado (y obligado a ir a otro lugar o volver a intentarlo más tarde) hasta que vuelva a haber espacio libre disponible. en la tienda. Esta es también la diferencia entre la tasa de llegada y la tasa de llegada efectiva , donde la tasa de llegada corresponde aproximadamente a la tasa a la que los clientes llegan a la tienda, mientras que la tasa de llegada efectiva corresponde a la tasa a la que los clientes ingresan a la tienda. Sin embargo, en un sistema con un tamaño infinito y sin pérdidas, los dos son iguales.

Estimación de parámetros

Para utilizar la ley de Little sobre los datos, se deben utilizar fórmulas para estimar los parámetros, ya que el resultado no necesariamente se aplica directamente en intervalos de tiempo finitos, debido a problemas como cómo registrar a los clientes que ya están presentes al inicio del intervalo de registro y aquellos que tienen aún no ha salido cuando se detiene el registro. [14]

Aplicaciones

La ley de Little se utiliza ampliamente en la fabricación para predecir el tiempo de entrega en función de la tasa de producción y la cantidad de trabajo en proceso. [15]

Los evaluadores de rendimiento de software han utilizado la ley de Little para garantizar que los resultados de rendimiento observados no se deban a cuellos de botella impuestos por el aparato de prueba. [16] [17]

Otras aplicaciones incluyen dotar de personal a los departamentos de emergencia de los hospitales. [18] [19]

Forma distributiva

Una extensión de la ley de Little proporciona una relación entre la distribución en estado estacionario del número de clientes en el sistema y el tiempo pasado en el sistema bajo una disciplina de servicio por orden de llegada . [20]

Ver también

Referencias

  1. ^ Alberto León-García (2008). Probabilidad, estadística y procesos aleatorios para la ingeniería eléctrica (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-147122-1.
  2. ^ Allen, Arnold A. (1990). Probabilidad, estadística y teoría de colas: con aplicaciones informáticas. Publicaciones profesionales del Golfo. pag. 259.ISBN​ 0120510510.
  3. ^ Simchi-Levi, D.; Truco, MA (2013). "Introducción a la" ley de Little vista en su 50 aniversario "". Investigación de Operaciones . 59 (3): 535. doi :10.1287/opre.1110.0941.
  4. ^ Serfozo, R. (1999). "Pequeñas leyes". Introducción a las redes estocásticas . págs. 135-154. doi :10.1007/978-1-4612-1482-3_5. ISBN 978-1-4612-7160-4.
  5. ^ Keilson, J .; Servi, LD (1988). "Una forma distributiva de la ley de Little" (PDF) . Cartas de investigación operativa . 7 (5): 223. doi :10.1016/0167-6377(88)90035-1. hdl : 1721.1/5305 .
  6. ^ ab pequeño, JDC ; Graves, Carolina del Sur (2008). "Ley de Little" (PDF) . Construyendo la intuición . Serie internacional en investigación de operaciones y ciencias de la gestión. vol. 115. pág. 81. doi :10.1007/978-0-387-73699-0_5. ISBN 978-0-387-73698-3.
  7. ^ Cobham, Alan (1954). "Asignación de prioridad en problemas de cola de espera". La investigación de operaciones . 2 (1): 70–76. doi :10.1287/opre.2.1.70. JSTOR  166539.
  8. ^ Morse, Philip M. (1958). Colas, inventarios y mantenimiento: el análisis del sistema operativo con oferta y demanda variables . Wiley.
  9. ^ Pequeño, JDC (1961). "Una prueba de la fórmula de colas: L  =  λW ". La investigación de operaciones . 9 (3): 383–387. doi :10.1287/opre.9.3.383. JSTOR  167570.
  10. ^ Jewell, William S. (1967). "Una prueba simple de: L  =  λW ". La investigación de operaciones . 15 (6): 1109-1116. doi :10.1287/opre.15.6.1109. JSTOR  168616.
  11. ^ Eilon, Samuel (1969). "Una prueba más sencilla de L = λW". La investigación de operaciones . 17 (5): 915–917. doi : 10.1287/opre.17.5.915 . JSTOR  168368.
  12. ^ Stidham hijo, Shaler (1974). "Una última palabra sobre L = λW". La investigación de operaciones . 22 (2): 417–421. doi : 10.1287/opre.22.2.417 . JSTOR  169601.
  13. ^ Stidham hijo, Shaler (1972). " L  =  λW : un análogo descontado y una nueva prueba". La investigación de operaciones . 20 (6): 1115-1120. doi :10.1287/opre.20.6.1115. JSTOR  169301.
  14. ^ Kim, SH; Whitt, W. (2013). «Análisis estadístico con la ley de Little» (PDF) . La investigación de operaciones . 61 (4): 1030. doi :10.1287/opre.2013.1193.
  15. ^ Correll, Nikolaus (13 de junio de 2021). "Plazo de entrega de fabricación" . Consultado el 12 de junio de 2021 .
  16. ^ Cuellos de botella en la infraestructura de software en J2EE por Deepak Goel
  17. ^ Evaluación comparativa de errores y cosas que surgen en la noche por Neil Gunther
  18. ^ Pequeño, JDC (2011). "La ley de Little vista en su 50 aniversario" (PDF) . La investigación de operaciones . 59 (3): 536–549. doi :10.1287/opre.1110.0940. JSTOR  23013126.
  19. ^ Harris, Mark (22 de febrero de 2010). "Ley de Little: la ciencia detrás de la dotación de personal adecuada". Médicos de Emergencia Mensual. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2012 . Consultado el 4 de septiembre de 2012 .
  20. ^ Bertsimas, D.; Nakazato, D. (1995). "La ley distributiva de Little y sus aplicaciones" (PDF) . La investigación de operaciones . 43 (2): 298. doi :10.1287/opre.43.2.298. JSTOR  171838.

enlaces externos