La lógica cautelosa es un conjunto de lógica dinámica involucrada en las elecciones, donde los resultados son limitados.
Un ejemplo simple de lógica cautelosa es el siguiente: si X es verdadero, entonces Y; de lo contrario, Z puede expresarse en lógica dinámica como (X?;Y)∪(~X?;Z). Esto muestra una elección lógica cautelosa: si X se cumple, entonces X?;Y es igual a Y, y ~X?;Z está bloqueado, y Y∪block también es igual a Y. Por lo tanto, cuando X es verdadero, el ejecutante principal de la acción sólo puede tomar la rama Y, y cuando es falsa la rama Z. [1]
Un ejemplo del mundo real es la idea de paradoja : algo no puede ser al mismo tiempo verdadero y falso. Una elección lógica cautelosa es aquella en la que cualquier cambio en la verdad afecta todas las decisiones que se tomen en el futuro. [2]
Antes del uso de la lógica cautelosa, se utilizaban dos términos principales para interpretar la lógica modal. La lógica matemática y la teoría de bases de datos (Inteligencia Artificial) eran lógica de predicados de primer orden. Ambos términos encontraron subclases de lógica de primera clase y se usaron de manera eficiente en lenguajes con solución que pueden usarse para la investigación. Pero ninguno de los dos podría explicar poderosas extensiones de punto fijo a las lógicas de estilo modal.
Más tarde, Moshe Y. Vardi [3] hizo la conjetura de que un modelo de árbol funcionaría para muchas lógicas de estilo modal. El fragmento guardado de la lógica de primer orden fue introducido por primera vez por Hajnal Andréka , István Németi y Johan van Benthem en su artículo Lenguajes modales y fragmentos acotados de lógica de predicados. Transfirieron con éxito propiedades clave de la lógica descriptiva , modal y temporal a la lógica de predicados. Se descubrió que la sólida capacidad de decisión de la lógica protegida podría generalizarse con una propiedad del modelo de árbol. El modelo de árbol también puede ser una fuerte indicación de que la lógica cautelosa extiende el marco modal que conserva los conceptos básicos de la lógica modal.
Las lógicas modales generalmente se caracterizan por invariancias bajo bisimulación . También sucede que la invariancia bajo bisimulación es la raíz de la propiedad del modelo de árbol que ayuda a definir la teoría de los autómatas .
Dentro de la lógica protegida existen numerosos objetos protegidos. El primero es un fragmento guardado que es la lógica de primer orden de la lógica modal. Los fragmentos guardados generalizan la cuantificación modal mediante la búsqueda de patrones relativos de cuantificación. La sintaxis utilizada para indicar fragmento protegido es GF . Otro objeto es la lógica de punto fijo protegido, denominada μGF, que naturalmente extiende el fragmento protegido desde puntos fijos de menor a mayor. Las bisimulaciones cautelosas son objetos que al analizar la lógica cautelosa. Todas las relaciones en un álgebra relacional estándar ligeramente modificada con bisimulación guardada y definible de primer orden se conocen como álgebra relacional guardada . Esto se denota mediante GRA .
Junto con los objetos de lógica protegida de primer orden, existen objetos de lógica protegida de segundo orden. Se conoce como lógica protegida de segundo orden y se denota como OSG . De manera similar a la lógica de segundo orden , la lógica de segundo orden vigilada cuantifica cuyo rango de relaciones sobreprotegidas la restringe semánticamente. Esto es diferente de la lógica de segundo orden, cuyo alcance está restringido a relaciones arbitrarias. [4]
Sea B una estructura relacional con el universo B y el vocabulario τ.
i) Un conjunto X ⊆ B está protegido en B si existe un átomo fundamental α(b_1, ..., b_k) en B tal que X = {b_1, ..., b_k}.
ii) Una estructura τ A , en particular una subestructura A ⊆ B, está protegida si su universo es un conjunto protegido en A (en B ).
iii) Una tupla (b_1, ..., b_n) ∈ B^n está protegida en B si {b_1, ..., b_n} ⊆ X para algún conjunto protegido X ⊆ B.
iv) Una tupla (b_1, ..., b_k) ∈ B^k es una lista guardada en B si sus componentes son distintos por pares y {b_1, ..., b_k} es un conjunto guardado. La lista vacía se considera una lista guardada.
v) Una relación X ⊆ B^n está protegida si solo consta de tuplas protegidas. [5]
Una bisimulación cautelosa entre dos estructuras τ A y B es un conjunto I no vacío de finito isomorfo parcial f: X → Y de A a B tal que se satisfacen las condiciones de ida y vuelta.
Atrás: Para cada f: X → Y en I y para cada conjunto guardado Y` ⊆ B , existe una g isomorfa parcial: X` → Y` en I tal que f^-1 y g^-1 concuerdan en Y ∩ Y` .
Cuarto Para cada f: X → Y en I y para cada conjunto guardado X` ⊆ A , existe una g isomorfa parcial: X` → Y` en I tal que f y g concuerdan en X ∩ X` .