Lógica de relevancia

La lógica de relevancia , también llamada lógica relevante , es un tipo de lógica no clásica que requiere que el antecedente y el consecuente de las implicaciones estén relacionados de manera relevante. Pueden verse como una familia de lógicas subestructurales o modales . En general, pero no universalmente, los lógicos británicos y, especialmente, los australianos la llaman lógica relevante , y los lógicos estadounidenses la llaman lógica de relevancia .

La lógica de relevancia tiene como objetivo capturar aspectos de la implicación que son ignorados por el operador de " implicación material " en la lógica verdad-funcional clásica , a saber, la noción de relevancia entre antecedente y condicional de una implicación verdadera. Esta idea no es nueva: CI Lewis fue llevado a inventar la lógica modal, y específicamente la implicación estricta , basándose en que la lógica clásica concede paradojas de implicación material como el principio de que una falsedad implica cualquier proposición . ^{[1] [2]} Por lo tanto, "si soy un burro, entonces dos más dos son cuatro" es cierto cuando se traduce como una implicación material, pero parece intuitivamente falso ya que una implicación verdadera debe unir el antecedente y el consecuente mediante alguna noción. de relevancia. Y el hecho de que el hablante sea o no un burro no parece en modo alguno relevante para determinar si dos y dos son cuatro.

En términos de restricción sintáctica para un cálculo proposicional , es necesario, pero no suficiente, que las premisas y la conclusión compartan fórmulas atómicas (fórmulas que no contienen ningún conectivo lógico ). En un cálculo de predicados , la relevancia requiere compartir variables y constantes entre las premisas y la conclusión. Esto puede garantizarse (junto con condiciones más estrictas), por ejemplo, imponiendo ciertas restricciones a las reglas de un sistema de deducción natural. En particular, una deducción natural al estilo de Fitch se puede adaptar para dar cabida a la relevancia introduciendo etiquetas al final de cada línea de una aplicación de una inferencia que indiquen las premisas relevantes para la conclusión de la inferencia. Los cálculos de secuenciales al estilo de Gentzen se pueden modificar eliminando las reglas de debilitamiento que permiten la introducción de fórmulas arbitrarias en el lado derecho o izquierdo de los secuenciantes .

Una característica notable de las lógicas de relevancia es que son lógicas paraconsistentes : la existencia de una contradicción no necesariamente causará una " explosión ". Esto se desprende del hecho de que un condicional con un antecedente contradictorio que no comparte ninguna letra proposicional o predicada con el consecuente no puede ser verdadero (o derivable).

Historia

La lógica de la relevancia fue propuesta en 1928 por el filósofo soviético Ivan E. Orlov (1886 - alrededor de 1936) en su artículo estrictamente matemático "La lógica de la compatibilidad de las proposiciones" publicado en Matematicheskii Sbornik . La idea básica de implicación relevante aparece en la lógica medieval, y Ackermann , ^[3] Moh, ^[4] y Church ^[5] realizaron algunos trabajos pioneros en la década de 1950. Basándose en ellos, Nuel Belnap y Alan Ross Anderson (con otros) escribieron la obra maestra del tema, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity en la década de 1970 (el segundo volumen se publicó en la década de 1990). Se centraron tanto en los sistemas de vinculación como en los sistemas de relevancia, donde se supone que las implicaciones de los primeros tipos son relevantes y necesarias.

Axiomas

Los primeros desarrollos en la lógica de la relevancia se centraron en los sistemas más fuertes. El desarrollo de la semántica de Routley-Meyer sacó a la luz una serie de lógicas más débiles. La más débil de estas lógicas es la lógica de relevancia B. Está axiomatizada con los siguientes axiomas y reglas.

1. ${\displaystyle A\to A}$
2. ${\displaystyle A\land B\to A}$
3. ${\displaystyle A\land B\to B}$
4. ${\displaystyle (A\to B)\land (A\to C)\to (A\to B\land C)}$
5. ${\displaystyle A\to A\lor B}$
6. ${\displaystyle B\to A\lor B}$
7. ${\displaystyle (A\to C)\land (B\to C)\to (A\lor B\to C)}$
8. ${\displaystyle A\land (B\lor C)\to (A\land B)\lor (A\land C)}$
9. ${\displaystyle \lnot \lnot A\to A}$

Las reglas son las siguientes.

1. ${\displaystyle A,A\to B\vdash B}$
2. ${\displaystyle A,B\vdash A\land B}$
3. ${\displaystyle A\to B\vdash (C\to A)\to (C\to B)}$
4. ${\displaystyle A\to B\vdash (B\to C)\to (A\to C)}$
5. ${\displaystyle A\to B\vdash \lnot B\to \lnot A}$

Se pueden obtener lógicas más sólidas agregando cualquiera de los siguientes axiomas.

1. ${\displaystyle (A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)}$
2. ${\displaystyle (A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)}$
3. ${\displaystyle (A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))}$
4. ${\displaystyle (A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))}$
5. ${\displaystyle (A\to (A\to B))\to (A\to B)}$
6. ${\displaystyle (A\land (A\to B))\to B}$
7. ${\displaystyle (A\to \lnot A)\to \lnot A}$
8. ${\displaystyle (A\to (B\to C))\to (B\to (A\to C))}$
9. ${\displaystyle A\to ((A\to B)\to B)}$
10. ${\displaystyle ((A\to A)\to B)\to B}$
11. ${\displaystyle A\lor \lnot A}$
12. ${\displaystyle A\to (A\to A)}$

Hay algunas lógicas notables más fuertes que B que se pueden obtener agregando axiomas a B de la siguiente manera.

• Para DW, agregue el axioma 1.
• Para DJ, agregue los axiomas 1, 2.
• Para TW, agregue los axiomas 1, 2, 3, 4.
• Para RW, agregue los axiomas 1, 2, 3, 4, 8, 9.
• Para T, agregue los axiomas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11.
• Para R, agregue los axiomas 1-11.
• Para E, agregue los axiomas 1-7, 10, 11, y , donde se define como . ${\displaystyle ((A\to A)\land (B\to B)\to C)\to C}$ ${\displaystyle \Box A\land \Box B\to \Box (A\land B)}$ ${\displaystyle \Box A}$ ${\displaystyle (A\to A)\to A}$
• Para RM, agregue todos los axiomas adicionales.

Modelos

Modelos de Routley-Meyer

La teoría del modelo estándar para la lógica de relevancia es la semántica relacional ternaria de Routley-Meyer desarrollada por Richard Routley y Robert Meyer . Un marco F de Routley-Meyer para un lenguaje proposicional es un cuádruple (W,R,*,0), donde W es un conjunto no vacío, R es una relación ternaria en W y * es una función de W a W, y . Un modelo M de Routley-Meyer es un marco F de Routley-Meyer junto con una valoración, que asigna un valor de verdad a cada proposición atómica relativa a cada punto . Hay algunas condiciones impuestas a los marcos de Routley-Meyer. Definir como . ${\displaystyle 0\in W}$ ${\displaystyle \Vdash }$ ${\displaystyle a\in W}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle R0ab}$

• ${\displaystyle a\leq a}$.
• Si y , entonces . ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle b\leq c}$ ${\displaystyle a\leq c}$
• Si y , entonces . ${\displaystyle d\leq a}$ ${\displaystyle Rabc}$ ${\displaystyle Rdbc}$
• ${\displaystyle a^{**}=a}$.
• Si entonces . ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle b^{*}\leq a^{*}}$

Escribe y para indicar que la fórmula es verdadera o no verdadera, respectivamente, en el punto en . Una última condición de los modelos de Routley-Meyer es la condición de hereditaria. ${\displaystyle M,a\Vdash A}$ ${\displaystyle M,a\nVdash A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle M}$

• Si y , entonces , para todas las proposiciones atómicas . ${\displaystyle M,a\Vdash p}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle M,b\Vdash p}$ ${\displaystyle p}$

Mediante un argumento inductivo, se puede demostrar que la herencia se extiende a fórmulas complejas, utilizando las siguientes condiciones de verdad.

• Si y , entonces , para todas las fórmulas . ${\displaystyle M,a\Vdash A}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle M,b\Vdash A}$ ${\displaystyle A}$

Las condiciones de verdad para fórmulas complejas son las siguientes.

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$y ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$o ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b,c((Rabc\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,c\Vdash B)}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash \lnot A\iff M,a^{*}\nVdash A}$

Una fórmula se cumple en un modelo por si acaso . Una fórmula se cumple en un marco si A se cumple en todos los modelos . Una fórmula es válida en una clase de fotogramas si A se cumple en todos los fotogramas de esa clase. La clase de todos los marcos de Routley-Meyer que satisfacen las condiciones anteriores valida esa lógica de relevancia B. Se pueden obtener marcos de Routley-Meyer para otras lógicas de relevancia colocando restricciones apropiadas en R y en *. Estas condiciones son más fáciles de expresar usando algunas definiciones estándar. Definamos como y definamos como . Algunas de las condiciones marco y los axiomas que validan son los siguientes. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M,0\Vdash A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (F,\Vdash )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Rabcd}$ ${\displaystyle \exists x(Rabx\land Rxcd)}$ ${\displaystyle Ra(bc)d}$ ${\displaystyle \exists x(Rbcx\land Raxd)}$

Las dos últimas condiciones validan formas de debilitamiento que originalmente se desarrollaron para evitar las lógicas de relevancia. Se incluyen para mostrar la flexibilidad de los modelos de Routley-Meyer.

Modelos operativos

Modelos Urquhart

Alasdair Urquhart desarrolló modelos operativos para fragmentos de lógica de relevancia libres de negación en su tesis doctoral y en trabajos posteriores. La idea intuitiva detrás de los modelos operativos es que los puntos de un modelo son piezas de información, y la combinación de información que respalda un condicional con la información que respalda su antecedente produce cierta información que respalda el consecuente. Dado que los modelos operativos generalmente no interpretan la negación, esta sección considerará solo lenguajes con condicional, conjunción y disyunción.

Un marco operativo es un triple , donde es un conjunto no vacío, y es una operación binaria en . Los marcos tienen condiciones, algunas de las cuales pueden eliminarse para modelar lógicas diferentes. Las condiciones que propuso Urquhart para modelar el condicional de la lógica de relevancia R son las siguientes. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (K,\cdot ,0)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0\in K}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle K}$

• ${\displaystyle x\cdot x=x}$
• ${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$
• ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$
• ${\displaystyle 0\cdot x=x}$

En estas condiciones, el marco operativo es una semirretícula de unión .

Un modelo operativo es un marco con una valoración que asigna pares de puntos y proposiciones atómicas a valores de verdad, T o F. Se puede extender a una valoración sobre fórmulas complejas de la siguiente manera. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Vdash }$

• ${\displaystyle M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T}$, para proposiciones atómicas
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$y ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$o ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Una fórmula se cumple en un modelo si y así . Una fórmula es válida en una clase de modelos si se cumple en cada modelo . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M,0\Vdash A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M\in C}$

El fragmento condicional de R es sólido y completo con respecto a la clase de modelos de semired. La lógica con conjunción y disyunción es propiamente más fuerte que el fragmento condicional, conjunción y disyunción de R. En particular, la fórmula es válida para los modelos operativos pero no es válida en R. La lógica generada por los modelos operativos para R tiene una completa sistema de prueba axiomático, debido a Kit Fine y Gerald Charlwood. Charlwood también proporcionó un sistema de deducción natural para la lógica, que demostró ser equivalente al sistema axiomático. Charlwood demostró que su sistema de deducción natural es equivalente a un sistema proporcionado por Dag Prawitz . ${\displaystyle (A\to (B\lor C))\land (B\to C)\to (A\to C)}$

La semántica operativa se puede adaptar para modelar el condicional de E agregando un conjunto de mundos no vacíos y una relación de accesibilidad a los marcos. Se requiere que la relación de accesibilidad sea reflexiva y transitiva, para captar la idea de que el condicional de E tiene una necesidad S4. Luego, las valoraciones asignan ternas de proposiciones, puntos y mundos atómicos a valores de verdad. La condición de verdad del condicional se cambia a la siguiente. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle W\times W}$

• ${\displaystyle M,a,w\Vdash A\to B\iff \forall b,\forall w'\geq w(M,b,w'\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b,w'\Vdash B)}$

La semántica operativa se puede adaptar para modelar el condicional de T agregando una relación en . Se requiere que la relación cumpla las siguientes condiciones. ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle K\times K}$

• ${\displaystyle 0\leq x}$
• Si y , entonces ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\leq z}$ ${\displaystyle x\leq z}$
• Si entonces ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\cdot z\leq y\cdot z}$

La condición de verdad del condicional se cambia a la siguiente.

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((a\leq b\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Hay dos formas de modelar las lógicas de relevancia sin contracción TW y RW con los modelos operativos. La primera forma es eliminar la condición de que . La segunda forma es mantener las condiciones de semired en los marcos y agregar una relación binaria, de desunión al marco. Para estos modelos, las condiciones de verdad del condicional se cambian a las siguientes, con la adición del ordenamiento en el caso de TW. ${\displaystyle x\cdot x=x}$ ${\displaystyle J}$

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((Jab\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Modelos Humberstone

Urquhart demostró que la lógica de semired para R es propiamente más fuerte que el fragmento positivo de R. Lloyd Humberstone proporcionó un enriquecimiento de los modelos operativos que permitió una condición de verdad diferente para la disyunción. La clase de modelos resultante genera exactamente el fragmento positivo de R.

Un marco operativo es un cuádruple , donde es un conjunto no vacío, y { , } son operaciones binarias en . Dejémonos definir como . Las condiciones del marco son las siguientes. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (K,\cdot ,+,0)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0\in K}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle \exists x(a+x=b)}$

1. ${\displaystyle 0\cdot x=x}$
2. ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$
3. ${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$
4. ${\displaystyle x\leq x\cdot x}$
5. ${\displaystyle x+y=y+x}$
6. ${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$
7. ${\displaystyle x+x=x}$
8. ${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$
9. ${\displaystyle x\leq y+z\Rightarrow \exists y',z'\in K(y'\leq y}$, y ${\displaystyle z'\leq z}$ ${\displaystyle x=y'+z')}$

Un modelo operativo es un marco con una valoración que asigna pares de puntos y proposiciones atómicas a valores de verdad, T o F. Se puede extender a una valoración sobre fórmulas complejas de la siguiente manera. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Vdash }$

• ${\displaystyle M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T}$, para proposiciones atómicas
• ${\displaystyle M,a+b\Vdash p\iff M,a\Vdash p}$y ${\displaystyle M,b\Vdash p}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$y ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$o o ; y ${\displaystyle M,a\Vdash B}$ ${\displaystyle \exists b,c(a=b+c}$ ${\displaystyle M,b\Vdash A}$ ${\displaystyle M,c\Vdash B)}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Una fórmula se cumple en un modelo si y así . Una fórmula es válida en una clase de modelos si se cumple en cada modelo . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M,0\Vdash A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M\in C}$

El fragmento positivo de R es sólido y completo respecto a la clase de estos modelos. La semántica de Humberstone se puede adaptar para modelar diferentes lógicas eliminando o agregando condiciones de marco de la siguiente manera.

Modelos algebraicos

A algunas lógicas de relevancia se les pueden dar modelos algebraicos, como la lógica R. Las estructuras algebraicas para R son monoides de Morgan, que son séxtuplos donde ${\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot ,\circ ,e)}$

• ${\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot )}$es una red distributiva con operación unaria, que obedece a las leyes y si entonces ; ${\displaystyle \lnot }$ ${\displaystyle \lnot \lnot x=x}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle \lnot y\leq \lnot x}$
• ${\displaystyle e\in D}$, la operación binaria es conmutativa ( ) y asociativa ( ), y , es decir, es un monoide abeliano con identidad ; ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle x\circ y=y\circ x}$ ${\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}$ ${\displaystyle e\circ x=x}$ ${\displaystyle (D,\circ ,e)}$ ${\displaystyle e}$
• el monoide está ordenado en red y satisface ; ${\displaystyle x\circ (y\lor z)=(x\circ y)\lor (x\circ z)}$
• ${\displaystyle x\leq x\circ x}$; y
• si , entonces . ${\displaystyle x\circ y\leq z}$ ${\displaystyle x\circ \lnot z\leq \lnot y}$

La operación que interpreta el condicional de R se define como . Un monoide de Morgan es una red residuadizada que obedece a la siguiente condición de residuación. ${\displaystyle x\to y}$ ${\displaystyle \lnot (x\circ \lnot y)}$

${\displaystyle x\circ y\leq z\iff x\leq y\to z}$

Una interpretación es un homomorfismo del lenguaje proposicional a un monoide de Morgan tal que ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle v(p)\in D}$para todas las proposiciones atómicas,
• ${\displaystyle v(\lnot A)=\lnot v(A)}$
• ${\displaystyle v(A\lor B)=v(A)\lor v(B)}$
• ${\displaystyle v(A\land B)=v(A)\land v(B)}$
• ${\displaystyle v(A\to B)=v(A)\to v(B)}$

Dado un monoide de Morgan y una interpretación , se puede decir que la fórmula se mantiene por si acaso . Una fórmula es válida en caso de que sea válida para todas las interpretaciones de todos los monoides de Morgan. La lógica R es sólida y completa para los monoides de Morgan. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle e\leq v(A)}$ ${\displaystyle A}$

Ver también

• Portal de filosofía

• Lógica conexiva , una aproximación diferente a las paradojas de la implicación material
• Non sequitur (lógica)
• Sistema de tipos relevantes , un sistema de tipos subestructurales.

Referencias

1. Lewis, CI (1912). "Implicación y álgebra de la lógica". Mente , 21 (84): 522–531.
2. Lewis, CI (1917). "Las cuestiones relativas a las implicaciones materiales". Revista de Filosofía, Psicología y Métodos Científicos , 14 :350–356.
3. Ackermann, W. (1956), "Begründung einer strengen Imlikation", Journal of Symbolic Logic , 21 (2): 113–128, JSTOR  2268750
4. Moh, Shaw-kwei (1950), "Los teoremas de deducción y dos nuevos sistemas lógicos", Methodos , 2 : 56–75Moh Shaw-Kwei, 1950, "," Métodos 2 56–75.
5. Church, A. (1951), La teoría débil de la implicaciónen Kontroliertes Denken: Untersuchungen zum Logikkalkül und zur Logik der Einzelwissenschaften , Kommissions-Verlag Karl Alber, editado por A. Menne, A. Wilhelmy y H. Angsil, págs.

Bibliografía

• Alan Ross Anderson y Nuel Belnap , 1975. Vinculación: la lógica de la relevancia y la necesidad, vol. I . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-07192-6 
• ------- y JM Dunn, 1992. Vinculación: la lógica de la relevancia y la necesidad, vol. II , Prensa de la Universidad de Princeton.
• Mares, Edwin y Meyer, RK, 2001, "Relevant Logics", en Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Blackwell.
• Richard Routley, Val Plumwood, Robert K. Meyer y Ross T. Brady. Lógicas relevantes y sus rivales . Ridgeview, 1982.
• R. Brady (ed.), Lógicas relevantes y sus rivales (Volumen II) , Aldershot: Ashgate, 2003.
• Urquhart, Alasdair (1972). "Semántica para lógicas relevantes" (PDF) . Revista de Lógica Simbólica . 37 : 159-169. doi :10.2307/2272559.
• Alasdair Urquhart. La semántica de la vinculación . Tesis doctoral, Universidad de Pittsburgh, 1972.
• Katalin Bimbó , Lógicas de relevancia, en Filosofía de la Lógica , D. Jacquette (ed.), (volumen 5 de Handbook of the Philosophy of Science , D. Gabbay, P. Thagard, J. Woods (eds.)), Elsevier (North -Holanda), 2006, págs. 723–789.
• J. Michael Dunn y Greg Restall. Lógica de relevancia. En Handbook of Philosophical Logic , volumen 6, F. Guenthner y D. Gabbay (eds.), Dordrecht: Kluwer, 2002, págs.
• Stephen Read, Lógica relevante , Oxford: Blackwell, 1988.
• Humberstone, Lloyd (1987). "Semántica operativa para R positivo". Revista de lógica formal de Notre Dame . 29 (1): 61–80. doi : 10.1305/ndjfl/1093637771 .

enlaces externos

• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : "Lógica de relevancia" - por Edwin Mares.
• Lógica de relevancia - por J. Michael Dunn y Greg Restall
• Lógica relevante - por Stephen Read