Geodésicas en relatividad general

Generalización de la línea recta a un espacio-tiempo curvo

En la relatividad general , una geodésica generaliza la noción de una "línea recta" al espacio-tiempo curvo . Es importante destacar que la línea del universo de una partícula libre de todas las fuerzas externas no gravitacionales es un tipo particular de geodésica. En otras palabras, una partícula que se mueve o cae libremente siempre se mueve a lo largo de una geodésica.

En la relatividad general, la gravedad puede considerarse no como una fuerza sino como una consecuencia de una geometría espacio-temporal curvada donde la fuente de la curvatura es el tensor de tensión-energía (que representa la materia, por ejemplo). Así, por ejemplo, la trayectoria de un planeta que orbita alrededor de una estrella es la proyección de una geodésica de la geometría espacio-temporal curvada de cuatro dimensiones (4-D) alrededor de la estrella sobre el espacio tridimensional (3-D).

Expresión matemática

La ecuación geodésica completa es donde s es un parámetro escalar de movimiento (por ejemplo, el tiempo propio ), y son símbolos de Christoffel (a veces llamados coeficientes de conexión afín o coeficientes de conexión de Levi-Civita ) simétricos en los dos índices inferiores. Los índices griegos pueden tomar los valores: 0, 1, 2, 3 y se utiliza la convención de suma para índices repetidos y . La cantidad en el lado izquierdo de esta ecuación es la aceleración de una partícula, por lo que esta ecuación es análoga a las leyes de movimiento de Newton , que también proporcionan fórmulas para la aceleración de una partícula. Los símbolos de Christoffel son funciones de las cuatro coordenadas del espacio-tiempo y, por lo tanto, son independientes de la velocidad o aceleración u otras características de una partícula de prueba cuyo movimiento se describe mediante la ecuación geodésica. $${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0\ }$$ ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Expresión matemática equivalente que utiliza el tiempo de coordenadas como parámetro

Hasta ahora, la ecuación geodésica de movimiento se ha escrito en términos de un parámetro escalar s . También se puede escribir en términos de la coordenada temporal (aquí hemos utilizado la triple barra para indicar una definición). La ecuación geodésica de movimiento se convierte entonces en: ${\displaystyle t\equiv x^{0}}$ $${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .}$$

Esta formulación de la ecuación geodésica de movimiento puede ser útil para cálculos informáticos y para comparar la relatividad general con la gravedad newtoniana. ^[1] Es sencillo derivar esta forma de la ecuación geodésica de movimiento a partir de la forma que utiliza el tiempo propio como parámetro utilizando la regla de la cadena . Observe que ambos lados de esta última ecuación se anulan cuando el índice mu se establece en cero. Si la velocidad de la partícula es lo suficientemente pequeña, entonces la ecuación geodésica se reduce a esto: $${\displaystyle {d^{2}x^{n} \over dt^{2}}=-\Gamma ^{n}{}_{00}.}$$

Aquí el índice latino n toma los valores [1,2,3]. Esta ecuación simplemente significa que todas las partículas de prueba en un lugar y tiempo determinados tendrán la misma aceleración, lo cual es una característica bien conocida de la gravedad newtoniana. Por ejemplo, todo lo que flota en la Estación Espacial Internacional experimentará aproximadamente la misma aceleración debido a la gravedad.

Derivación directa del principio de equivalencia

El físico Steven Weinberg ha presentado una derivación de la ecuación geodésica de movimiento directamente a partir del principio de equivalencia . ^[2] El primer paso en tal derivación es suponer que una partícula en caída libre no acelera en la vecindad de un evento puntual con respecto a un sistema de coordenadas en caída libre ( ). Fijando , tenemos la siguiente ecuación que es localmente aplicable en caída libre: El siguiente paso es emplear la regla de la cadena multidimensional . Tenemos: Derivando una vez más con respecto al tiempo, tenemos: Ya hemos dicho que el lado izquierdo de esta última ecuación debe anularse debido al Principio de Equivalencia. Por lo tanto: Multiplique ambos lados de esta última ecuación por la siguiente cantidad: En consecuencia, tenemos esto: ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle T\equiv X^{0}}$ $${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}=0.}$$ $${\displaystyle {dX^{\mu } \over dT}={dx^{\nu } \over dT}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}}$$ $${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}={d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}+{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}}$$ $${\displaystyle {d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}}$$ $${\displaystyle {\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}}$$ $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right].}$$

Weinberg define la conexión afín de la siguiente manera: ^[3] lo que conduce a esta fórmula: $${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \alpha }=\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right]}$$ $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}.}$$

Obsérvese que, si hubiéramos utilizado el tiempo propio “s” como parámetro de movimiento, en lugar de utilizar la coordenada de tiempo inercial local “T”, entonces nuestra derivación de la ecuación geodésica de movimiento estaría completa. En cualquier caso, sigamos aplicando la regla de la cadena unidimensional : $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}.}$$ $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.}$$

Como antes, podemos establecer . Entonces, la primera derivada de x ⁰ con respecto a t es uno y la segunda derivada es cero. Reemplazando λ por cero, obtenemos: ${\displaystyle t\equiv x^{0}}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.}$$

Restando d x ^λ / d t por esto de la ecuación anterior se obtiene: que es una forma de la ecuación geodésica de movimiento (usando el tiempo de la coordenada como parámetro). $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}+\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\lambda } \over dt}}$$

La ecuación geodésica de movimiento se puede derivar alternativamente utilizando el concepto de transporte paralelo . ^[4]

Derivación de la ecuación geodésica mediante una acción

Podemos (y esta es la técnica más común) derivar la ecuación geodésica a través del principio de acción . Consideremos el caso de intentar encontrar una geodésica entre dos eventos separados en el tiempo.

Sea la acción donde es el elemento de línea . Hay un signo negativo dentro de la raíz cuadrada porque la curva debe ser temporal. Para obtener la ecuación geodésica debemos variar esta acción. Para ello, parametrizamos esta acción con respecto a un parámetro . Al hacer esto, obtenemos: $${\displaystyle S=\int ds}$$ ${\displaystyle ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle S=\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\,d\lambda }$$

Ahora podemos continuar y variar esta acción con respecto a la curva . Por el principio de mínima acción obtenemos: ${\displaystyle x^{\mu }}$ $${\displaystyle 0=\delta S=\int \delta \left({\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\right)\,d\lambda =\int {\frac {\delta \left(-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}\right)}{2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}}d\lambda }$$

Usando la regla del producto obtenemos: donde $${\displaystyle 0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\delta g_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}+g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d\delta x^{\nu }}{d\lambda }}\right)\,d\lambda =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }+2g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\,d\lambda }$$ $${\displaystyle {\frac {d\tau }{d\lambda }}={\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}$$

Integrando por partes el último término y descartando la derivada total (que es igual a cero en los límites) obtenemos que: $${\displaystyle 0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}\left(g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\right)\,d\tau =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}-2\delta x^{\mu }g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}\right)\,d\tau }$$

Simplificando un poco vemos que: entonces, multiplicando esta ecuación por obtenemos: $${\displaystyle 0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-2{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\right)\delta x^{\mu }d\tau }$$ $${\displaystyle 0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }-{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }\right)\delta x^{\mu }\,d\tau }$$ ${\textstyle -{\frac {1}{2}}}$ $${\displaystyle 0=\int \left(g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)\right)\delta x^{\mu }\,d\tau }$$

Así, por el principio de Hamilton encontramos que la ecuación de Euler-Lagrange es $${\displaystyle g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)=0}$$

Multiplicando por el tensor métrico inverso obtenemos que ${\displaystyle g^{\mu \beta }}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right){\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0}$$

De esta manera obtenemos la ecuación geodésica: con el símbolo de Christoffel definido en términos del tensor métrico como $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0}$$ $${\displaystyle \Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)}$$

(Nota: Se pueden utilizar derivaciones similares, con modificaciones menores, para producir resultados análogos para geodésicas entre pares de puntos separados de forma similar a la luz ^{[ cita requerida ]} o similar al espacio).

La ecuación de movimiento puede derivarse de las ecuaciones de campo para el espacio vacío.

Albert Einstein creía que la ecuación geodésica del movimiento se puede derivar de las ecuaciones de campo para el espacio vacío , es decir, del hecho de que la curvatura de Ricci se desvanece. Escribió: ^[5]

Se ha demostrado que esta ley del movimiento —generalizada al caso de masas gravitacionales arbitrariamente grandes— puede deducirse únicamente de las ecuaciones de campo del espacio vacío. Según esta derivación, la ley del movimiento está implícita en la condición de que el campo no sea singular en ningún lugar fuera de sus puntos de masa generadores.

y ^[6]

Una de las imperfecciones de la teoría relativista original de la gravitación fue que, como teoría de campo, no era completa; introdujo el postulado independiente de que la ley del movimiento de una partícula está dada por la ecuación de la geodésica.

Una teoría de campos completa sólo conoce los campos y no los conceptos de partícula y movimiento, ya que estos no deben existir independientemente del campo, sino que deben ser tratados como parte de él.

A partir de la descripción de una partícula sin singularidad, se tiene la posibilidad de un tratamiento lógicamente más satisfactorio del problema combinado: el problema del campo y el del movimiento coinciden.

Tanto los físicos como los filósofos han repetido a menudo la afirmación de que la ecuación geodésica puede obtenerse a partir de las ecuaciones de campo para describir el movimiento de una singularidad gravitacional , pero esta afirmación sigue siendo discutida. ^[7] Según David Malament , "aunque el principio geodésico puede recuperarse como teorema en la relatividad general, no es una consecuencia de la ecuación de Einstein (o del principio de conservación) por sí solo. Se necesitan otros supuestos para derivar los teoremas en cuestión". ^[8] Menos controvertida es la noción de que las ecuaciones de campo determinan el movimiento de un fluido o polvo, a diferencia del movimiento de una singularidad puntual. ^[9]

Extensión al caso de una partícula cargada

Al derivar la ecuación geodésica a partir del principio de equivalencia, se supuso que las partículas en un sistema de coordenadas inercial local no están acelerando. Sin embargo, en la vida real, las partículas pueden estar cargadas y, por lo tanto, pueden estar acelerando localmente de acuerdo con la fuerza de Lorentz . Es decir: con $${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over ds^{2}}={q \over m}{F^{\mu \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{\eta _{\alpha \beta }}.}$$ $${\displaystyle {\eta _{\alpha \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{dX^{\beta } \over ds}=-1.}$$

El tensor de Minkowski viene dado por: ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$ $${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

Estas tres últimas ecuaciones se pueden utilizar como punto de partida para la derivación de una ecuación de movimiento en Relatividad General, en lugar de suponer que la aceleración es cero en caída libre. ^[2] Debido a que aquí está involucrado el tensor de Minkowski, se hace necesario introducir algo llamado tensor métrico en Relatividad General. El tensor métrico g es simétrico y se reduce localmente al tensor de Minkowski en caída libre. La ecuación de movimiento resultante es la siguiente: ^[10] con $${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}\ +{q \over m}{F^{\mu \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{g_{\alpha \beta }}.}$$ $${\displaystyle {g_{\alpha \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=-1.}$$

Esta última ecuación significa que la partícula se mueve a lo largo de una geodésica temporal; las partículas sin masa como el fotón , en cambio, siguen geodésicas nulas (reemplace −1 con cero en el lado derecho de la última ecuación). Es importante que las dos últimas ecuaciones sean consistentes entre sí, cuando la última se deriva con respecto al tiempo propio, y la siguiente fórmula para los símbolos de Christoffel asegura esa consistencia: Esta última ecuación no involucra los campos electromagnéticos, y es aplicable incluso en el límite cuando los campos electromagnéticos se desvanecen. La letra g con superíndices se refiere al inverso del tensor métrico. En Relatividad General, los índices de los tensores se reducen y aumentan por contracción con el tensor métrico o su inverso, respectivamente. $${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \tau }\left({\frac {\partial g_{\tau \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\tau \beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{\tau }}}\right)}$$

Geodésicas como curvas de intervalo estacionario

Una geodésica entre dos eventos también puede describirse como la curva que une esos dos eventos y que tiene un intervalo estacionario ("longitud" de cuatro dimensiones). Aquí, estacionario se utiliza en el sentido en que se utiliza ese término en el cálculo de variaciones , es decir, que el intervalo a lo largo de la curva varía mínimamente entre las curvas que están cerca de la geodésica.

En el espacio de Minkowski sólo hay una geodésica que conecta cualquier par de eventos dados, y para una geodésica de tipo temporal, esta es la curva con el tiempo propio más largo entre los dos eventos. En el espacio-tiempo curvo, es posible que un par de eventos muy separados tengan más de una geodésica de tipo temporal entre ellos. En tales casos, los tiempos propios a lo largo de varias geodésicas en general no serán los mismos. Para algunas geodésicas en tales casos, es posible que una curva que conecta los dos eventos y está cerca de la geodésica tenga un tiempo propio más largo o más corto que la geodésica. ^[11]

Para una geodésica de tipo espacial que atraviesa dos eventos, siempre hay curvas cercanas que pasan por los dos eventos que tienen una longitud propia más larga o más corta que la geodésica, incluso en el espacio de Minkowski. En el espacio de Minkowski, la geodésica será una línea recta. Cualquier curva que difiera de la geodésica puramente espacialmente ( es decir , que no cambie la coordenada temporal) en cualquier marco de referencia inercial tendrá una longitud propia más larga que la geodésica, pero una curva que difiera de la geodésica puramente temporalmente ( es decir , que no cambie las coordenadas espaciales) en dicho marco de referencia tendrá una longitud propia más corta.

El intervalo de una curva en el espacio-tiempo es $${\displaystyle l=\int {\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\,ds\ .}$$

Entonces, la ecuación de Euler-Lagrange , se convierte, después de algunos cálculos, en donde $${\displaystyle {d \over ds}{\partial \over \partial {\dot {x}}^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}={\partial \over \partial x^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\ ,}$$ $${\displaystyle 2\left(\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }\right)=U^{\lambda }{d \over ds}\ln |U_{\nu }U^{\nu }|\ ,}$$ ${\displaystyle U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }.}$

Prueba

El objetivo es encontrar una curva para la cual el valor de sea estacionario, donde dicho objetivo se puede lograr calculando la ecuación de Euler-Lagrange para f , que es $${\displaystyle l=\int d\tau =\int {d\tau \over d\phi }\,d\phi =\int {\sqrt {(d\tau )^{2} \over (d\phi )^{2}}}\,d\phi =\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu } \over d\phi \,d\phi }}\,d\phi =\int f\,d\phi }$$ $${\displaystyle f={\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}$$ $${\displaystyle {d \over d\tau }{\partial f \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial f \over \partial x^{\lambda }}.}$$

Sustituyendo la expresión de f en la ecuación de Euler-Lagrange (que hace que el valor de la integral l sea estacionario), se obtiene $${\displaystyle {d \over d\tau }{\partial {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}} \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}} \over \partial x^{\lambda }}}$$

Ahora calculamos las derivadas: $${\displaystyle {\begin{aligned}{d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)&={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}&&(1)\\[1ex]{d \over d\tau }\left({g_{\mu \nu }\delta ^{\mu }{}_{\lambda }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }\delta ^{\nu }{}_{\lambda } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)&={g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}&&(2)\\[1ex]{d \over d\tau }\left({g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu } \over {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)&={g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}&&(3)\\[1ex]{{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}{d \over d\tau }(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu })-(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu }){d \over d\tau }{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}} \over -g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}&={g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}&&(4)\\[1ex]{(-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }){d \over d\tau }(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu })+{1 \over 2}(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu }){d \over d\tau }(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }) \over -g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}&=g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }&&(5)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })(g_{\lambda \nu ,\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\mu }+g_{\mu \lambda ,\nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \nu }{\ddot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \mu }{\ddot {x}}^{\mu })\\&=(g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })(g_{\alpha \beta }{\dot {x}}^{\alpha }{\dot {x}}^{\beta })+{1 \over 2}(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \mu }{\dot {x}}^{\mu }){d \over d\tau }(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })\qquad \qquad (6)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle g_{\lambda \nu ,\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \mu ,\nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+2g_{\lambda \mu }{\ddot {x}}^{\mu }={{\dot {x}}_{\lambda }{d \over d\tau }(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }) \over g_{\alpha \beta }{\dot {x}}^{\alpha }{\dot {x}}^{\beta }}\qquad \qquad (7)}$$ $${\displaystyle 2(\Gamma _{\lambda \mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}_{\lambda })={{\dot {x}}_{\lambda }{d \over d\tau }({\dot {x}}_{\nu }{\dot {x}}^{\nu }) \over {\dot {x}}_{\beta }{\dot {x}}^{\beta }}={U_{\lambda }{d \over d\tau }(U_{\nu }U^{\nu }) \over U_{\beta }U^{\beta }}=U_{\lambda }{d \over d\tau }\ln |U_{\nu }U^{\nu }|\qquad \qquad (8)}$$

Esto está sólo a un paso de la ecuación geodésica.

Si se elige que el parámetro s sea afín, entonces el lado derecho de la ecuación anterior se anula (porque es constante). Finalmente, tenemos la ecuación geodésica ${\displaystyle U_{\nu }U^{\nu }}$ $${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }=0\ .}$$

Derivación mediante transporte autoparalelo

La ecuación geodésica se puede derivar alternativamente a partir del transporte autoparalelo de curvas. La derivación se basa en las conferencias dictadas por Frederic P. Schuller en la Escuela Internacional de Invierno We-Heraeus sobre Gravedad y Luz.

Sea una variedad suave con conexión y una curva en la variedad. Se dice que la curva se transporta autoparalelamente si y solo si . ${\displaystyle (M,O,A,\nabla )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \nabla _{v_{\gamma }}v_{\gamma }=0}$

Para derivar la ecuación geodésica, tenemos que elegir una carta : Utilizando la linealidad y la regla de Leibniz: ${\displaystyle (U,x)\in A}$ $${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}\left({\dot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0}$$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ $${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{i}\left(\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\dot {\gamma }}^{m}\right){\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0}$$

Utilizando la forma en que actúa la conexión sobre las funciones ( ) y expandiendo el segundo término con la ayuda de las funciones de coeficiente de conexión: ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{m}}$ $${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial {\dot {\gamma }}^{m}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0}$$

El primer término se puede simplificar a . Renombrando los índices ficticios: ${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}}$ $${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0}$$

Finalmente llegamos a la ecuación geodésica: $${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{q}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}=0}$$

Véase también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Geodésico
• Precesión geodésica
• Geodésicas de Schwarzschild
• Geodésicas como flujos hamiltonianos
• Función mundial de Synge

Bibliografía

• Steven Weinberg , Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad , (1972) John Wiley & Sons, Nueva York ISBN  0-471-92567-5 . Véase el capítulo 3 .
• Lev D. Landau y Evgenii M. Lifschitz , La teoría clásica de campos , (1973) Pergammon Press, Oxford ISBN 0-08-018176-7 Véase la sección 87 . 
• Charles W. Misner , Kip S. Thorne , John Archibald Wheeler , Gravitación , (1970) WH Freeman, Nueva York; ISBN 0-7167-0344-0 . 
• Bernard F. Schutz , Un primer curso de relatividad general , (1985; 2002) Cambridge University Press: Cambridge, Reino Unido; ISBN 0-521-27703-5 . Véase el capítulo 6 . 
• Robert M. Wald , Relatividad general , (1984) The University of Chicago Press, Chicago. Véase la sección 3.3 .

Referencias

1. Will, Clifford. Teoría y experimentación en física gravitacional , pág. 143 (Cambridge University Press 1993).
2. Weinberg, Steven. Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad (Wiley 1972).
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