lápiz matriz

En álgebra lineal , si son matrices complejas para algún número entero no negativo , y (la matriz cero ), entonces la matriz lápiz de grado es la función con valores matriciales definida en los números complejos. ${\displaystyle A_{0},A_{1},\dots ,A_{\ell }}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle A_{\ell }\neq 0}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle L(\lambda )=\sum _{i=0}^{\ell }\lambda ^{i}A_{i}.}$

Un caso particular es un lápiz de matriz lineal con (o ) donde y son matrices complejas (o reales ) . ^[1] Lo denotamos brevemente con la notación . ${\displaystyle A-\lambda B}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle (A,B)}$

Un lápiz se llama regular si tiene al menos un valor tal que . Llamamos valores propios de una matriz de lápiz a todos los números complejos para los cuales ; en particular, los valores propios de la matriz lápiz son los valores propios de la matriz de . El conjunto de los valores propios se llama espectro del lápiz y se escribe . Además, se dice que el lápiz tiene uno o más valores propios en el infinito si tiene uno o más valores propios 0. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \det(A-\lambda B)\neq 0}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \det(A-\lambda B)=0}$ ${\displaystyle (A,I)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (A,B)}$ ${\displaystyle B}$

Aplicaciones

Los lápices matriciales juegan un papel importante en el álgebra lineal numérica . El problema de encontrar los valores propios de un lápiz se llama problema de valores propios generalizado . El algoritmo más popular para esta tarea es el algoritmo QZ , que es una versión implícita del algoritmo QR para resolver el problema de valores propios asociado sin formar explícitamente la matriz (lo que podría ser imposible o estar mal condicionado si es singular o casi singular). ${\displaystyle B^{-1}Ax=\lambda x}$ ${\displaystyle B^{-1}A}$ ${\displaystyle B}$

Lápiz generado por matrices de conmutación.

Si , entonces el lápiz generado por y : ^[2] ${\displaystyle AB=BA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

1. consta únicamente de matrices similares a una matriz diagonal , o
2. no tiene matrices similares a una matriz diagonal, o
3. tiene exactamente una matriz similar a una matriz diagonal.

Ver también

• Problema de valores propios generalizado
• Método generalizado del lápiz de función
• Problema propio no lineal
• Problema de valores propios cuadráticos
• Cociente de Rayleigh generalizado

Notas

1. Préstamo Golub y Van (1996, pág. 375)
2. Marcus y Minc (1969, pág.79)

Referencias

• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Computaciones matriciales (3.ª ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
• Marcus y Minc (1969), Un estudio de la teoría de matrices y las desigualdades matriciales , Publicaciones Courier Dover
• Peter Lancaster y Qian Ye (1991) "Métodos numéricos y variacionales para lápices de matrices simétricas", Boletín de la Sociedad Matemática Australiana 43: 1 a 17